組合系統(tǒng)的數(shù)學描述

1.3.1

組合系統(tǒng)的數(shù)學描述對于許多復雜的生產(chǎn)過程與設備,其系統(tǒng)結構可以等效為多個子系統(tǒng)的組合結構,這些組合結構可以由并聯(lián)、串聯(lián)反饋3種基本組合聯(lián)結形式表示。下面討論的由這3種基本組合聯(lián)結形式構成的組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)陣。并聯(lián)聯(lián)結(1/4)1.并聯(lián)聯(lián)結圖2-15并聯(lián)聯(lián)接組合系統(tǒng)方塊結構圖并聯(lián)聯(lián)結(2/4)設對應于圖2-15示的并聯(lián)聯(lián)結的組合系統(tǒng)的兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為其對應的狀態(tài)空間表達式分別為并聯(lián)聯(lián)結(3/4)從圖2-15可知u1=u2=u

y1+y2=y故可導出并聯(lián)聯(lián)結組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為并聯(lián)聯(lián)結(4/4)因此,由上述狀態(tài)空間表達式可知,并聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。由組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式可求得組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為因此,并聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為各并聯(lián)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣之和。串聯(lián)聯(lián)結(1/5)2.串聯(lián)聯(lián)結圖2-16串聯(lián)聯(lián)接組合系統(tǒng)方塊結構圖設圖2-16所示的串聯(lián)聯(lián)結的組合系統(tǒng)的兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣分別和并聯(lián)連結的結構相同,其對應的狀態(tài)空間表達式也分別相同。串聯(lián)聯(lián)結(2/5)從圖2-16可知

u1=u

u2=y1

y2=y因此可導出串聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為串聯(lián)聯(lián)結(3/5)相應的輸出方程為即有串聯(lián)聯(lián)結(4/5)因此,由上述狀態(tài)空間模型可知,串聯(lián)連接組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。由串聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可求得組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為串聯(lián)聯(lián)結(5/5)因此,串聯(lián)聯(lián)結組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為串聯(lián)系統(tǒng)各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣的順序乘積。應當注意,由于矩陣不滿足乘法交換律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能顛倒,它們的順序與它們在系統(tǒng)中的串聯(lián)聯(lián)結順序一致。反饋聯(lián)結(1/5)3.反饋聯(lián)結圖2-17反饋聯(lián)接組合系統(tǒng)方塊結構圖反饋聯(lián)結(2/5)設對應于圖2-17所示的反饋聯(lián)結組合系統(tǒng)的兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為其對應的狀態(tài)空間模型分別為反饋聯(lián)結(3/5)從圖2-17可知u1=u-y2

u2=y1=y因此可導出反饋組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為反饋聯(lián)結(4/5)即有故反饋聯(lián)結組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。反饋聯(lián)結(5/5)Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)[U(s)-Y2(s)]=G0(s)[U(s)-F(s)Y(s)]故[I+G0(s)F(s)]Y(s)=G0(s)U(s)或Y(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)U(s)因此,反饋聯(lián)結組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)由反饋聯(lián)結組合系統(tǒng)的聯(lián)結圖2-17可知反饋聯(lián)結(6/5)U(s)=Y2(s)+U1(s)=F(s)G0(s)U1(s)+U1(s)=[I+F(s)G0(s)]U1(s)=[I+F(s)G0(s)]Y(s)故Y(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1U(s)因