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PAGEPAGE7空間直角坐標(biāo)系、空間兩點(diǎn)間的距離公式基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.下列命題中錯(cuò)誤的是()A.在空間直角坐標(biāo)系中,在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0,b,c)B.在空間直角坐標(biāo)系中,在yOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0,b,c)C.在空間直角坐標(biāo)系中,在z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)可記作(0,0,c)D.在空間直角坐標(biāo)系中,在xOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,0,c)[答案]A[解析]空間直角坐標(biāo)系中,在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,0,0).2.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(3,0,2)位于()A.y軸上 B.x軸上C.xOz平面內(nèi) D.yOz平面內(nèi)[答案]C[解析]由x=3,y=0,z=2可知點(diǎn)M位于xOz平面內(nèi).3.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(2,3,-5)到原點(diǎn)的距離是()A.6 B.10C.eq\r(38) D.eq\r(34)[答案]C[解析]由兩點(diǎn)間距離公式得eq\r(2-02+3-02+-5-02)=eq\r(38).4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),點(diǎn)P在z軸上,且滿足|PA|=|PB|,則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0,-3)[答案]C[解析]設(shè)P(0,0,z),則有eq\r(12+-22+z-12)=eq\r(22+22+z-22),解得z=3.5.點(diǎn)P(-1,2,3)關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(1,2,3) B.(-1,-2,3)C.(-1,2,-3) D.(1,-2,-3)[答案]B6.已知點(diǎn)A(-3,1,5)與點(diǎn)B(4,3,1),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(eq\f(7,2),1,-2) B.(eq\f(1,2),2,3)C.(-12,3,5) D.(eq\f(1,3),eq\f(4,3),2)[答案]B二、填空題7.如圖所示,在長(zhǎng)方體OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,M是OB1與BO1的交點(diǎn),則[答案](1,eq\f(3,2),1)[解析]由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知,M為OB1中點(diǎn),而B1(2,3,2),故M(1,eq\f(3,2),1).8.在△ABC中,已知A(-1,2,3),B(2,-2,3),C(eq\f(1,2),eq\f(5,2),3),則AB邊上的中線CD的長(zhǎng)是________.[答案]eq\f(5,2)[解析]AB中點(diǎn)D坐標(biāo)為(eq\f(1,2),0,3),|CD|=eq\r(\f(1,2)-\f(1,2)2+\f(5,2)-02+3-32)=eq\f(5,2).三、解答題9.已知點(diǎn)A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),若點(diǎn)P(x,0,z)滿足PA⊥AB,PA⊥AC,試求點(diǎn)P的坐標(biāo).[解析]因?yàn)镻A⊥AB,所以△PAB是直角三角形,所以|PB|2=|PA|2+|AB|2,即(x+1)2+(z+1)2=x2+1+z2+1+1+1,整理得x+z=1 ①同理,由PA⊥AC得|PC|2=|PA|2+|AC|2,即(x-2)2+1+(z-1)2=x2+1+z2+4+1,整理得2x+z=0 ②由①②解得x=-1,z=2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-1,0,2).10.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,點(diǎn)M是B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)N是(1)寫出點(diǎn)D,N,M的坐標(biāo);(2)求線段MD,MN的長(zhǎng)度.[分析](1)D是原點(diǎn),先寫出A,B,B1,C1的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M,N的坐標(biāo);(2)代入空間中兩點(diǎn)間距離公式即可.[解析](1)因?yàn)镈是原點(diǎn),則D(0,0,0).由AB=BC=2,D1D=3,得A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3).∵N是AB的中點(diǎn),∴N(2,1,0).同理可得M(1,2,3).(2)由兩點(diǎn)間距離公式,得|MD|=eq\r(1-02+2-02+3-02)=eq\r(14),|MN|=eq\r(1-22+2-12+3-02)=eq\r(11).能力提升一、選擇題1.點(diǎn)A(-1,2,1)在x軸上的投影點(diǎn)和在xOy平面的上投影點(diǎn)的坐標(biāo)分別為()A.(-1,0,1),(-1,2,0) B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0) D.(-1,2,0),(-1,2,0)[答案]B[解析]點(diǎn)A(-1,2,1)在x軸上的投影點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0,故為(-1,0,0).點(diǎn)A(-1,2,1)在xOy平面上的投影點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)不變且豎坐標(biāo)是0,故為(-1,2,0).2.正方體不在同一平面上的兩頂點(diǎn)A(-1,2,-1)、B(3,-2,3),則正方體的體積是()A.16 B.192C.64 D.48[答案]C[解析]|AB|=eq\r(3+12+-2-22+3+12)=4eq\r(3),∴正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(4\r(3),\r(3))=4.∴正方體的體積為43=64.3.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(6,-1,4),則△ABC是()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.銳角三角形 D.等腰三角形[答案]A[解析]由兩點(diǎn)間距離公式得|AB|=eq\r(89),|AC|=eq\r(75),|BC|=eq\r(14),滿足|AB|2=|AC|2+|BC|2.4.△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(3,1,1),B(-5,2,1),C(-eq\f(8,3),2,3),則它在yOz平面上射影圖形的面積是()A.4 B.3C.2 D.1[答案]D[解析]△ABC的頂點(diǎn)在yOz平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A′(0,1,1),B′(0,2,1),C′(0,2,3),△ABC在yOz平面上的射影是一個(gè)直角三角形A′B′C′,容易求出它的面積為1.二、填空題5.已知P(eq\f(3,2),eq\f(5,2),z)到直線AB中點(diǎn)的距離為3,其中A(3,5,-7),B(-2,4,3),則z=________.[答案]0或-4[解析]利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AB中點(diǎn)C(eq\f(1,2),eq\f(9,2),-2),因?yàn)閨PC|=3,所以eq\r(\f(3,2)-\f(1,2)2+\f(5,2)-\f(9,2)2+[z--2]2)=3,解得z=0或z=-4.6.在空間直角坐標(biāo)系中,正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A(3,-1,2),其中心M[答案]eq\f(2\r(39),3)[解析]|AM|=eq\r(3-02+-1-12+2-22)=eq\r(13),∴對(duì)角線|AC1|=2eq\r(13),設(shè)棱長(zhǎng)x,則3x2=(2eq\r(13))2,∴x=eq\f(2\r(39),3).三、解答題7.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,過點(diǎn)B1作B1E⊥BD1于點(diǎn)E,求A、E[解析]根據(jù)題意,可得A(a,0,0)、B(a,a,0)、D1(0,0,a)、B1(a,a,a).過點(diǎn)E作EF⊥BD于F,如圖所示,則在Rt△BB1D1中,|BB1|=a,|BD1|=eq\r(3)a,|B1D1|=eq\r(2)a,所以|B1E|=eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)=eq\f(\r(6)a,3),所以Rt△BEB1中,|BE|=eq\f(\r(3),3)a由Rt△BEF∽R(shí)t△BD1D,得|BF|=eq\f(\r(2),3)a,|EF|=eq\f(a,3),所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(eq\f(2a,3),eq\f(2a,3),0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(eq\f(2a,3),eq\f(2a,3),eq\f(a,3)).由兩點(diǎn)間的距離公式,得|AE|=eq\r(a-\f(2a,3)2+0-\f(2a,3)2+0-\f(a,3)2)=eq\f(\r(6),3)a,所以A、E兩點(diǎn)之間的距離是eq\f(\r(6),3)a.8.如下圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在面對(duì)角線A1B上,點(diǎn)Q在面對(duì)角線B1(1)當(dāng)點(diǎn)P是面對(duì)角線A1B的中點(diǎn),點(diǎn)Q的面對(duì)角線B1C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求|PQ(2)當(dāng)點(diǎn)Q是面對(duì)角線B1C的中點(diǎn),點(diǎn)P在面對(duì)角線A1B上運(yùn)動(dòng)時(shí),求|PQ(3)當(dāng)點(diǎn)P在面對(duì)角線A1B上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在面對(duì)角線B1C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求|PQ[分析]建立直角坐標(biāo)系后,表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(1)確定點(diǎn)P坐標(biāo),根據(jù)條件設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo),表示出|PQ|,用二次函數(shù)求最值.(2)確定點(diǎn)Q坐標(biāo),根據(jù)條件設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),表示出|PQ|,用二次函數(shù)求最值.(3)設(shè)出P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo),表示出|PQ|,利用配方后非零數(shù)的和平方最小的條件確定P,Q的坐標(biāo).[解析]由已知,以頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在的直線為x軸,y軸,z軸建立如右圖所示的空間直線坐標(biāo)系Dxyz.∵正方體ABCD-A1B1C1D1∴可得點(diǎn)A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0).(1)∵點(diǎn)P是面對(duì)角線A1B的中點(diǎn),∴由射影的概念可得P(1,eq\f(1,2),eq\f(1,2)).又點(diǎn)Q在面對(duì)角線B1C∴可設(shè)點(diǎn)Q(b,1,b),b∈[0,1].由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|=eq\r(1-b2+\f(1,2)-12+\f(1,2)-b2)=eq\r(2b2-3b+\f(3,2))=eq\r(2b-\f(3,4)2+\f(3,8)).∴當(dāng)b=eq\f(3,4)時(shí),|PQ|取得最小值eq\f(\r(6),4),此時(shí)點(diǎn)Q(eq\f(3,4),1,eq\f(3,4)).(2)∵點(diǎn)Q是面對(duì)角線B1C∴由射影的概念可得Q(eq\f(1,2),1,eq\f(1,2)).又點(diǎn)P在面對(duì)角線A1B上運(yùn)動(dòng),∴可設(shè)點(diǎn)P(1,a,1-a),a∈[0,1].由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|=eq\r(1-\f(1,2)2+a-12+1-a-\f(1,2)2)=eq\r(\f(1,2)2+a-12+\f(1,2)-a2)=eq\r(2a2-3a+\f(3,2))=eq\r(2a-\f(3,4)2+\f(3,8)).∴當(dāng)a=eq\f(3,4)時(shí),|PQ|取得最小值eq\f(\r(6),4),此時(shí)點(diǎn)P(1,eq\f(3,4),eq\f(1,4)).(3)∵點(diǎn)P在面對(duì)角線A1B上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在面對(duì)角線B1C∴可設(shè)點(diǎn)P(1,a,1-a),Q(b,1,b),a,b∈[0,1].由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|=eq\r(1-b2+a-1
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