漲落理論實(shí)用

統(tǒng)計(jì)物理中宏觀量是對(duì)應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，因此宏觀性質(zhì)會(huì)出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)平均所帶來(lái)的漲落。

漲落現(xiàn)象有兩種，一種是圍繞平均值漲落，另一種是布朗運(yùn)動(dòng)。

宏觀量圍繞平均值的漲落指的是宏觀量的瞬時(shí)值與它的平均值的偏差。系綜理論中曾用正則分布函數(shù)和巨正則分布函數(shù)，分別討論了正則系綜的能量漲落和巨正則系綜的粒子數(shù)和能量的漲落。然而，系綜理論中用到的求漲落的方法并不普遍，有的宏觀量沒(méi)有直接對(duì)應(yīng)的微觀量，如熵和溫度的漲落，此外還有一些強(qiáng)度量的漲落，如壓強(qiáng)和化學(xué)勢(shì)的漲落不易求得。本章將引入漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論來(lái)計(jì)算各宏觀量的熱力學(xué)漲落。

第1頁(yè)/共24頁(yè)第一頁(yè)，共25頁(yè)。

布朗運(yùn)動(dòng)是處在氣體或液體中的微小粒子由于受到周圍氣體或液體分子的碰撞而產(chǎn)生的不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。分子和微粒子碰撞所產(chǎn)生的剩余力造成無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)，這種剩余力是一種漲落力。布朗運(yùn)動(dòng)在隨機(jī)過(guò)程研究中具有重要的意義。第2頁(yè)/共24頁(yè)第二頁(yè)，共25頁(yè)。1

漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論

熱力學(xué)本身是不討論漲落的,此處“準(zhǔn)”是指用了許多熱力學(xué)公式，但根本上是從統(tǒng)計(jì)出發(fā)考慮的。1.1

漲落的基本公式問(wèn)題：有一系統(tǒng)，平衡時(shí)，E、V、S各有平衡值，

若系統(tǒng)的微觀態(tài)具有，求這微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率W？

對(duì)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)（E、V、N一定），平衡態(tài)的熵和系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)的極大值之間的關(guān)系由玻爾茲曼關(guān)系給出

第3頁(yè)/共24頁(yè)第三頁(yè)，共25頁(yè)。據(jù)等概率原理，對(duì)出現(xiàn)的概率有由于漲落，熵S可以偏離極大值，由玻爾茲曼關(guān)系可得由兩面上式得到，孤立系統(tǒng)熵具有偏差的概率為設(shè)想所考慮的系統(tǒng)與一個(gè)大熱源接觸而達(dá)到熱平衡，系統(tǒng)和熱源構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)是孤立系統(tǒng)，有確定的能量和體積第4頁(yè)/共24頁(yè)第四頁(yè)，共25頁(yè)。

熱源很大，平衡時(shí)系統(tǒng)的溫度和壓強(qiáng)等于熱源的溫度T和壓強(qiáng)p.由熱力學(xué)基本方程式得

將上式代入（*）式，得到系統(tǒng)的熵、內(nèi)能和體積分別為

的概率為基本公式I第5頁(yè)/共24頁(yè)第五頁(yè)，共25頁(yè)。

簡(jiǎn)單系統(tǒng)只有兩個(gè)獨(dú)立變量，選S和V作為自變量，E是S和V的函數(shù)，能量的偏差可理解為

即假設(shè)在有漲落時(shí).

系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，通常偏差都比較小，可以把

在附近作泰勒展開(kāi)，準(zhǔn)確到二階項(xiàng)有

其中各級(jí)偏導(dǎo)數(shù)取時(shí)的值.

第6頁(yè)/共24頁(yè)第六頁(yè)，共25頁(yè)。

將代入上頁(yè)展開(kāi)式，可得

上式代入基本公式I，得

根據(jù)基本公式可以計(jì)算系統(tǒng)各宏觀量的漲落

和漲落的關(guān)聯(lián)！基本公式II第7頁(yè)/共24頁(yè)第七頁(yè)，共25頁(yè)。1.2

基本公式的應(yīng)用

系統(tǒng)只有兩個(gè)獨(dú)立變量，基本公式II中的四個(gè)偏差中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，可以選取兩個(gè)變量X、Y作為自變量，利

用基本公式II去求等等.以T、V為自變量

代入基本公式II，得

第8頁(yè)/共24頁(yè)第八頁(yè)，共25頁(yè)。按照求平均值的公式，得到第9頁(yè)/共24頁(yè)第九頁(yè)，共25頁(yè)。以S和p為自變量

可以求得

相關(guān)函數(shù)，值為0表示T和V是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的第10頁(yè)/共24頁(yè)第十頁(yè)，共25頁(yè)。其它相關(guān)函數(shù)

上式求平均，得

用類似的方法可以證明第11頁(yè)/共24頁(yè)第十一頁(yè)，共25頁(yè)。粒子數(shù)N和能量E的漲落

系綜理論中用配分函數(shù)求得了粒子數(shù)和能量的漲落，現(xiàn)在用漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論得新導(dǎo)出這兩個(gè)漲落的表達(dá)式.

前面在粒子數(shù)N固定的條件下求得，利用它可以求得粒子數(shù)密度n的漲落和體積V的漲落之間的關(guān)系.

由，粒子數(shù)N固定時(shí)，有

粒子數(shù)密度的相對(duì)漲落為

如果把粒子數(shù)密度的漲落應(yīng)用到某個(gè)V固定而N改變的系統(tǒng)，則

與用巨正則分布求得的結(jié)果一致第12頁(yè)/共24頁(yè)第十二頁(yè)，共25頁(yè)。

下面計(jì)算系統(tǒng)能量的漲落，以T、V為自變量，有

利用熱力學(xué)公式，得第13頁(yè)/共24頁(yè)第十三頁(yè)，共25頁(yè)。

為了和系綜理論中得到漲落公式比較，求時(shí)，粒子數(shù)N不變轉(zhuǎn)換到體積V不變，由N=nV得

將上式代入前頁(yè)結(jié)果得

上式最后一步利用了關(guān)于的結(jié)果；此能量漲落式與系綜理論中用巨正則分布函數(shù)得到的結(jié)果一致.第14頁(yè)/共24頁(yè)第十四頁(yè)，共25頁(yè)。2

布朗運(yùn)動(dòng)2.1

布朗運(yùn)動(dòng)和研究布朗運(yùn)動(dòng)的意義

1827年，植物學(xué)家布朗觀察到懸浮在液體中的花粉或其他小顆粒不停地做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，顆粒愈小，其運(yùn)動(dòng)就愈激烈，這就是布朗運(yùn)動(dòng)。

在此后很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，人們并不了解這種運(yùn)動(dòng)的原因，在1877年德?tīng)査鞑耪_地指出，布朗運(yùn)動(dòng)是顆粒受到介質(zhì)分子碰撞不平衡引起的。直到上個(gè)世紀(jì)初，愛(ài)因斯坦（1905年）、斯莫陸綽斯基（1906年）和朗之萬(wàn)（1908年）等發(fā)表了他們的理論，皮蘭（1908年）完成了他的實(shí)驗(yàn)工作，布朗運(yùn)動(dòng)才得到清楚的解釋。第15頁(yè)/共24頁(yè)第十五頁(yè)，共25頁(yè)。布朗粒子通常很小，直徑約

（微米量級(jí)），要在顯微鏡下才能看到。由于粒子很小，它受到周圍流體介質(zhì)分子的碰撞一般是不平衡的，這個(gè)凈作用力足以讓粒子產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，粒子愈小，布朗運(yùn)動(dòng)就愈顯著。由于分子熱運(yùn)動(dòng)變化劇烈，產(chǎn)生的力漲落不定，其大小和方向也不斷地發(fā)生變化，因而粒子的運(yùn)動(dòng)是無(wú)規(guī)則的。布朗粒子與分子碰撞所產(chǎn)生的能量交換過(guò)程，類似于分子間的碰撞過(guò)程，所以可以把布朗運(yùn)動(dòng)看成分子運(yùn)動(dòng)的一個(gè)宏觀表示。第16頁(yè)/共24頁(yè)第十六頁(yè)，共25頁(yè)。研究布朗運(yùn)動(dòng)的意義：1.為分子運(yùn)動(dòng)論提供有力的證據(jù)。在關(guān)于物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，以羅蒙諾索夫?yàn)槭椎姆肿舆\(yùn)動(dòng)論思想和經(jīng)化學(xué)家?jiàn)W斯瓦爾德為首的唯能論者曾經(jīng)歷漫長(zhǎng)的爭(zhēng)論。因?yàn)槿祟惖难哿ι形瓷钊氲轿⒂^世界，因而爭(zhēng)論正確方得不到有力的證據(jù)。而布朗運(yùn)動(dòng)可以間接看到介質(zhì)分子的無(wú)規(guī)則、毫不停止的運(yùn)動(dòng)。2.在精密測(cè)量中也有意義。如微電流的測(cè)量，精密度要受到布朗運(yùn)動(dòng)的限制。電流計(jì)及其他帶有懸絲和反射鏡的儀器，由于反射鏡受到周圍空氣分子的碰撞而施加的力矩一般來(lái)說(shuō)是不平衡的，因而會(huì)產(chǎn)生無(wú)規(guī)則的漲落擺動(dòng)。第17頁(yè)/共24頁(yè)第十七頁(yè)，共25頁(yè)。2.2

朗之萬(wàn)方程和愛(ài)因斯坦公式

首先講述布朗運(yùn)動(dòng)的朗之萬(wàn)理論.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮顆粒運(yùn)動(dòng)在一個(gè)水平方向的投影.

顆粒運(yùn)動(dòng)方程為

式中f(t)表示介質(zhì)分子施于顆粒的凈作用力，g(t)表示可能存在的其它作用力，如電磁力、重力. f(t)分成兩部分，一部分為粘滯阻力，根據(jù)粘滯阻力的斯托克斯公式，有 f(t)的另一部分是漲落力F(t)，相當(dāng)于分子對(duì)靜止的布朗顆粒的碰撞靜作用力.漲落力F(t)取正負(fù)具有相同的概率，其平均值為0.

第18頁(yè)/共24頁(yè)第十八頁(yè)，共25頁(yè)。

作出上面的區(qū)分后，可將顆粒的運(yùn)動(dòng)方程表為

上式稱為朗之萬(wàn)方程.

當(dāng)不存在其它外力時(shí)，朗之萬(wàn)方程為

以

乘上式，考慮到

可得

將上式對(duì)大量顆粒求平均，加一橫線表示求得的平均值.第19頁(yè)/共24頁(yè)第十九頁(yè)，共25頁(yè)。（1）注意求平均與對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)的次序可以交換，即（2）漲落力F(t)與顆粒的位置無(wú)關(guān)（3）在顆粒與介質(zhì)達(dá)到熱平衡的情況下，根據(jù)能量均分定理顆粒在方向的平均動(dòng)能為利用以上結(jié)果，可得到

第20頁(yè)/共24頁(yè)第二十頁(yè)，共25頁(yè)。

方程的通解為

其中C1、C2是積分常數(shù).

的數(shù)值可估計(jì)如下：

設(shè)布朗顆粒是半徑為a的小球，，則.

在皮蘭的實(shí)驗(yàn)中

由此算得因此在很短的時(shí)間后（例如），通解中的第二項(xiàng)便可忽略.

若假設(shè)所有的粒子在t=0時(shí)都處在處，得C2=0.

因此得

左式被稱作愛(ài)因斯坦公式，為皮蘭實(shí)驗(yàn)所證實(shí).第21頁(yè)/共24頁(yè)第二十一頁(yè)，共25頁(yè)。2.3

從擴(kuò)散觀點(diǎn)看布朗運(yùn)動(dòng)

當(dāng)存在大量布朗粒子，其密度分布不均勻時(shí)，可觀測(cè)到布朗顆粒的擴(kuò)散.擴(kuò)散實(shí)際上是顆粒作布朗運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生位移.現(xiàn)在再?gòu)臄U(kuò)散的觀點(diǎn)研究顆粒的布朗運(yùn)動(dòng).第22頁(yè)/共24頁(yè)第二十二頁(yè)，共25頁(yè)。擴(kuò)散方程在上述初始條件下的解為上式與愛(ài)因斯坦方程完全一致，比較可得.第23頁(yè)/共24頁(yè)第二十三頁(yè)，共25頁(yè)。感謝您的觀看！第24頁(yè)/共24頁(yè)第二十四頁(yè)，共25頁(yè)。內(nèi)容