自動控制原理 第八章

自動控制原理第八章第一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日章節(jié)目錄概述采樣與保持Z變換脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與求解采樣系統(tǒng)的時域響應(yīng)分析采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及穩(wěn)態(tài)偏差數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)第二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日控制系統(tǒng)通常分成兩大類：連續(xù)時間控制系統(tǒng)：各處的信號是時間的連續(xù)函數(shù)，則稱該類系統(tǒng)為連續(xù)時間控制系統(tǒng)。離散時間控制系統(tǒng)：有一處或數(shù)處信號不是時間的連續(xù)函數(shù)，而是在時間上離散的一系列脈沖序列或數(shù)字信號，稱這類系統(tǒng)為離散時間控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)。第一節(jié)概述1控制工程中普遍存在離散時間系統(tǒng)2計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展和數(shù)字控制的廣泛應(yīng)用學(xué)習(xí)本章重要意義：第三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日離散信號＝采樣信號＋數(shù)字信號時間整量化時間和幅值同時整量化離散、采樣、數(shù)字控制的差別離散控制系統(tǒng)、數(shù)字控制系統(tǒng)和采樣控制系統(tǒng)都是同類系統(tǒng)，但嚴(yán)格是有差別的。

離散控制系統(tǒng)：內(nèi)涵最廣，它涵蓋了采樣和數(shù)字控制系統(tǒng)。離散控制處理的是離散信號。采樣控制系統(tǒng)：包括了采樣數(shù)據(jù)信號和數(shù)字信號，如過程控制系統(tǒng)（PCS）。采樣控制處理的是采樣信號。數(shù)字控制系統(tǒng)：信號是一個數(shù)字序列，如數(shù)字仿真系統(tǒng)（DSS）。數(shù)字控制處理的是數(shù)字信號。第四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日連續(xù)整量化信號與數(shù)字信號連續(xù)模擬信號與采樣信號第五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日采樣控制系統(tǒng)與連續(xù)時間控制系統(tǒng)相比優(yōu)點(diǎn)：（1）容易實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制規(guī)律；（2）控制規(guī)律易改變；（3）精度高、抗干擾性能好。目前采樣控制系統(tǒng)的發(fā)展成為：1、集散控制系統(tǒng)（DCS）；2、可編程控制器（PLC）；3、工業(yè)控制機(jī)（IPC）；4、計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)（CIMS）。第六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)分析方法的比較連續(xù)系統(tǒng)分析（L變換）微分方程傳遞函數(shù)，頻域分析（經(jīng)典）

狀態(tài)方程：求運(yùn)動解，通過系統(tǒng)矩陣分析（現(xiàn)代）離散系統(tǒng)分析類似（z變換）差分方程脈沖傳數(shù)，頻域分析（經(jīng)典）

差分狀態(tài)方程：狀態(tài)空間方法（現(xiàn)代）第七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第二節(jié)采樣與保持圖6.1

圖8-1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)原理圖

第八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化就是在一定的采樣和保持方式下，由系統(tǒng)的連續(xù)描述來導(dǎo)出對應(yīng)的離散描述，并建立二者之間的關(guān)系。為了使離散化后的描述具有簡單的形式，并且可以復(fù)原為原來的連續(xù)系統(tǒng)，對采樣和保持方式提出以下要求：采樣：采樣周期滿足申農(nóng)采樣定理保持：通常采用零階保持器第九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日一。采樣把連續(xù)信號變?yōu)槊}沖序列或數(shù)字序列的裝置稱為采樣器。T為采樣周期，r為采樣時間，采樣頻率采樣周期采樣瞬時采樣時間

rtxtp*()tpt()

Te(t)e*(t)實(shí)際采樣中，由于采樣開關(guān)閉合時間極短，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期，而且控制對象又有低通濾波特性，所以可以理想化。為了利于數(shù)學(xué)分析，可以用一個瞬時接通的理想采樣開關(guān)來近似實(shí)際的采樣開關(guān)，就可以把脈沖信號e演變?yōu)槊}沖序列信號e*。

第十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日調(diào)制器圖8.3理想采樣器的調(diào)制過程第十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日采樣過程看成是信號e(t)被脈沖鏈調(diào)制的過程,在經(jīng)典的采樣理論中要考慮脈沖的寬度和能量如果定義單位脈沖函數(shù)為且以及單位理想脈沖序列第十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日那么，從數(shù)學(xué)上講采樣信號e*(t)可以看作是連續(xù)信號e(t)和脈沖信號的乘積其中僅僅表示脈沖發(fā)生的時刻，而脈沖的大小完全由連續(xù)信號e(t)在采樣時刻kT時的函數(shù)值e(kT)來決定。

函數(shù)的一個重要特性就是篩選性：信號經(jīng)過脈沖序列調(diào)制后只有在脈沖出現(xiàn)的時刻才有意義第十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日對采樣信號的拉氏變換：根據(jù)拉氏變換的位移定理：可見，只要已知連續(xù)信號采樣后的采樣函數(shù)的值，即可求出的拉氏變換第十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日解：因?yàn)椋簞t：

例8-1設(shè)采樣器的輸入信號為試求采樣器輸出信號的拉氏變換。由采樣信號的拉式變換可得：由等比級數(shù)的求和公式可得：第十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日在設(shè)計(jì)采樣系統(tǒng)中，一個重要的參數(shù)就是采樣周期T，T過大，復(fù)現(xiàn)原信號時將失真，T過小，增加計(jì)算量，具體T的選擇可以通過連續(xù)信號和采樣信號頻譜之間的關(guān)系確定。采樣定理：采樣后的離散信號能恢復(fù)為原連續(xù)信號的條件是采樣頻率要高于或等于連續(xù)信號頻譜中最高頻率的兩倍。

圖8-4理想的采樣過程

第十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日研究采樣信號的特性，需討論其頻譜展開。根據(jù)傅氏級數(shù)展開，周期性的理想單位脈沖序列可以展開為：式中：為采樣周期，為采樣角頻率；采樣信號e*(t)可以寫成：拉氏變換：采樣信號頻譜與連續(xù)信號頻譜的關(guān)系第十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日圖8-5連續(xù)信號與離散信號的頻譜第十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日二。保持（采樣信號復(fù)現(xiàn)）連續(xù)信號經(jīng)采樣后，頻譜中出現(xiàn)了無窮多個附加的高頻頻譜分量，會對控制系統(tǒng)的元件造成過渡磨損。一般，連續(xù)系統(tǒng)都具有低通濾波器的特性，可以達(dá)到衰減高頻分量，復(fù)現(xiàn)原信號作用但多數(shù)情況下，需另加低通濾波器，以達(dá)到更好的復(fù)現(xiàn)效果，降低對系統(tǒng)元件的磨損。第十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日如果采用一個理想的低通濾波器如圖8-6所示，可將的高頻頻譜全部濾掉，那么圖8-6理想濾波器的頻率特性

圖8-7保持器

采樣后的信號經(jīng)過一個理想的低通濾波器，從理想的低通濾波器的輸出端便可以得到主頻頻譜，只是幅值變化了1/T倍，頻譜形狀并沒有發(fā)生畸變。理想的低通濾波器實(shí)際上并不存在，工程上只能用特性接近理想低通濾波器的保持器來代替。第二十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日過程控制中常見的低通濾波器一般為零階保持器零階保持器在采樣間隔中把前一個采樣點(diǎn)的數(shù)值一直保持到下一個采樣點(diǎn)為止。其基本關(guān)系為其傳遞函數(shù)為第二十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日圖8-8零階保持器零階保持器零階保持器第二十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日零階保持器的頻率特性分析：頻率特性函數(shù)為幅頻特性：相頻特性：第二十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日圖8-9零階保持器的頻率特性零階保持器具有如下特性：⑴低通特性⑶相角滯后特性⑷時間滯后特性⑵零階保持器使主頻信號的幅值提高了T倍，剛好能補(bǔ)償連續(xù)信號經(jīng)過采樣后使得主頻譜的幅值衰減的1/T倍。

18第二十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第三節(jié)z變換Z變換的思想來源于連續(xù)系統(tǒng)線性連續(xù)系統(tǒng):用線性微分方程或傳遞函數(shù)描述，用拉氏變換的方法來分析其動態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程。線性采樣系統(tǒng):用線性差分方程描述，用Z變換的方法分析系統(tǒng)的性能。

Z變換在采樣系統(tǒng)中的作用與L變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用等效Z變換可以看作是采樣函數(shù)L變換的一種變形第二十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日本節(jié)主要內(nèi)容介紹：離散信號的L變換離散信號的z變換z變換的方法z變換的性質(zhì)z反變換第二十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日一離散信號的L變換與z變換連續(xù)信號e(t)經(jīng)采樣后得到采樣函數(shù)e*(t)L變換公式：將上述采樣信號進(jìn)行L變換可得：(1)第二十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日離散信號的z變換引入z變量：那么就可以得到離散信號的z變換上述兩個公式均表示為采樣信號e*(t)的L變換，不同之處就在于定義域s和z；將z變換公式和L變換公式比較可知，二者一致，說明z變換在采樣系統(tǒng)中的作用等價(jià)與L變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用（2）第二十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日注意：E(z)實(shí)際上只是采樣函數(shù)e*(t)的z變換，而不是連續(xù)函數(shù)e(t)的z變換。一對多一對一連續(xù)函數(shù)采樣函數(shù)z變換函數(shù)e1(t)e2(t)te(t)第二十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日二z變換方法1。級數(shù)求和法（亦稱定義法）級數(shù)求和法是直接根據(jù)Z變換的定義，將采樣函數(shù)的z變換寫成展開式的形式：例8-2：給定斜坡函數(shù)第三十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日2。部分分式法（查表法）s域時域z域則相應(yīng)地：第三十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例8-3：求傳遞函數(shù)的z變換。解：部分分式法例8-4求的Z變換解：將展開成部分分式的形式：根據(jù)階躍函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的Z變換，得到：第三十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日三z變換的性質(zhì)1，線性定理Z變換的線性定理表明：連續(xù)信號線性組合的Z變換等于單獨(dú)信號Z變換的線性組合。滿足線性變換的齊次性。如果連續(xù)信號和的Z變換分別為：且均為常數(shù)，則有：第三十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日3，超前定理，指整個采樣序列在時間軸上向左平移若干采樣周期。若初始條件滿足e(0)=e(1)=…=e(k-1)=0，則超前定理可寫作：2，滯后定理，又稱負(fù)偏移定理。是指整個采樣序列在時間軸上向右平移若干采樣周期。

設(shè)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時，，且：，那么滯后個采樣周期的函數(shù)為：，則其Z變換：19第三十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日5，終值定理：

（只有時e(k)收斂情況下才能應(yīng)用）4，初值定理：第三十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日5，復(fù)位移定理：序列加權(quán)后的z變換等價(jià)于z平面尺度的縮展6,卷積其中卷積定義：第三十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日四、Z反變換

與拉氏反變換類似，Z反換可表示為：注意：1、Z變換僅僅描述了采樣時刻的特性，不包含采樣時刻之間的信息2、Z反變換實(shí)質(zhì)上求出的是或，而不是連續(xù)函數(shù)。Z反變換有三種方法：冪級數(shù)法、部分分式法、留數(shù)計(jì)算法第三十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日（1）冪級數(shù)法，亦稱長除法：根據(jù)Z變換的定義：應(yīng)用長除法：第三十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日用長除法求Z反變換。解：例8-5已知為：用長除法：即分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式：第三十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日展開式為：其中：采樣函數(shù)為：長除法適用于簡單函數(shù)，但難以求閉合解。第四十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日(2)部分分式法:該方法的基本思想就是已知，由于在分子中都有因子z，因此將進(jìn)行部分分式展開：上式兩邊同乘z，得到的部分分式展開的期望形式：然后查表，求出采樣瞬時相應(yīng)的脈沖序列表達(dá)式：對應(yīng)的采樣函數(shù)為：第四十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日用部分分式法求Z反變換。解：因?yàn)椋核裕豪?-6已知為：然后查變換表得到采樣瞬時相應(yīng)的脈沖序列：采樣函數(shù)為：第四十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例8－7：第四十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日離散控制系統(tǒng)中，控制器是離散的，對象是連續(xù)的，因而建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時應(yīng)首先將連續(xù)部分離散化。對輸入輸出模型，即需要將連續(xù)部分傳遞函數(shù)變換為相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)。第四節(jié)脈沖傳遞函數(shù)第四十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日與連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義相似定義：線性定常離散控制系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出序列的z變換與輸入序列的z變換之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或稱z傳遞函數(shù)）一定義第四十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日物理意義（從系統(tǒng)響應(yīng)角度討論）：傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的L變換脈沖傳遞函數(shù)是單位脈沖響應(yīng)序列的z變換若輸入為r(t),則經(jīng)采樣后變成一脈沖序列r*(t)系統(tǒng)相應(yīng)的輸出也應(yīng)該是各脈沖響應(yīng)之和：第四十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日注意：輸入為脈沖序列，但輸出仍為時間的連續(xù)函數(shù)，在討論脈沖傳函時，實(shí)際上是取輸出的脈沖序列，所以可在輸出端加虛擬同步采樣開關(guān)（實(shí)際不存在），得到輸出序列：利用z變換的卷積定理，可得單位脈沖響應(yīng)序列的z變換第四十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日輸入輸出端采樣開關(guān)對脈沖傳函的影響1。輸出端有無采樣開關(guān)對系統(tǒng)脈沖傳函沒有影響，因?yàn)槎叨寄軌蚍磻?yīng)Y(z)在各采樣點(diǎn)的數(shù)值，如果沒有開關(guān)，可以自己添加虛擬同步開關(guān)2。輸入端有無采樣開關(guān)影響到脈沖傳遞函數(shù)的存在，如果沒有采樣開關(guān)，因?yàn)檩斎氩皇敲}沖序列，所以只能得到輸出的脈沖序列Y(z)，而得不到脈沖傳遞函數(shù)第四十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日二求取1。利用定義：2。利用單位脈沖響應(yīng)序列的z變換3。利用傳遞函數(shù)脈沖傳函與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、采樣周期有關(guān)20第四十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例8-8已知如圖所示開環(huán)系統(tǒng)求：相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)。

方法一：先求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)：單位脈沖響應(yīng)序列為：圖8-10開環(huán)采樣系統(tǒng)

由變換的定義求出脈沖傳遞函數(shù)：第五十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日方法二：用查表法：將展開成部分分式：查變換表得到：第五十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日注意零階保持器的使用：工程實(shí)現(xiàn)上均含有，但在學(xué)習(xí)過程中要根據(jù)題意判斷有無分子中含有（1－e－Ts）因子的z變換例如在連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)之前加入零階保持器，即：第五十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日求脈沖傳遞函數(shù)第五十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例：給定差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+u(k),且初值全為零，求給定系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)解：將上式Z變換得

第五十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日三開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下，通?？梢詺w結(jié)為兩種典型形式，主要取決于采樣開關(guān)位置的不同采樣開關(guān)數(shù)目和位置不同，對應(yīng)開環(huán)脈沖傳函也不同第五十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日則串聯(lián)環(huán)節(jié)間無同步采樣開關(guān)圖8-11兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關(guān)

第五十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日則環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關(guān)圖8-12兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關(guān)

第五十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例8-7在圖8-11和圖8-12中：分別求兩圖的脈沖傳遞函數(shù)。解：在圖8-11所示開環(huán)系統(tǒng)中，其脈沖傳遞函數(shù)為：而在圖8-12所示的開環(huán)系統(tǒng)中，其脈沖傳遞函數(shù)為：顯然：21第五十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日四閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)與開環(huán)系統(tǒng)一樣，在閉環(huán)的各通道中環(huán)節(jié)之間有無采樣開關(guān)相隔，得到的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)以及輸出的z變換是不同的。下面介紹幾種典型環(huán)節(jié)的閉環(huán)脈沖傳函第五十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日輸出的拉氏變換：而誤差信號的拉氏變換為：采樣后變?yōu)椋赫淼玫剑狠敵鰧斎肓康拿}沖傳遞函數(shù)：舉例第六十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日Go(s)H(s)U(s)E(s)E*(s)Y(s)Y*(s)

Z變換

第六十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)采樣系統(tǒng)D*（s）對應(yīng)的脈沖傳函為D（z），脈沖校正裝置作用等價(jià)于連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)校正環(huán)節(jié).D*(s)H(s)Go(s)U(s)E1(s)E2(s)Y(s)_

第六十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日1。查看輸入端有無開關(guān)，如果有，則可以寫出閉環(huán)脈沖傳函，繼續(xù)下面步驟，否則只能寫出輸出函數(shù)的z變換2。取得全部采樣開關(guān)，按照連續(xù)系統(tǒng)寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)3。加入采樣開關(guān)（包括輸出虛擬開關(guān)），改寫脈沖傳遞函數(shù)，改寫方法如下：主通道對應(yīng)分子，整個閉環(huán)回路對應(yīng)分母，如果其中某個環(huán)節(jié)的兩端均被采樣開關(guān)隔開，則在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)中此環(huán)節(jié)單獨(dú)作z變換閉環(huán)脈沖傳函寫出過程：第六十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例8-12求下圖所示采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。（a）

（b）

考慮開關(guān)影響，分別寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：解：首先不考慮開關(guān)，寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)（a）

（b）

第六十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第五節(jié)采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（離散化）數(shù)學(xué)描述線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有三種

差分方程

脈沖傳遞函數(shù)G(Z)=Y(Z)/U(Z)

狀態(tài)空間表達(dá)（狀態(tài)差分方程）

x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)y(k)＝C(k)x(k)+D(k)u(k)第六十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日微分方程的離散化微分方程的離散化差分方程線性系統(tǒng)：輸入輸出之間用線性常微分方程描述。線性離散系統(tǒng)：輸入輸出之間用線性常系數(shù)差分方程描述。差分:指兩個采樣信息之間的差值稱為差分。而在實(shí)際應(yīng)用中，常常采用數(shù)學(xué)中的微商來代替差分。第六十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日近似差分為:將近似差分代入微分方程中：經(jīng)整理得到：其中：一階微分方程的離散化：

第六十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日近似差分：二階微分方程離散化：將近似差分公式代入微分方程中經(jīng)整理：其中：第六十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日階微分方程離散化：階差分方程為：第七十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日連續(xù)狀態(tài)方程的離散化連續(xù)狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：經(jīng)過采樣后連續(xù)信號變?yōu)殡x散信號,而連續(xù)狀態(tài)方程經(jīng)離散后變?yōu)殡x散狀態(tài)方程為：其中：均為常數(shù)矩陣。且有：其中：為采樣周期。第七十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日設(shè)初始時刻t0=kT，初始狀態(tài)x0=x(k)，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以在階梯輸入下把kT時刻的初始狀態(tài)x(k)轉(zhuǎn)移到t=(k+1)T時刻的狀態(tài)x(k+1)。因?yàn)椴捎玫氖请A梯形輸入，所以在kT到(k+1)T這段時間內(nèi)有u(t)=u(k)，根據(jù)狀態(tài)運(yùn)動表達(dá)式：輸出方程22第七十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第六節(jié)采樣系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述相互轉(zhuǎn)換線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有三種

差分方程

脈沖傳遞函數(shù)

狀態(tài)空間表達(dá)（狀態(tài)差分方程）

數(shù)學(xué)描述及相互轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化條件：初始條件為零y(0)=y(1)=…=y(n-1)=0；u(0)=u(1)=…=u(m-1)=0第七十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日差分方程脈沖傳遞函數(shù)方法：z變換與反變換已知系統(tǒng)差分方程為在零初值條件下，將其進(jìn)行z變換得：則脈沖傳遞函數(shù)為第七十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日舉例：已知差分方程如下，求G(z)解：將差分方程進(jìn)行z變換得：第七十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例已知采樣控制系統(tǒng)中，控制器的脈沖傳遞函數(shù)為：現(xiàn)要化成計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)的算法，求差分方程。解：把脈沖傳遞函數(shù)寫成：對上式進(jìn)行反變換，得到前差分方程的形式：或后差方程的形式：第七十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日差分方程狀態(tài)方程由描述離散系統(tǒng)動態(tài)特性的差分方程，可用狀態(tài)變量為基礎(chǔ)列出系統(tǒng)的離散動態(tài)方程（單入單出）：第七十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日A高階差分方程轉(zhuǎn)為離散狀態(tài)空間方程假定系統(tǒng)差分方程為：算法：取狀態(tài)變量為經(jīng)推導(dǎo)可得下列形式的狀態(tài)方程：第七十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例將2階差分方程轉(zhuǎn)化離散狀態(tài)空間方程。y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k)解：設(shè)狀態(tài)變量為則初始條件x1(0)=y(0),x2(0)=y(1)第七十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日B離散狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為高階差分方程注意此項(xiàng)轉(zhuǎn)化相對困難，一般以脈沖傳遞函數(shù)作為中介，即：離散狀態(tài)空間方程脈沖傳遞函數(shù)高階差分方程第八十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日離散狀態(tài)方程脈沖傳遞函數(shù)將離散狀態(tài)方程先求z變換，在零初始條件下消去中間變量，即可獲得脈沖傳遞函數(shù)。離散狀態(tài)方程：初始條件為零，作Z變換:脈沖傳遞函數(shù)為：第八十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日并聯(lián)程序法；串聯(lián)程序法；直接程序法；嵌套程序法；脈沖傳遞函數(shù)向狀態(tài)差分方程轉(zhuǎn)化脈沖傳遞函數(shù)實(shí)現(xiàn)至離散狀態(tài)空間方程的途徑和形式不唯一第八十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日狀態(tài)圖狀態(tài)空間表達(dá)并聯(lián)分解法例：第八十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例：脈沖傳遞函數(shù)為：解：將脈沖傳遞函數(shù)分解成兩環(huán)節(jié)相乘的形式：系統(tǒng)的信號流程圖：串聯(lián)分解法離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：23第八十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第七節(jié)離散系統(tǒng)求解1。差分方程求解

例:y(k+2)=5y(k+1)-6y(k)+u(k),輸入u(k)=1(t)初始條件y(0)=0，y(1)=0，求解輸出y(k)

遞推法：y(0)=0;y(1)=0;y(2)=5y(1)-6y(0)+u(0)=1; y(3)=5y(2)-6y(1)+u(0)=6;……遞推法（迭代法）Z變換法求解第八十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日同上例:y(k+2)=5y(k+1)-6y(k)+u(k),輸入u(k)=1(t)初始條件y(0)=0，y(1)=0，求解輸出y(k)Z變換法：對差分方程做Z變換Z反變換得：第八十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日遞推法:2、狀態(tài)差分方程求解

遞推法（迭代法）Z變換法求解第八十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日Z變換法:對狀態(tài)差分方程做Z變換Z反變換得x(k)第八十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例：離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：輸入信號：初始條件：，求：用變換法求的數(shù)值。解：先求出：再求出：第八十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日根據(jù)Z變換方法有：取反變換可得到離散狀態(tài)方程的解：第九十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第八節(jié)采樣系統(tǒng)時域響應(yīng)一。連續(xù)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)暫態(tài)特性比較（有無采樣開關(guān)，有無零階保持器）Y(s)U(s)第九十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日對該系統(tǒng)進(jìn)行采樣，其閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳函為Y(S)U(S)第九十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日零保持器對系統(tǒng)的影響U(S) Y(S)第九十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日輸出曲線,T=0.1,k=1

r-csys，b-dsys，g-dsys+G0第九十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日T=1,k=1第九十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日T=4,k=1第九十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日T=1,k=2第九十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日T=1,k=4.4第九十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日結(jié)論連續(xù)系統(tǒng)：從穩(wěn)定性上來分析只要開環(huán)增益K為正的，那么系統(tǒng)一定穩(wěn)定采樣系統(tǒng)：由于采樣使系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)上升時間縮短，但是超調(diào)增加了。而且對于采樣系統(tǒng)來說，它的穩(wěn)定性與開環(huán)增益K的大小有關(guān)比較K=1:2:4.4，發(fā)現(xiàn)當(dāng)K=4.4時，該二階采樣系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以二階采樣系統(tǒng)保持穩(wěn)定的話，開環(huán)的放大系數(shù)不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣任意選擇，而是在某個區(qū)域限制。零階保持器的影響第九十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日二。采樣系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值利用終值定理（Z變換）24第一百頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第九節(jié)離散系統(tǒng)的性能分析如上節(jié)所講，采樣會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以在設(shè)計(jì)采樣系統(tǒng)時最先考慮的是穩(wěn)定性。對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要建立在Z變換的基礎(chǔ)上。第一百零一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定所有特征根均具有負(fù)實(shí)部方法：勞斯判據(jù),Hurwitz判據(jù)及奈氏判據(jù)。在分析采樣系統(tǒng)時，可以利用Z變換與拉氏變換數(shù)學(xué)上的關(guān)系，找到Z平面與S平面之間的周期映射關(guān)系，從而利用原有的各種判據(jù)來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

第一百零二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日一穩(wěn)定條件及S，E平面對應(yīng)關(guān)系第一百零三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)S平面Z平面次頻帶主頻帶S平面第一百零四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日由此可見，S平面的左半開平面對應(yīng)于Z平面上的單位圓內(nèi)，S平面上每增加一個頻段，Z平面單位圓上即逆時針轉(zhuǎn)一圈，所以稱為主頻段，其他稱為次頻段?？梢钥闯鲋黝l段內(nèi)的面積影射成單位圓內(nèi)，而且任一次頻段包圍面積也影射為同一單位圓，說明Z與S平面間的影射不是一一對應(yīng)，S中一點(diǎn)對應(yīng)Z面中一點(diǎn)，但Z中一點(diǎn)對應(yīng)S平面中多個點(diǎn)。第一百零五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例一：軋鋼機(jī)壓下位置控制系統(tǒng)速度，控制系統(tǒng)等效時間常數(shù)，,采樣周期取為T=100ms,開環(huán)增益K=10分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性U（S）Y（S）第一百零六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日有一特征根在單位園外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定U（S）Y（S）第一百零七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日例二采樣控制系統(tǒng)如圖所示，對象的傳遞函數(shù)為：，采樣周期，分別討論和時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：時，經(jīng)整理：第一百零八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日閉環(huán)特征方程為：時：特征方程為：兩根為：時：兩根都在單位圓內(nèi)，此時采樣控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第一百零九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日兩根為：

時：兩根都在單位圓外，此時采樣控制系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

時：特征方程為：

25第一百一十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日二.穩(wěn)定判據(jù)1.勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)理論是建立在特征根是否全部具有負(fù)實(shí)部的基礎(chǔ)上，只能應(yīng)用于S平面，而無法適用于Z平面。為了判斷采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須采用雙線性變換，把Z平面變換到另外一復(fù)平面中，采用雙線性變換和勞斯穩(wěn)定判據(jù)相結(jié)合是離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的一種常用方法。第一百一十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日采樣系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定性判據(jù)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)也可采用勞斯判據(jù)但是必須對復(fù)自變量做雙線性變換：作用：把z平面中單位圓內(nèi)部映射到w平面的左半平面第一百一十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日平面到平面的映射

W平面類似于S平面，與z平面具有相同的映射關(guān)系，但是在定量關(guān)系上它決不等于S平面。第一百一十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第一百一十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日雙線性變換+勞斯判據(jù)不僅可以用于判斷穩(wěn)定性，還可以用來分析放大系數(shù)、采樣周期對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。第一百一十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日24。324246T/TuK第一百一十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日三。奈氏判據(jù)和勞斯穩(wěn)定判據(jù)一樣，奈氏穩(wěn)定判據(jù)不能直接適用于脈沖傳函，方法還是采用復(fù)數(shù)雙線性變換，這樣很容易就可以畫出采樣系統(tǒng)的Bode圖，舉例說明。第一百一十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日系統(tǒng)Bode圖如下，可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第一百一十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日26第一百一十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日四.采樣系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差和連續(xù)系統(tǒng)一樣，穩(wěn)態(tài)分析也是分析和設(shè)計(jì)采樣系統(tǒng)的一個重要指標(biāo)，在連續(xù)系統(tǒng)中穩(wěn)態(tài)偏差與系統(tǒng)的輸入信號類型以及系統(tǒng)本身類型有關(guān)，對采樣系統(tǒng)也是如此。同一個采樣系統(tǒng)，對于階躍函數(shù)輸入可能沒有穩(wěn)態(tài)誤差，但是當(dāng)輸入斜坡函數(shù)時，就有可能產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，另外，對同一類型的輸入系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差的大小還取決于該系統(tǒng)脈沖傳函的結(jié)構(gòu)類型，參數(shù)。第一百二十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日離散系統(tǒng)如上圖所示，則若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則由終值定理第一百二十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日采樣控制系統(tǒng)的型號：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)中，含有的極點(diǎn)數(shù)分別稱為0型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)、Ⅱ型系統(tǒng)、Ⅲ型系統(tǒng)……

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅與開環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且與輸入信號的形式有關(guān)。第一百二十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日若定義，則對1、2型系統(tǒng)易知，故Kp

ess0型1型2型靜態(tài)位置誤差系數(shù)輸入為單位階躍r(t)=1(t)時第一百二十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日若定義，則Kv

ess

0型01型2型0靜態(tài)速度誤差系數(shù)其中輸入為單位斜坡r(t)=t*1(t)時第一百二十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日若定義，則令，則Ka

ess0型01型02型靜態(tài)加速度誤差系數(shù)輸入為單位斜坡r(t)=0.5t2*1(t)時第一百二十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日輸入系統(tǒng)類別位置誤差速度誤差加速度誤差0型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)0Ⅱ型系統(tǒng)00Ⅲ型系統(tǒng)000單位反饋采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差27第一百二十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日五.根的位置與暫態(tài)特性關(guān)系 在連續(xù)系統(tǒng)分析中，我們知道閉環(huán)傳函的S平面零極點(diǎn)分布，與輸出的暫態(tài)特性有密切的關(guān)系。例如極點(diǎn)在S平面左半平面負(fù)實(shí)軸上，相當(dāng)于單調(diào)的衰減過程，左半平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對應(yīng)衰減的振蕩過程，而衰減的快慢決定于極點(diǎn)實(shí)部到原點(diǎn)的距離，振蕩的頻率取決于虛部的大小。對應(yīng)于采樣系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳函極點(diǎn)在Z平面上的位置，也與輸出的暫態(tài)響應(yīng)有密切關(guān)系。第一百二十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日連續(xù)系統(tǒng)：單調(diào)發(fā)散振蕩發(fā)散等幅振蕩振蕩收斂單調(diào)收斂第一百二十八頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日離散系統(tǒng)單調(diào)發(fā)散振蕩發(fā)散等幅振蕩振蕩收斂單調(diào)收斂第一百二十九頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日特征根位置：Z平面沿實(shí)軸從右向左單調(diào)發(fā)散單調(diào)衰減振蕩衰減等幅振蕩發(fā)散振蕩其他位置單位圓由內(nèi)向外振蕩衰減等幅振蕩發(fā)散振蕩從右向左振蕩頻率增加第一百三十頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日采樣系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)選取原則由上述分析可知，極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)是穩(wěn)定的，但應(yīng)盡量避免選在左半圓，特別是靠近負(fù)實(shí)軸邊界處，此處振蕩頻率高而且衰減很慢。最好位置選擇在單位圓內(nèi)正實(shí)軸上且靠近原點(diǎn)，此時系統(tǒng)輸出單調(diào)衰減，且收斂速度極快。第一百三十一頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日概念介紹（反映系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)）一.等頻線（等線）在S平面上，等頻線是一條平行于實(shí)軸的直線，頻率恒定對應(yīng)到Z平面上，映射成了從原點(diǎn)出發(fā)向外輻射的一條直線，與實(shí)軸夾角S第一百三十二頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第一百三十三頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第一百三十四頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日第十節(jié)數(shù)字控制器設(shè)計(jì)線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)主要有兩種：模擬化設(shè)計(jì)和離散化設(shè)計(jì)。模擬化設(shè)計(jì)方法就是按整個控制系統(tǒng)是連續(xù)的，并按連續(xù)系統(tǒng)的理論來設(shè)計(jì)校正裝置，然后再用適當(dāng)?shù)姆椒▽⒃撔Ｕb置離散化；離散化設(shè)計(jì)方法又叫做直接設(shè)計(jì)方法，就是首先把控制系統(tǒng)離散化，求出脈沖傳遞函數(shù)，并按照離散系統(tǒng)理論來設(shè)計(jì)數(shù)字控制器。第一百三十五頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日一模擬化設(shè)計(jì)方法前提：采樣頻率足夠高，采樣器和保持器的影響可以忽略不記。其主要設(shè)計(jì)方法有根軌跡，頻域分析等第一百三十六頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日就可以得到位置式PID數(shù)字控制器：所提供的信號U(k)往往用來決定執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置（如閥門開度）將上式后移得：兩式相減，就得到增量式數(shù)字PID控制器：第一百三十七頁，共一百五十二頁，2022年，8月28日將位置式和增量式進(jìn)行比較可以看出：位置式PID控制器每次輸出都是全量輸出，也就是執(zhí)行機(jī)構(gòu)應(yīng)該達(dá)到的位置