2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市凌海第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市凌海第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.在R上定義運(yùn)算:,若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.下列四種說(shuō)法正確的是（

）①函數(shù)的定義域是，則“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的充要條件；②命題“”的否定是“”；③命題“若x=2，則”的逆否命題是真命題；④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，則A=B；q：y=sinx在第一象限是增函數(shù)，則為真命題．A.①②③④

B.②③

C.③④

D.③參考答案：D4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則等于

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，A，B分別為Γ的左、右頂點(diǎn)，P為Γ上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，直線BM與y軸交于點(diǎn)N，若|OE|=2|ON|，則Γ的離心率為（）A．3 B．2 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件分別求出直線AE和BN的方程，求出N，E的坐標(biāo)，利用|OE|=2|ON|的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x軸，∴設(shè)M（﹣c，0），則A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，則AE的方程為y=（x+a），令x=0，則y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，則AE的方程為y=﹣（x﹣a），令x=0，則y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，則2（c﹣a）=a+c，即c=3a，則離心率e==3，故選：A6.已知集合，集合，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，給出下列四個(gè)函數(shù)：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．則其中是偶函數(shù)的為()A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：D8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為、是方程的兩個(gè)根，

A．

B．5

C．

D．-5參考答案：A因?yàn)?、是方程的兩個(gè)根，所以。又，選A.9.若tanα=3，則sin2α=（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：tanα=3，則sin2α===，故選：A．10.已知集合，則集合（）(A)

(B)[0,1]

(C)

(D)參考答案：C因?yàn)?，所以，∴選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|2a－b|的值為

▲

．參考答案：2因?yàn)椋?，與的夾角為60°，所以，故，故答案為2.

12.C.（不等式選做題）不等式的解集為

參考答案：13.對(duì)于拋物線C，設(shè)直線l過(guò)C的焦點(diǎn)F，且l與C的對(duì)稱(chēng)軸的夾角為．若l被C所截得的弦長(zhǎng)為4，則拋物線C的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），得出直線l的方程，聯(lián)立方程組得出根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式列方程解出p．則焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為．【解答】解：不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），則拋物線的焦點(diǎn)F（，0），則直線l的方程為y=x﹣．聯(lián)立方程組，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直線l被拋物線解得弦長(zhǎng)為=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即拋物線C的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為．故答案為：．14.已知向量，若，則的最小值為

。參考答案：815.已知f(x)是偶函數(shù)，且時(shí)，則 .參考答案：

9

16.下列關(guān)于函數(shù)的描述中，正確的是_____.（填寫(xiě)正確命題的序號(hào)）①π是f(x)的一個(gè)周期；②f(x)是偶函數(shù)；③；④，與有且只有2個(gè)公共點(diǎn).參考答案：①②③【分析】假設(shè)π為函數(shù)的周期，代入檢驗(yàn)即可判斷；同理，代入與比較，即可判斷是否為偶函數(shù)；根據(jù)周期與偶函數(shù)性質(zhì)，求得在上的值域即為在上的值域，利用輔助角公式即可求解；畫(huà)出在的圖象，即可判斷與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)?！驹斀狻?，故①正確；因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故②正確；由①②得在上的值域與其在上的值域相同，當(dāng)時(shí)，，角的終邊過(guò)點(diǎn)，故，，，所以的值域?yàn)?，故③正確；，的圖象如圖，所以，與有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性與值域的綜合應(yīng)用，函數(shù)圖象的畫(huà)法及應(yīng)用，屬于中檔題。17.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等邊三角形，若其體積為8，則a=．參考答案：2【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊上的高為2，棱柱的高為a，即可得出該幾何體的體積．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊上的高為2，棱柱的高為a，∴底面正三角形的邊長(zhǎng)=4，∴該正三棱柱的體積V==，解得a=2．故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18..已知集合，有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則可為奇函數(shù)；④若，則對(duì)任意不等實(shí)數(shù)，總有成立．其中所有正確命題的序號(hào)是

．（填上所有正確命題的序號(hào)）

參考答案：略19.（本小題滿分12分）某地區(qū)交通執(zhí)法部門(mén)從某日上午9時(shí)開(kāi)始對(duì)經(jīng)過(guò)當(dāng)?shù)氐?00輛超速車(chē)輛的速度進(jìn)行測(cè)量并分組，并根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)制作了頻率分布表如下，若以頻率作為事件發(fā)生的概率．（Ⅰ）求x，y，z的值，并估計(jì)該地區(qū)的超速車(chē)輛中超速不低于20％的頻率；（Ⅱ）若在第2，3，4，5組用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12名司機(jī)做回訪調(diào)查，并在這12名司機(jī)中任意選3人，求這3人中超速在[20％，80％）之間的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）由題意得，，.…………………（3分）該地區(qū)的超速車(chē)輛中超速不低于20%的頻率為.…………（5分）（Ⅱ）若在第2，3，4，5組用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12名司機(jī)，則在第2，3，4，5組抽取的人數(shù)分別是6，3，2，1.………………（7分）

設(shè)任意選取的3人超速在之間的人數(shù)是，則或.……………（9分），，…………（11分）所以.……………（12分）20.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，且點(diǎn)P和F1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q，問(wèn)是否存在直線l，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）存在直線l為滿足題意，詳見(jiàn)解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)，從而可得出橢圓兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓定義求出的值，結(jié)合的值，可求出的值，從而寫(xiě)出橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，設(shè)，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去，得出有關(guān)的一元二次方程，并列出韋達(dá)定理，同理將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件得出線段與的中點(diǎn)重合，從而可得出有關(guān)的方程，求出的值，即可得出直線的方程?！驹斀狻浚á瘢┙猓河牲c(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得，

所以橢圓E的焦點(diǎn)為，，

由橢圓定義，得.所以，.

故橢圓的方程為；（Ⅱ）解：結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平行.理由如下：由題可知直線，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線的方程為由，消去得，

由題意，可知，設(shè)，，則，，

由消去,得，由，可知，設(shè)，又，則若四邊形的對(duì)角線互相平行，則與的中點(diǎn)重合，所以，即故所以解得，所以直線為，四邊形的對(duì)角線互相平分?！军c(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)于直線與橢圓的綜合問(wèn)題，常采用韋達(dá)定理法，本題中注意到四邊形為平行四邊形，利用兩對(duì)角線互相平分結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解，這是解題的關(guān)鍵，同時(shí)在解題中也要注意韋達(dá)定理法適用的情形。21.已知圓，直線過(guò)點(diǎn)M(－m,0)且與圓相交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）如果直線的斜率為，且，求的值；（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，如果，求直線的斜率．參考答案：(I)解：由已知，直線的方程為，圓心（0,0）到直線的為.因?yàn)閨AB|=6，所以，解得.由，得.(II)解：設(shè)A()，直線:，則點(diǎn)P(0,).因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，,所以,.由方程組得.當(dāng)時(shí)，，所以，.由方程組得.綜上，直線的斜率為±1，.略22.設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn