概率與統(tǒng)計第06講

第二章隨機(jī)變量(第六講)退出前一頁后一頁目錄§1

離散型隨機(jī)變量§2

隨機(jī)變量的分布函數(shù)§3

連續(xù)型隨機(jī)變量§4二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布§5多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨立性§6條件分布(不作要求)§7隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量幾種常用的離散型隨機(jī)變量退出前一頁后一頁目錄隨機(jī)變量的概念第二章隨機(jī)變量例1

袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為§1離散型隨機(jī)變量考察取出的3只球中的黑球的個數(shù)。退出前一頁后一頁目錄一、隨機(jī)變量的概念我們記取出的黑球數(shù)為X，則X

的可能取值為1，2，3．因此，X

是一個變量．但是，

X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱X為隨機(jī)變量．X

的取值情況可由下表給出：第二章隨機(jī)變量退出前一頁后一頁目錄§1離散型隨機(jī)變量由上表可以看出，該隨機(jī)試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)著變量X

的一個確定的取值，因此變量X

是樣本空間S上的函數(shù)：我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件．例如表示至少取出2個黑球這一事件，等等．表示取出2個黑球這一事件；退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例2

擲一顆骰子，令

X：出現(xiàn)的點數(shù)．則X就是一個隨機(jī)變量．表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機(jī)事件；表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件．它的取值為1,2,3,4,5,6．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例3

上午8:00～9:00在某路口觀察，令：

Y：該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機(jī)變量．表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件．它的取值為0，1，…．注意Y

的取值是可列無窮個！退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例4觀察某電子元件的壽命（單位：小時），令

Z：該電子元件的壽命．則Z就是一個隨機(jī)變量．它的取值為所有非負(fù)實數(shù)．表示該電子元件的壽命大于1000小時這一隨機(jī)事件．表示該電子元件的壽命不超過500小時這一隨機(jī)事件．注意Z

的取值是不可列無窮個！退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例

5擲一枚硬幣，令：則X是一個隨機(jī)變量．說明：在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例

6擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的點數(shù)．我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：等等．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量1)離散型隨機(jī)變量的定義如果隨機(jī)變量X的取值是有限個或可列無窮個，則稱X

為離散型隨機(jī)變量．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量2)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的所有可能取值為并設(shè)則稱上式或為離散型隨機(jī)變量X

的分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量3)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例

1

從1～10這10個數(shù)字中隨機(jī)取出5個數(shù)字，令X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．具體寫出，即可得X

的分布律：解：X

的可能取值為5，6，7，8，9，10．并且=——求分布率一定要說明k

的取值范圍！退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例

2將1

枚硬幣擲3

次，令X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求：（1）X

的分布律；解：X

的可能取值為-3，-1，1，3．并且分布率為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例

3設(shè)隨機(jī)變量X

的分布律為解：由分布率的性質(zhì)，得該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，

每盞信號燈以概率p禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}可愛的家園例4=(1-p)3p退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布律為：Xpk

01234p或?qū)懗?/p>

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例4(續(xù))

(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例4(續(xù))退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量二、幾種常用的離散型隨機(jī)變量1)(0-1)分布(Bernoulli分布)如果隨機(jī)變量X的分布律為或則稱隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為p的Bernoulli分布．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量Bernoulli分布也稱作0-1

分布或二點分布．Bernoulli分布的概率背景進(jìn)行一次Bernoulli試驗，A是隨機(jī)事件。設(shè)：設(shè)X表示這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者設(shè)退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量2）二項分布如果隨機(jī)變量X的分布律為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量分布律的驗證⑴由于以及n

為自然數(shù)，可知⑵又由二項式定理，可知所以是分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量說明顯然，當(dāng)n=1

時退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量二項分布的概率背景進(jìn)行n重Bernoulli試驗，A是隨機(jī)事件。設(shè)在每次試驗中令X表示這

n次

Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量說明：所以退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例5一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取出15件．試求下列事件的概率：

B={取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品}

C={取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品}由于從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品，故可近似看作是一15重Bernoulli試驗．解：所以，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例6一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué)生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗．解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量所以退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量二項分布的分布形態(tài)二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布率先是隨著

k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量可以證明：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例7對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？則由題意解：對目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli

試驗．令：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量3）Poisson

分布如果隨機(jī)變量X

的分布律為則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson

分布．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X

的分布律為試確定未知常數(shù)c.例11由分布率的性質(zhì)有解：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例12設(shè)隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機(jī)變量X

的分布律為由已知退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量得由此得方程得解所以，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例13退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量解：設(shè)B={此人在一年中得3次感冒}則由Bayes公式，得____________________________________=退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量Poisson定理證明：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量對于固定的

k，有所以，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量Poisson定理的應(yīng)用由Poisson

定理，可知退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量Poisson定理的應(yīng)用例14設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計算）．解：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例15某車間有100臺車床獨立地工作著，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺車床的故障可由一個人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)車床發(fā)生故障但不能及時維修的概率不超過0.01

？

解：設(shè)需配備

N

人，記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X，則X~b(100，0.01），取值，使得：需要確定最小的

N

的退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量查表可知，滿足上式的最小的

N是4

,因此至少需配備4

個工人。例15（續(xù)）退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例16

保險公司售出某種壽險（一年）保單2500份.每單交保費100元，當(dāng)被保人一年內(nèi)死亡時，家屬可從保險公司獲得2萬元的賠償.若此類被保人一年內(nèi)死亡的概率為0.001，求（1）保險公司虧本的概率；

（2）保險公司獲利不少于10萬元的概率.

解：設(shè)此類被保人一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X，則X~b(2500，0.001）.退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例16（續(xù)）（1）P(保險公司虧本)（2）P(保險公司獲利不少于10萬元)退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量4）幾何分布若隨機(jī)變量X

的分布律為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量分布律的驗證⑴由條件⑵由條件可知綜上所述，可知是一分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗中，試驗進(jìn)行到A首次出現(xiàn)為止．即退出前一頁后一頁目錄第二章隨機(jī)變量§1離散型隨機(jī)變量例

17對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊時的命中率為0.64，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)