材料力學第三章 圓軸扭轉

材料力學4何斌njhebin@2/5/2023第3章圓軸扭轉圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計圓桿扭轉時的變形及剛度條件工程中承受扭轉的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結論與討論剪應力互等定理剪切胡克定律桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對轉動，這種受力與變形形式稱為扭轉（torsion）。本章主要分析圓軸扭轉時橫截面上的剪應力以及兩相鄰橫截面的相對扭轉角，同時介紹圓軸扭轉時的強度與剛度設計方法。工程中承受扭轉的圓軸請判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉？當兩只手用力相等時，擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉。請判斷軸受哪些力？將發(fā)生什么變形？工程中承受扭轉的圓軸工程中承受扭轉的圓軸工程中承受扭轉的圓軸第3章圓軸扭轉圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計圓桿扭轉時的變形及剛度條件工程中承受扭轉的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結論與討論剪應力互等定理剪切胡克定律外加扭力矩、扭矩與扭矩圖作用于構件的外扭矩與機器的轉速、功率有關。在傳動軸計算中，通常給出傳動功率P和轉速n，則傳動軸所受的外加扭力矩Me可用下式計算：

其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉速，單位為轉/分（r/min）。

如果功率P的單位用馬力（1馬力=735.5N?m/s），則外加扭力矩、扭矩與扭矩圖外加扭力矩Me確定后，應用截面法可以確定橫截面上的內(nèi)力——扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時，橫截面上將產(chǎn)生分布剪應力，這些剪應力將組成對橫截面中心的合力矩,稱為扭矩（twistmoment），用Mx表示。

nMeMeMxMeMx+nMxMeMx-外加扭力矩、扭矩與扭矩圖如果只在軸的兩個端截面作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在軸上的外力偶矩。扭矩沿桿軸線方向變化的圖形，稱為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。當在軸的長度方向上有兩個以上的外力偶矩作用時，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖例題1圓軸受有四個繞軸線轉動的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。試：畫出圓軸的扭矩圖。

例題1解：1．確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2．應用截面法，由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

例題1

3．建立Mx－x坐標系，畫出扭矩圖建立Mx－x坐標系，其中x軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標在Mx－x坐標系中，得到相應的點，過這些點作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖對應拉壓問題與軸力圖對應的軸力圖與扭矩圖第4章圓軸扭轉圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計圓桿扭轉時的變形及剛度條件工程中承受扭轉的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結論與討論剪應力互等定理剪切胡克定律

剪應力互等定理剪切胡克定律考察承受剪應力作用的微元體，假設作用在微元左、右面上的剪應力為，這兩個面上的剪應力與其作用面積的乘積，形成一對力，二者組成一力偶。為了平衡這一力偶，微元的上、下面上必然存在剪應力ˊ，二者與其作用面積相乘后形成一對力，組成另一力偶。為保持微元的平衡，這兩個力偶的力偶矩必須大小相等，方向相反。剪應力互等定理剪切胡克定律xyzdxdydz微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎樣才能平衡？根據(jù)力偶平衡理論剪應力成對定理

在兩個互相垂直的平面上，剪應力必然成對存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線，這就是剪應力成對定理（pairingprincipleofshearstresses）。剪應力互等定理剪切胡克定律O剪切胡克定律當在彈性范圍內(nèi)加載時，剪應力與剪應變成正比:這種線性關系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。第4章圓軸扭轉圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計

圓桿扭轉時的變形及剛度條件工程中承受扭轉的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結論與討論剪應力互等定理剪切胡克定律

應用平衡方法可以確定圓桿扭轉時橫截面上的內(nèi)力分量——扭矩，但是不能確定橫截面上各點剪應力的大小。為了確定橫截面上各點的剪應力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應力是怎樣分布的。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計應力分布應力公式變形應變分布平面假定物性關系靜力方程確定橫截面上剪應力的方法與過程圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計

平面假定

變形協(xié)調方程

物性關系——剪切胡克定律

靜力學方程

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉過一角度。這一假定稱為平面假定。平面假定平面假定圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計

平面假定

變形協(xié)調方程

物性關系——剪切胡克定律

靜力學方程

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式變形協(xié)調方程若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓筒，根據(jù)上述結論，在dx長度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉過相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應變各不相同，半徑越小者剪應變越小。變形協(xié)調方程設到軸線任意遠處的剪應變?yōu)椋ǎ?，則從圖中可得到如下幾何關系：

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計

平面假定

變形協(xié)調方程

物性關系——剪切胡克定律

靜力學方程

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式物性關系——剪切胡克定律O剪切胡克定律當在彈性范圍內(nèi)加載時，剪應力與剪應變成正比:這種線性關系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。物性關系——剪切胡克定律圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計

平面假定

變形協(xié)調方程

物性關系——剪切胡克定律

靜力學方程

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式靜力學方程靜力學方程式中

GIP—扭轉剛度；

IP—橫截面的極慣性矩。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計

平面假定

變形協(xié)調方程

物性關系——剪切胡克定律

靜力學方程

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式最大剪應力Wp——

扭轉截面模量。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式空心圓截面極慣性矩與抗扭截面系數(shù)實心圓截面設圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式圓軸扭轉應力小結

公式的適用范圍：

扭轉變形基本公式：

扭轉切應力公式：

最大扭轉切應力：物理與靜力學三方面

研究方法：從實驗、假設入手，綜合考慮幾何、圓截面軸；圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式受扭圓軸的強度設計準則

與抗壓桿的強度設計相似，為了保證圓軸扭轉時安全可靠地工作，必須將圓軸橫截面上的最大剪應力max限制在一定的數(shù)值以下，即：

這一關系式稱為受扭圓軸的強度設計準則，或稱圓軸扭轉的強度條件。

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式

[

]為許用剪應力；

max是指圓軸所有橫截面上最大剪應力中的最大者，對于等截面圓軸，最大剪應力發(fā)生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點；對于變截面圓軸，如階梯軸，最大剪應力不一定發(fā)生在扭矩最大的截面，這時需要根據(jù)扭矩Mx和相應扭轉截面模量WP的數(shù)值綜合考慮才能確定。

受扭圓軸的強度設計準則

例題1已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切應力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長度相同。求:

實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。例題1解：首先根據(jù)軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩實心軸空心軸d2＝0.5D2=23mm例題1解：確定實心軸與空心軸的重量之比空心軸D2＝46mmd2＝23mm實心軸d1=45mm在長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：例題2在圖示傳動機構中，功率從B輪輸入，再通過錐齒輪將一半傳遞給鉛垂軸C，另一半傳遞給水平軸H。若已知輸入功率P1=14kW，水平軸E和H的轉速n1=n2=120r/min，錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為z1=36，z2=12，圖中d1=70,d2=50,d3=35.求各軸橫截面上的最大切應力.分析：此機構是典型的齒輪傳動機構，各傳動軸均為扭轉變形。欲求各傳動軸橫截面上的切應力，必須求得各軸所受的扭矩，即各軸所受到的外力偶矩。由題意可知，E、H、C軸所傳遞的功率分別為：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H軸轉速為120r/min,由傳動比可計算出C軸的轉速為：n3=(z1/z2)n1=3n1=360r/min再通過公式：可以求得各軸所受到的外力矩M1M2M3例題2解：1、求各軸橫截面上的扭矩：E軸：H軸：C軸：2、求各軸橫截面上的最大切應力：E軸：H軸：E軸：例題3由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別