（新課標(biāo)）2023春高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.2均值不等式第2課時(shí)均值不等式的應(yīng)用-證明問(wèn)題課時(shí)作業(yè)新人教B版必修5

PAGEPAGE62022春高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.2均值不等式第2課時(shí)均值不等式的應(yīng)用——證明問(wèn)題課時(shí)作業(yè)新人教B版必修5基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．a(chǎn)、b、c是互不相等的正數(shù)，且a2＋c2＝2bc，那么以下關(guān)系中可能成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542692)(C)A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．a(chǎn)>c>b[解析]∵a、c均為正數(shù)，且a≠c，∴a2＋c2>2ac又∵a2＋c2＝2bc，∴2bc>2ac∵c>0，∴b>a，排除A、B、D，應(yīng)選C．2．設(shè){an}是正數(shù)等差數(shù)列，{bn}是正數(shù)等比數(shù)列，且a1＝b1，a21＝b21，那么eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542693)(D)A．a(chǎn)11＝b11 B．a(chǎn)11>b11C．a(chǎn)11<b11 D．a(chǎn)11≥b11[解析]∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝eq\f(a1＋a21,2)＝eq\f(b1＋b21,2)≥eq\r(b1b21)＝b11，等號(hào)成立時(shí)，b1＝b21，即此時(shí){an}、{bn}均為常數(shù)列，應(yīng)選D．3．小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，那么eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542694)(A)A．a(chǎn)<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C．eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)[解析]設(shè)甲、乙兩地之間的路程為s.∵a<b，∴v＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2sab,a＋bs)＝eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，又v－a＝eq\f(2ab,a＋b)－a＝eq\f(ab－a2,a＋b)>eq\f(a2－a2,a＋b)＝0，∴v>a.4．R1、R2是阻值不同的兩個(gè)電阻，現(xiàn)分別按圖①、②連接，設(shè)相應(yīng)的總阻值分別為RA、RB，那么RA與RB的大小關(guān)系是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542695)(A)A．RA>RB B．RA＝RBC．RA<RB D．不確定[解析]RA＝eq\f(R1＋R2,2)，RB＝eq\f(2R1R2,R1＋R2)，RA－RB＝eq\f(R1＋R2,2)－eq\f(2R1R2,R1＋R2)＝eq\f(R1＋R22－4R1R2,2R1＋R2)＝eq\f(R1－R22,2R1＋R2)>0，所以RA>RB．5．a(chǎn)>1，b>1，且lga＋lgb＝6，那么lga·lgb的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542696)(B)A．6 B．9C．12 D．18[解析]∵a>1，b>1，∴l(xiāng)ga>0，lgb>0，又lga＋lgb＝6，∴l(xiāng)ga·lgb≤(eq\f(lga＋lgb,2))2＝(eq\f(6,2))2＝9，應(yīng)選B．6．某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．假設(shè)每批生產(chǎn)x件，那么平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542697)(B)A．60件 B．80件C．100件 D．120件[解析]由題意知倉(cāng)儲(chǔ)x件需要的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為eq\f(x2,8)元，所以平均費(fèi)用為y＝eq\f(x,8)＋eq\f(800,x)≥2eq\r(\f(x,8)×\f(800,x))＝20，當(dāng)且僅當(dāng)x＝80等號(hào)成立．二、填空題7．eq\f(2,x)＋eq\f(3,y)＝2(x>0，y>0)，那么xy的最小值是6.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542698)[解析]eq\f(2,x)＋eq\f(3,y)≥2eq\r(\f(6,xy))，∴2eq\r(\f(6,xy))≤2，∴xy≥6.8．假設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足x2＋y2＋xy＝1，那么x＋y的最大值是eq\f(2\r(3),3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542699)[解析]∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.又∵xy≤(eq\f(x＋y,2))2，∴(x＋y)2≤(eq\f(x＋y,2))2＋1，即eq\f(3,4)(x＋y)2≤1.∴(x＋y)2≤eq\f(4,3).∴－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3).∴x＋y的最大值為eq\f(2\r(3),3).三、解答題9．a(chǎn)、b、c∈R，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542700)[解析]∵eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(a＋b,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(a＋b)(a、b∈R等號(hào)在a＝b時(shí)成立)．同理eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)(等號(hào)在b＝c時(shí)成立)．eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋c)(等號(hào)在a＝c時(shí)成立)．三式相加得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)＋eq\f(\r(2),2)(b＋c)＋eq\f(\r(2),2)(a＋c)＝eq\r(2)(a＋b＋c)(等號(hào)在a＝b＝c時(shí)成立)．10．a(chǎn)>0，b>0，且a＋b＝1，求證：(a＋1)2＋(b＋1)2≥eq\f(9,2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542701)[解析]∵a>0，b>0，∴a＋b≤eq\r(2a2＋b2)，∴(a＋1)＋(b＋1)≤eq\r(2a＋12＋2b＋12)，又∵a＋b＝1，∴3≤eq\r(2a＋12＋2b＋12)，∴(a＋1)2＋(b＋1)2≥eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．∴(a＋1)2＋(b＋1)2≥eq\f(9,2).能力提升一、選擇題1．假設(shè)a、b、c、d、x、y是正實(shí)數(shù)，且P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ax＋cy)·eq\r(\f(b,x)＋\f(d,y))，那么有eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542702)(C)A．P＝Q B．P≥QC．P≤Q D．P>Q[解析]Q＝eq\r(ax＋cy)·eq\r(\f(b,x)＋\f(d,y))＝eq\r(ab＋cd＋\f(adx,y)＋\f(bcy,x))≥eq\r(ab＋cd＋2\r(abcd))＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)＝P.2．x≥eq\f(5,2)，那么f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542703)(D)A．最大值eq\f(5,4) B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1 D．最小值1[解析]∵x≥eq\f(5,2)，∴x－2＞0，那么f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(1,2)×eq\f(x2－4x＋5,x－2)＝eq\f(1,2)×eq\f(x－22＋1,x－2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時(shí)等號(hào)成立．3．y>x>0，且x＋y＝1，那么eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542704)(D)A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y[解析]∵y>x>0，且x＋y＝1，∴設(shè)y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，那么eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).∴x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y.應(yīng)選D．4．設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)，給出以下不等式：①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2，其中恒成立的序號(hào)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542705)(D)A．①③ B．①④C．②③ D．②④[解析]∵a、b∈R＋時(shí)，a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\f(2\r(ab),a＋b)≤1，∴eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)，∴①不恒成立，排除A、B；∵ab＋eq\f(2,ab)≥2eq\r(2)>2恒成立，應(yīng)選D．二、填空題5．建造一個(gè)容積為8m3，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為1_760元.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542706)[解析]設(shè)水池池底的一邊長(zhǎng)為xm，那么另一邊長(zhǎng)為eq\f(4,x)m，那么總造價(jià)為：y＝480＋80×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(4,x)))×2＝480＋320eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥480＋320×2eq\r(x×\f(4,x))＝1760.當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)即x＝2時(shí)，y取最小值1760.所以水池的最低總造價(jià)為1760元．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的點(diǎn)，那么點(diǎn)P到AC、BC的距離乘積的最大值是3.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542707)[解析]以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，那么AB方程為eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，∵x、y∈R＋，∴1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(xy,12))，∴xy≤3.三、解答題7．假設(shè)x>0，y>0，x＋y＝1，求證：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542708)[解析]證法一：左邊＝(1＋eq\f(1,x))(1＋eq\f(1,y))＝1＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(x＋y,xy)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋eq\f(2,\f(x＋y,2)2)＝9＝右邊．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．證法二：∵x＋y＝1，∴左邊＝(1＋eq\f(1,x))(1＋eq\f(1,y))＝(1＋eq\f(x＋y,x))(1＋eq\f(x＋y,y))＝(2＋eq\f(y,x))(2＋eq\f(x,y))＝5＋2(eq\f(y,x)＋eq\f(x,y))≥5＋4＝9＝右邊．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．8．a(chǎn)、b、c∈R＋，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542709)[解析]∵a、b、c∈R＋，eq