2020-2021學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興高級中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

學(xué)年上海市虹口復(fù)興高級中高一上學(xué)期中數(shù)學(xué)試題一單題1若

a,

，則列等成的（）A

B．a(chǎn)

C

2

ab2

D

c|【答案C【分析】取特殊值可判斷錯；由不等式性質(zhì)可判斷C正.【詳解】對于A，若

a

，則

11ab

，故A錯；對于若

，則

，故錯誤；對于，為

+1>0，

c

ab，若a則，故正；c對于D，c故選：

0，則a||c|，故D錯2線y，x，

及函

yx

將角標(biāo)第象分8個部（如圖示那冪數(shù)

y

的像第象中過）A③

B．⑧

C④

D①【答案D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可【詳解】解：在直線，

x

的左側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越大越接近于軸，yx

在

x

的左側(cè)位于

yx

左側(cè)，故經(jīng)過⑤在直線

x

的右側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越小越接近于軸第1頁共14頁

yx

在x的側(cè)位于y上下方，故經(jīng)故選：D.3無數(shù)發(fā)數(shù)危機直續(xù)19世直年德數(shù)家戴金連性要出用理的分割來定義理（稱德分）并把數(shù)論立在格科基上才束無數(shù)被為無理的時代也束持續(xù)多年數(shù)史的一大機所謂德分是將理集

劃為個空子與

且足NQ

，

，M中的每個素小

中每個素則

(M,)

為德分試斷對任一德分

(M,)

下選中不可成的（）A沒最元,N有個最元

沒有最元也有小素C有個大素N有個小元．有個大元N沒有小素【答案C【分析】由題意依次舉出具體的合

M

，從而得到

A,D

均可成立．【詳解對，若

xQ|，NQ0}

；則沒有最大元素，

有一個最小元素0故A正；對，若M

2}，N|x2}；M沒有最大元素，也沒有最小元素，故B正；對，有個最大元素，有個最小元素不可能，故C錯；對D，

xQx0}x0}

；M有一個最大元素，N沒最小元素，故正確；故選：．【點睛本題考查對集合新定義的理解，考查創(chuàng)新能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識，對推理能力的要求較高．4已

(x)|x

，對意零數(shù)a，，m，，，則于的程mf(xnf(x)

的集可為）A

{2020}

B．

{2020,2021}

C

{1,2,2020,2021}D．{1,5,25,125}【答案D第2頁共14頁

12121122121112331【分析】根據(jù)函數(shù)f）的對稱性，因為12121122121112331

2

的解應(yīng)滿足y＝

，y＝

，進而可得到

nf

的根，應(yīng)關(guān)于對稱軸x對，對于D4數(shù)無論如何組合都找不到滿足條件的對稱軸，故解集不可能是D．【詳解對稱

f

關(guān)于直線x令方程

的解為f（（）則必有

（x）＝y(tǒng)＝

，

（x）＝y(tǒng)＝

y＝y(tǒng)，y＝與fx有交點，由于對稱性，則方程＝

的兩個解x，要關(guān)于直線x對，就是說

同理方程y＝

的兩個解x，也要關(guān)于直線x對那就得到x+x

，若方程有個解，則必然滿足xx，而在D中{1,5,25,125}找到這樣的組合使得對稱軸致，也就是說無論怎么分組，都沒辦法使得其中兩個的和等于另外兩個的故答案D可能故選：D【點睛點考函數(shù)對稱性的應(yīng)用的鍵是得出

f

關(guān)于直線x對稱，從而得出方程的解也對稱，并滿足二填題

x13

5方組

xyx

的集_______【答案】【分析】解方程組得

4,y

，再根據(jù)方程組的解集為點的集合即可得答案【詳解】解：解方程組

xyx

得

，第3頁共14頁

,b,b故方程組的集為：x

故答案為：

6已實x滿足x，x

_______．【答案】2【分析】先對

兩平方得x

2，再根據(jù)立方和公式求解即.【詳解】解：由

兩邊平方得x

2，所以根據(jù)立方和公式得：

故答案為：2【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于熟的識記立方和公式

a

33

2

2

7對是數(shù)a、b，“”是的條．b【答案】充要【分析】由充分條件和必要條件定義判斷即可【詳解】解：因為，知同，且為正，即，當(dāng)時，有，所以是的要條件，b故答案為：充要8若、是元次函x

2

x的兩個數(shù)，

1

_______．【答案】4【分析】由于

1

1

，所以利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可【詳解】解：因為、是元二次函數(shù)x，所以

2

x的個實數(shù)根，第4頁共14頁

所以

1

，故答案為：4．知

11,,1,2,32

，若冪函

yx

的像于點心稱且

上嚴遞函，a_______【答案】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)即可判【詳解】解：

冪函數(shù)

yx

的圖像關(guān)于原點中心對稱，x

是奇函數(shù)，

為奇數(shù)，又

yx

在為格遞減函數(shù)，

，故

故答案為：．知a，

b2log23

，有列個論①

a

；

；

；

其所正結(jié)的號_【答案】②③④【分析先指數(shù)與對數(shù)的互化將a、再進行對數(shù)運算得出結(jié)論.

b2log2化為alog12、33

【詳解】解：由

b2log23

得a12b43216則a333aloglog33

故答案為：②③④.【點睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)運考查運算求解能力與推理論證能．關(guān)于的等

ax

，集

(

，關(guān)x的等

x

的集第5頁共14頁

11．11【答案】

【分析】先由不等式

ax

的解集是

，得出

，

，再由分式不等式的解法即可求解.【詳解】解：

ax

的解集是

(1,

，a

且

b，即

，不等式價于x

，解得：

，

原不等式的解集為：

故答案為：

如圖方OABC的邊為

函

yx

與AB交于函

x

12與交于點P，當(dāng)

||CP小，的為．【答案】【分析由題意可知

,CPaa

，再利用基本不等式求

||的最小值，從而可求出a的，【詳解】解：由題意可知因為，

,CPaa

，a1所以CP23

a23

13

，第6頁共14頁

PQ,PPQ,P當(dāng)且僅當(dāng)

a3a

，即a3時等號，所以當(dāng)

|CP|

最小時，的值為故答案為：3．知常

261，數(shù)的圖經(jīng)點2

，2p

，a．【答案】6【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式利用恒等變換求出相應(yīng)的值【詳解】解：因為函數(shù)y

2

x

2

6的圖像經(jīng)過點

，所以

6pap55

，整理得，

paqappap

，解得

p2pq

，因為

2

p

pq

，所以a

36因為a，以a，故答案為：619y．知＞，＞，，則的最值_．1【答案】【分析】

11

xy，所以，+yxy且＞1＞，結(jié)合基本不等式即xy可得到

9y1

的最大值．【詳解解：依題意x＞，＞0且x=xy

1

xy，所以x＞，y＞1且，xy第7頁共14頁

所以

9y1

=

x494+=-9-4-+1yxy因為

x

4＞0＞，y所以

9y1

=-13-+）xy-13-2

xy

=-13-2

36xy

=-13-12=-25．當(dāng)且僅當(dāng)x=

5，y時等號成立．故答案為-．【點睛題查了基本不等式學(xué)生的計算能力確用基本不等式是關(guān)鍵題屬于難題．．知集

{1,2}，

ax中素的數(shù)

nA

，義

f(AB)

()(Bn(A)()(B()n(A)()

．

f

，實的值圍______．【答案】

【分析題得集合中么1元素么是元素情況討論方程的根即可.【詳解

等價于x

①

ax②，{1,2}

n()

，又

f

，則

n(

或3，即集合B中要么個元素，要么是3個素，（1若集合B中1元素，則方有兩相等實根②無實數(shù)根，a

；（2若合中有3個元素，則方①有兩不相實根②有兩個相等且異①的實數(shù)根，即

2

，解得2，綜上所述，a的值范圍為

故答案為：

0,

第8頁共14頁

th23【點睛關(guān)點睛：將題目轉(zhuǎn)th23

0和x2ax的根的情況是解16已

，數(shù)

f(x

，中

f()

，對意

t,1

，數(shù)

f(x

在間

[tt1]

上最值最值差超1，a的值圍．【答案】

23

【分析由數(shù)單調(diào)性可得

f()

在區(qū)間

[

上的最大值

f()

最值

f(t

則可得

ata

對任意

t,1

恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求【詳解】因為

fx)

在區(qū)間

[

內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)

fx)

在區(qū)間

[

上的最大值與最小值分別為

f()，f(

，則

f()f(tlog2

1t

，得

1t

1t

，整理得

at

2

at

對任意

t,1

恒成立．令

h(t

2

，則

h(t)

的圖象是開口向上，對稱軸為

t

12

的拋物線，所以

ht在t

上是增函數(shù)，

at

2

t

等價于

，1即，解得2．所以的取值范圍為故答案為：

，【點睛關(guān)鍵點睛由調(diào)性判出最大值和最小值，從而轉(zhuǎn)化at2t對任意

t,1

恒成立，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求第9頁共14頁

2Bax2三解題已全2Bax2

，合

A

（）

時求AB；（）

p:；B若是充分件求數(shù)的值圍【答案）

【分析）求出集合A，B，根據(jù)補集交集定義即可求（2求出集合B，題可得B

，則列出式子即可求【詳解）

A當(dāng)

1919時，Bx則B

或

x

（22，若p是q充條件，B

，，解得a

或

，故a的取值范圍為

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查根必充分條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1若是q的要不充分條件，則q應(yīng)集合是對集合的真子集；（2若是q的分不必要條件，則p對集合是對集合的真子集；（3若是q的分必要條件，則p對集合與應(yīng)集合相等；（4若是q的不充分又不必要條件，則對的集合與p應(yīng)集合互不包含．．知函

f()

，中

fx)

是數(shù)數(shù)（）

f()

的達；（）不式

log(2)aa

．第10頁共14頁

【答案）

f()

x

）

{}【分析數(shù)函數(shù)的定義

a合

a0,a

求a出

fx)

；（2由（）的結(jié)論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性及其單調(diào)性列不等式組求解集即.【詳解）x∴(x)

f(x

是指數(shù)函數(shù)，所以2，得或

(舍)，（2由（）知：

log)log33

，∴2

，解得

x

1，解集為{}

19海事援對艘事進定：以事的前置原，以北向

軸方建平直坐系以海為位度則援恰在事的南向12海里A．圖現(xiàn)設(shè)①事的動徑視拋線

x

；②位救船刻直勻前救；③援出t小后失船在置的坐為（）

t

時寫失船在置的坐．此兩船好合求援速的?。ǎ┚却瑫r至是少里能上事？【答案），949海/（）25海里時【分析t

時確定的橫坐標(biāo)入拋物線方程可得P的坐標(biāo)用，即可確定救援船速度；（2設(shè)救援船的時速為v海里，經(jīng)過t

小時追上走私船，此時位置為

(7t,12t

，從而可得v關(guān)t

的關(guān)系式，利用基本不等式，即可得到結(jié)論．第11頁共14頁

2111【詳解0.5，的坐標(biāo)2111

tP

代拋物線方程x中P的縱坐標(biāo)由|AP

yP

，得救援船速度的大小為949海時，兩船相（2設(shè)救援船的時速為海，經(jīng)過小追上失事船，此時位置為

(7t,12t

，由

(7t)

t

12)

，整理得

144(2

t

)337

因為t

2

t

，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)瘸?所以v

2

33725

2

，即v25，因此，救援船的時速至少是海里/時才能追上失事.．空有集S是由干正實組，合的素數(shù)不于個對任意

b

，，數(shù)abba中少一屬，則稱合是好集”；則稱合是壞集．（）

11{1,3,9}和B是好集，是集并單明由4（）設(shè)有集中既大于的素又小1元，明集S是“壞”；（若題中

b

或b

a

都于S則稱合S為“超好”求所的“超好”．【答案）

是壞集；是“好集）明過程見解析）

其中

且

【分析）據(jù)好和壞集”定義進行判斷即可；（2利用小于1的有元素的最小元素以及大于1的有元素中的最小元素，根據(jù)定義以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行證明即（3結(jié)合）中的結(jié)論，可以證明出

且.【詳解）

39A且是壞；因為

x

，都有x

，x1

11111，),()2,()4416416

，所以B中任意兩個元素a,，滿足a數(shù)a或a中至少有一個屬于B，第12頁共14頁

因此是“好集.（2若是S

中小于的元素中的最小元素，是S

中大于1的元素中的最小元素，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：

從而a

且

S，∴合S

是壞”（3顯然

且，符合題意超級好集．現(xiàn)在證明集合S中可能存在其它元.由（）可知S可能同時存在既有大于元素，又有小于元素，不妨設(shè)

ab且

，且b為

中大于的元素中最大的元素，因此有b所以ba，矛盾，同理

a且,bS

時也矛盾，故集合S

中不可能存在其它元.因此

且.【點睛關(guān)點睛：本題考查集合的新定義問題，對于新定義的集合問題，關(guān)鍵是要理解新定義的內(nèi)容，然后在求解問題時，利用結(jié)合集合以外的知識解答問本例中定義的好、壞”，實際上是研究素與集合的關(guān)系，中間借助指數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容解答問題21給有個數(shù)足件：每個都大且和

L1275

．將些按下要進分，每數(shù)和大且分組步是：先從這數(shù)選這樣些構(gòu)第組得150與這組之的r與所可的他擇比最1的r稱為一余；后在掉選入一的后對下數(shù)第組選1擇式成二，時余為r；如繼續(xù)成三（差r第組余3差

r4

…，直第N組（余為

rN

）這數(shù)部完止（）斷r，r…r的大關(guān)，指出第N組外每至含幾數(shù)1（）構(gòu)第

n)

組，出下每數(shù)r的大關(guān)，證nrn

；（）任滿條T的有個數(shù)證：．【答案）