直角坐標系求面積

求坐標系中圖形的面積

四平六中

徐亞恒

問題1：求下列條件下線段AB的長度.1）A(－6，0)，B(－2，0)2）A(－3，0)，B(2，0)3）A(1，0)，B(5，0).4）A(x1，0)，B(x2，0).5）A(0，y1)，B(0

，y2).Oxy

-5-4-3-2-1123454321-1-2-3-4如圖（1），△AOB的面積是多少？問題2yOx圖（1）AB43211234(4,0)(0,3)yABC

練習.１．已知A(1,4),B(-4,0),C(2,0).△ABC的面積是＿＿＿．２.若BC的坐標不變,△ABC的面積為6,點A的橫坐標為-1,那么點A的坐標為__

_.12O(1,4)(-4,0)(2,0)CyAB(-4,0)(2,0)(-1,2)或(-1,-2)

坐標距離三角形面積線段長度點一、有一邊在坐標軸上

例1如圖1，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面積嗎？

分析：根據(jù)三個頂點的坐標特征可以看出，△ABC的邊BC在y軸上，由圖形可得BC＝4，點A到BC邊的距離就是A點到y(tǒng)軸的距離，也就是A點橫坐標的絕對值3，然后根據(jù)三角形的面積公式求解.

解：因為B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因為A(-3,0),所以A點到y(tǒng)軸的距離，即BC邊上的高為3，已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y)

(1)若點C在第二象限，且|x|=4,|y|=4,

求點C的坐標，并求三角形ABC的面積；

分析(1)由點C在第二象限，可知x和y的符號，這樣可化簡絕對值，從而求點C的坐標，求三角形的面積，關鍵求點C到AB所在的直線即x軸的距離|y|31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1ABC已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y)

（2）若點C在第四象限上，且三角形ABC的面積=9，|x|=3,求點C的坐標31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1ABC分析：由三角形的面積可求出C到AB所在的直線距離為3,而點C在第四象限可知它的坐標符號，從而可知y=-3（若不限定C的象限，求C點的坐標又如何？）

Oy43211234A(2,1)x圖（3）Oxy圖（4）A(2,1)43211234二、有一邊與坐標軸平行例2如圖2，三角形ABC三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面積.分析：由A（4，1），B（4，5）兩點的橫坐標相同，可知邊AB與y軸平行，因而AB的長度易求.作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標與A點的橫坐標相同，也是4，這樣就可求得線段CD的長，進而可求得三角形ABC的面積.

解：因為A，B兩點的橫坐標相同，所以邊AB∥y軸，所以AB=5-1=4.作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標為4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.OXYA(2,1)43211234圖（5）三、三邊均不與坐標軸平行例3如圖2,平面直角坐標系中，已知點A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面積嗎？

解：如圖，過點A、C分別作平行于y軸的直線，與過點B平行于x軸的直線交于點D、E，則四邊形ADEC為梯形.因為A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－

×4×4－×

6×1＝14.＝分析：由于三邊均不平行于坐標軸，所以我們無法直接求邊長，也無法求高，因此得另想辦法.根據(jù)平面直角坐標系的特點，可以將三角形圍在一個梯形或長方形中，這個梯形（長方形）的上下底（長）與其中一坐標軸平行，高（寬）與另一坐標軸平行.這樣，梯形（長方形）的面積容易求出，再減去圍在梯形（長方形）內邊緣部分的直角三角形的面積，即可求得原三角形的面積.Oy43211234A(2,1)x圖（6）Oy43211234A(2,1)x圖（7）C(2,2)MN方法1Oy43211234A(2,1)x圖（8）D(1,1)EF方法2Oy43211234A(2,1)xE(4,1)F(4,0)圖（9）方法3Oy43211234A(2,1)xE(4,1)F(4,0)圖（10）G(0,4)方法4Oy43211234A(2,1)xF(4,0)圖（11）方法5在平面直角坐標系內，已知A（―5，4），B（―2，―2），C（0，2）．求三角形ABC的面積．＝－－＝――

＝12．已知點A（0，1），點B（0，－4）,點C在軸上，如果三角形ABC的面積為15．（1）求點C的坐標．（2）若點C不在軸上，那么點C的坐標需滿足什么樣的條件（畫圖并說明）？（1）如圖，AB＝︱1-（-4）︱＝5，設點C的坐標為C（x，0），則＝＝＝15，即＝6，±6．所以點C的坐標為（6，0）或（－6，0）．AB×OC（2）點C需滿足的條件是橫坐標恒為6或－6，縱坐標任意．如圖，點C位于兩條平行于y軸且與y軸距離為6的條直線上．做一做1.已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3),求△ABC的面積.y-36x31425-2-1O12345-2-1678A(-1,-2)B(6,2)C(1,3)-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)F(-1,3)方法1-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)方法2-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)E(6,3)F(-1,3)方法3-1-2xy1234567854321-2-1OB(6,2)C(1,3)方法4A(-1,-2)A`B`C`.三角形ABC三個頂點A、B、C的坐標分別為A（2，-1），B（1，-3），C（4，-3.5）。123456-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（1）把三角形A1B1C1向右平移4個單位，再向下平移3個單位，恰好得到三角形ABC，試寫出三角形A1B1C1三個頂點的坐標;ACB123456-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（2）求出三角形A1B1C