立體幾何空間向量的計算

立體幾何空間向量的計算【知識梳理】空間中任意兩個向量必共面.空間中兩向量的加減、數量積、數與向量積的運算及運算律與平面向量完全一樣.共面向量定理和空間向量分解定理由“二維”擴充到“三維”.1.向量的有關概念：向量、向量的模、零向量、單位向量、相等（反）的向量、共線（平行）向量、共面向量、向量的夾角、向量的線性表示、法向量、方向向量.2．向量的運算及幾何表示：（1）加法：；（_2_）_減_法_：；_（_3）_數_乘_向_量_：（4）向量的數量積：①定乂：ab=abcosa,①定乂：ab=abcosa,b;②cosa,b=IIIah用于求向量的夾角;個向量垂直.重要定理：（1共線向量定理：a//bo存在實數九使（）共面向量定理:向量（）共面向量定理:向量p與兩不共線“a亍共面0存在實數對、，使推論：若、、不共線，OP=xOA+yOB］則pa共線O（）空間向量基本定理:若a、b、m不共面，則存在唯一的使p推論:若、、、不共面，OP=xOA+yOB+zOC貝U、、、共面O．空間向量的坐標運算：（）a±．空間向量的坐標運算：（）a±b=若a=(a,a,a),b=(b,b,b),則12,123；九a=_a_b=；；()a/ibo*_Lbo()模長公式：Ia1=TOC\o"1-5"\h\z―A-A()夾角公式cosa-b=()若A(x,y,z)，B(工,y,z)，(％y,z)則ab=1112233|AB|=；A中點P的坐標是；三角形的重心的坐標是求平面法向量的方法：設n=（x,y,z）是平面a的一個法向量，、是平面a內的兩條相交直線，則nAB=0,nCD=0由此求出一個法向量

【經典例題】例、如圖所示，在平行六面體ABCDABCD中，設加1a,abb,adc,M,N,P分別是AA,BC,CD的中點，試用a,b,c表示以下各向量：(、)AP；(2)A1N；(3)MP+NC1練習：已知空間四邊形ABCD,連結AC,BD,設M,G分別是BC,1列各表達式,并標出化簡結果向量：(1)AB+BC+CDAB+2(BD+B,)AG—2(AB+Af)例、已知點P(x,y,z)()點p(x,y,z)關于xoy平面的對稱點為()點p(x,y,z)關于yoz平面的對稱點為()點p(羽y,z)關于％oz平面的對稱點為()點P(羽y,z)關于％軸的對稱點為()點P(羽y,z)關于y軸的對稱點為()點P(羽y,z)關于z軸的對稱點為()點p(x,y,z)關于原點的對稱點為例、設空間任意一點O和不共線的三點A、B、C,若點P滿足向量關系OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)試問：P、A、B、C四點是否共面？例、()若A02—)B，，—)C-1—是平面a內三點，設平面a的法888向量axyz則X:y:Z()已知A(io)、B(,i)、C(,o)，則平面ABC的一個單位法向量是(寫出一個即可)例、如圖，在空間四邊形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,/OAC=45,/OAB=60,求OA與BC的夾角的余弦值.00【課后作業(yè)】-Hr—>—&■-Hr―、在下列命題中：①若4、b共線，則4、b所在的直線平行；②若4、b所在的直線是異面直線，則4、b一定不共面；③若4、b、C三向量兩兩共面，則4、b、C三向量一定也共面；④已知三向量4、b、C，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為p=X4+yb+zc.其中正確命題的個數為()2、已知A,B,C三點不共線，對平面ABC外的任一點O,下列條件中能確定點M與A,B,C定共面的是OM=OM=OA+OB+OCOM=2OA—OB—OC(C)(C)OM=OA+1OB+1OC2>(D)OM=3OA；OB3CC—?—?—?3、已知向量4=(2,—1,3),b=(舉,2,x)，使4±b成立的x與使4夕b成立的x分別為(),A．B.-10,66

3、已知4=(A．B.-10,66

3、已知4=(2—),b=(一10C.-6,—,66—?3,—),C=(710D.6,--,66,人)，若4、b、c三向量共面，則實數人等于A62B6377、已知^的三個頂點為(，中線長為64)，)，()657(05)，貝U邊上的()6、若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,—1,4),則4ABC的形狀是()A.不等邊銳角三角形B.直角三角形C鈍角三角形D.等邊三角形、在空間直角坐標系-Xyz中點在平面xOy內的射影的坐標為點關于平面xOy的對稱點的坐標為8、已知點G是AABC的重心，O是空間中任一點，若OA+OB+OC6OG，則九的值為.上—9已知向量4=(1,1,0),b=(1,0,2),4在b方向上的射影是_.10、已知力F1=(12,3),F2=(-2,3,-1),Fj(3,-+5),若F1,F2,F3共同作用于同一物體上，使物體從M](0,-2,1)移到M2(3,1,2),則合力作的功為.

立體幾何空間向量的應用【知識梳理】、四點共面的證明：、、、四點共面的充要條件是OP=xOA+yOB+zOC（x+y+z=1）.、直線l,l的方向向量是a,b，平面a,p的法向量是n,n,平面a內不共線向量c,d,12①ll12①llo12②l±lo123、空間的角的計算：；__l1/_/a_o_la

_^^^_^1；a>Po_aPo①線線角：求方向向量的夾角或其補角，②線面角：-Ia-nI②線面角：0「1?IaIInI1③二面角：求法向量的夾角或其補角小10③二面角：4、空間的距離的計算：（平面a的法向量為n）①兩點間的距離的計算：基向量法或兩點間的距離（坐標）公式：②點到平面的距離的計算:直線與平面②點到平面的距離的計算:直線與平面a交于點In?AnBI,則點到平面a的距離hInnI③異面直線的距離的計算：若a、b是兩異面直線，n是a和b的法向量，點E￡a,F￡b,則異面直線a與b之間的距離是,In?EFId=——InI④直線到平面的距離和平面與平面間的距離的求法：轉化成點面距離?【典型例題】一?0例、如圖所示，已知點P在正方體ABCD-A’B‘C‘D’的對角線BD,上NPDA

求DP與CC’所成角的大小求DP與平面AA’D’D所成角的大小

03，例、在三棱錐S—ABC中，AABC是邊長為的正三角形，平面SAC，平面ABC,3，M、N分別為AB、SB的中點，如圖所示求點B到平面CMN的距離例、如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AFiM是線段EF的中點求證：()AM〃平面BDE；()AM，平面BDF【能力提升】例4如圖，四邊形ABCD為正方形，PD，平面ABCD,PD//QA,QA=AB=|PD.(1)證明：平面PQC，平面DCQ；求二面角一一的余弦值.例、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA，底面ABCD.四邊形ABCD中AB±AD,AB+AD=4,CD=2,NCDA=45°.(1)求證：平面PAB，平面PAD；(2)設AB=AP.①若直線PB與平面PCD所成的角為30°,求線段AB的長;②在線段AD上是否存在一個點G,使得點G到P、B、由．例、如圖1—6,在四棱錐P—ABCD中，PA，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,ZBAD=60°.(1)求證：BD，平面PAC；(2)若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦