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期末復(fù)習(xí)3

《高等數(shù)學(xué)I》

第三章中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用重要內(nèi)容:中值定理

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(單調(diào)性,凹凸性)根的存在性,所在區(qū)間,唯一性洛比達(dá)法則求七種未定式的極限

用中值定理證明某些等式泰勒公式,常用展開式極值問(wèn)題中值定理,單調(diào)性,凹凸性證明不等式1．證明：在（0，1）上有且僅有一根。，則在[0，1]上連續(xù)且

由零點(diǎn)定理可知，在(0，1)上至少有一個(gè)根證：（先證存在性）設(shè)在(0,1)上還有一個(gè)根即

在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，（0，1）使得但是，不可能有這樣的點(diǎn),故方程在（0，1）上有且僅有一根。（再證唯一性）由羅爾定理可知至少存在一點(diǎn)（0，1），矛盾。也可以不用羅爾定理,直接利用單調(diào)性假設(shè)2．證明：在證明：（先證存在性）則在上連續(xù)且

由零點(diǎn)定理可知，在上至少有一個(gè)根內(nèi)有且僅有一根。設(shè)（再證唯一性）在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，上有且僅有一根。因?yàn)楣史匠淘?.設(shè),證明.證明:設(shè).則, 所以當(dāng)時(shí),

,故單調(diào)減少,時(shí),

.從而當(dāng)(方法一)即當(dāng)時(shí),

單調(diào)增加.時(shí),

即故

因此當(dāng)3.設(shè),證明.證明:設(shè).則由中值定理, 所以當(dāng)時(shí),

,故單調(diào)減少,時(shí),

.從而當(dāng)即(方法二)課堂上講解的方法4.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且求證存在,使得證明:設(shè),則且即在區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件,,使得又因此有整理后可得.因此存在4.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),.試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得證明:由羅爾中值定理知,存在,使得對(duì)分別在和上用拉格朗日中值定理,和,使得及.且有知分別存在再在閉區(qū)間上對(duì)用拉格朗日中值定理,使得知存

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