華東理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第四章

大數(shù)定理：討論大量隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)的算術(shù)平均值穩(wěn)定性的一系列定理中心極限定理(dìnglǐ)：討論在什么條件下，大量隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的一系列定理(dìnglǐ)第4章中心極限定理與大數(shù)定律精品資料1.中心極限(jíxiàn)定理：概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)和的極限分布是正態(tài)分布(Gauss)分布的一系列定理。

意義:大量的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布可近似認(rèn)為是正態(tài)分布.

這是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本問題研究的理論基礎(chǔ).精品資料定理1林德貝格-勒維定理(獨(dú)立同分布中心(zhōngxīn)極限定理)設(shè)X1,X2,…,Xn,…為獨(dú)立同分布序列,期望μ,方差σ2>0,設(shè)注以上(yǐshàng)定理表明只要n比較大,就有近似結(jié)果:精品資料例1用機(jī)器(jīqì)包裝味精,每袋味精凈重為隨機(jī)變量,期望值為100克,標(biāo)準(zhǔn)差為10克,一箱內(nèi)裝200袋味精,求一箱味精凈重大于20500克的概率?解設(shè)一箱凈重(jìngzhòng)為X,箱中第i袋味精凈重(jìngzhòng)為Xi,(i=1,2,…,200)則X1,X2,…,X200獨(dú)立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且由中心極限定理得X近似服從正態(tài)分布,EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,所求為P(X>20500)=1-P(X≤20500)=0.0002故一箱味精凈重大于20500的概率為0.0002.精品資料例2一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50kg,標(biāo)準(zhǔn)差為5kg.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試用中心極限定理說明每車最多可以裝多少箱,才能保障不超載(chāozài)的概率大于0.9772.解設(shè)Xi(i=1,2,…,n)為裝運(yùn)(zhuāngyùn)的第i箱的重量,n是所求的箱數(shù).則

X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布,EXi=50,DXi=52=25,令由中心極限定理得所以即最多可以裝98箱.精品資料定理(dìnglǐ)2若隨機(jī)變量μn～Ｂ(n,p)(n=1,2,…),則對任意a<b有注:(1)定理稱為棣莫佛-拉普拉斯定理.(2)它表示當(dāng)n很大時,二項分布可用正態(tài)分布近似(jìnsì)逼近:即若X~B(n,p),當(dāng)n很大時,有近似(jìnsì)結(jié)果X~N[np,np(1-p)].精品資料定理3(泊松定理)二項概率(gàilǜ)的泊松近似例3:每顆子彈擊中飛機(jī)的概率(gàilǜ)為0.01,連發(fā)500發(fā),求命中5發(fā)的概率(gàilǜ).精品資料例4某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20%,隨機(jī)抽查100戶,利用棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理(dìnglǐ)求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的近似值.解設(shè)X表示(biǎoshì)100戶中被盜索賠戶數(shù),則X~B(100,0.2)由棣莫佛-拉普拉斯定理得：X近似服從正態(tài)分布,EX=np=20,DX=np(1-p)=16,所以X~N(20,16)所求P(14≤X≤30)=0.927精品資料精品資料例5某校有4900個學(xué)生，已知每天每個學(xué)生去閱覽室自修的概率為0.1,問閱覽室要準(zhǔn)備多少座位，才能(cáinéng)以99%的概率保證每個去閱覽室自修的學(xué)生都有座位。精品資料例6：某廠有400臺同類機(jī)器，每臺發(fā)生故障的概率為0.02，假如各臺機(jī)器彼此(bǐcǐ)獨(dú)立，求最多2臺機(jī)器發(fā)生故障的概率。解：精品資料例7：某車間有200臺獨(dú)立工作(gōngzuò)的車床，各臺車床開工的概率都是0.6，每臺開工車床要耗電1千瓦，問供電所至少要供給這個車間多少千瓦電力，才能以99.9％的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。解：則精品資料查表得精品資料2.大數(shù)(dàshù)定律定義設(shè)隨機(jī)變量(suíjībiànliànɡ)序列{Xn},如果存在一個常數(shù)列,使得對任意的ε>0，有則稱{Xn}服從大數(shù)定律.精品資料大數(shù)(dàshù)定理切比雪夫大數(shù)(dàshù)定理辛欽大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理馬爾可夫大數(shù)定理泊松大數(shù)定理精品資料定理4(馬爾可夫大數(shù)定律)設(shè){Xn}為獨(dú)立(dúlì)隨機(jī)變量序列,且有則對任意的ε>0,有證:精品資料定理(dìnglǐ)5(切比雪夫大數(shù)定律)設(shè){Xn}是兩兩不相關(guān)隨機(jī)變量序列,方差一致有界D(Xn)=σn2<C(n=1,2,...),其中常數(shù)C與n無關(guān),則對任意的ε>0,有證:精品資料定理6(泊松大數(shù)定律)設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為pk，n次重復(fù)獨(dú)立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)為,事件的頻率,則對任意ε>0,有證:精品資料定理7(伯努里利大數(shù)定律)設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，n次重復(fù)獨(dú)立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)為，事件的頻率有,則對任意ε>0,(伯努里利大數(shù)(dàshù)定律是泊松大數(shù)(dàshù)定律的特例)意義：Bernoulli大數(shù)定理(dìnglǐ)表明當(dāng)試驗次數(shù)無限增加時事件A的頻率按概率收斂到事件A的概率.這為頻率的穩(wěn)定性提供了理論依據(jù).精品資料定理8(辛欽大數(shù)(dàshù)定律)設(shè){Xi}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且有相同期望E(Xi)=u,(i=1,2,...),則對任意的ε>0,有大數(shù)定理是參數(shù)估計和假設(shè)檢驗的重要理論(lǐlùn)基礎(chǔ).

注意

辛欽大數(shù)定理成立的條件中只需的數(shù)學(xué)期望存在；而當(dāng)?shù)姆讲畲嬖跁r，其即為切比雪夫大數(shù)定理的直接推論.精品資料例1.互相(hùxiāng)獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且

的分布(k=1,2,…),

試證大數(shù)定理成立.解：互相(hùxiāng)獨(dú)立，且滿足馬爾可夫大數(shù)定理精品資料例2.為獨(dú)立同分布(fēnbù)序列，的概率

分布(fēnbù)為

試證服從大數(shù)定律.證：獨(dú)立同分布，且故滿足辛欽大數(shù)(dàshù)定律.精品資料例3.獨(dú)立同分布，

則是否滿足(mǎnzú)辛欽大數(shù)定理？解：不存在，不滿足辛欽大數(shù)(dàshù)定理精品資料精品資料應(yīng)用:用頻率代替概率(gàilǜ)時誤差的近似估計Bernoulli大數(shù)(dàshù)定理:而由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理可得精品資料已知某廠生產(chǎn)(shēngchǎn)一批無線電元件,合格品占1/6(1)選出6000個這種元件(yuánjiàn),試問在這6000個元件(yuánjiàn)中,合格品的比例與1/6之差小于1%的概率是多少?(2)選出6000個這種元件,試問誤差限定為多少時,才能保證頻率與概率之差不大于的概率為0.99?此時合格品數(shù)落在哪個范圍內(nèi)?(3)選出多少個這種元件,使選出的這批元件中合格品的比例與1/6的差異不大于