向量參數(shù)曲面及其面積變換

向量參數(shù)曲面及其面積變換參數(shù)曲面定義：用兩個參數(shù)u和v的向量函數(shù)r(u,v)表示一個曲面，假定是一個定義在平面上的區(qū)域D上的向量值函數(shù)，則的分量函數(shù)是區(qū)域D上的關(guān)于和v的函數(shù)，上所有滿足點的集合稱為參數(shù)曲面S，其中u和v在D上變化。切平面我們求一個向量函數(shù)，表示參數(shù)曲面S在位置向量為的點的切平面如果我們?nèi)?，即為常?shù)，那么是一個關(guān)于參數(shù)的向量函數(shù)，定義在S上的一條網(wǎng)格線，如圖（a），在點的切向量通過對關(guān)于秋偏導得：（1)v。。0u同樣，當取時，表示S上的一條網(wǎng)格線，它在的切向量為：（2）如果非零，那么曲面S稱為光滑的，因此，對一個光滑曲面切平面是一個包含和的平面，且是切平面的一個法向量。曲面面積我們從一般的參數(shù)曲面面積開始，為簡單起見，從參數(shù)域D為矩形的曲面談起，將D分成小矩形塊，令為的左下角，如圖（b）,曲面S對應于的那部分稱為面積片，且位置向量以點為一個頂點，設(shè)，它們分別為公式（1）（2）的切向量（d）圖給出在相交的面積片的兩條邊是怎樣由兩個向量近似，接著這些向量可由近似，因此，我們可以用行四邊形面積為確定的平行四邊形去近似，如圖（c）,且在點S的切平面中，這個平S的面積近似為實質(zhì)上這個二重和是二重積分的黎曼和。定義：如果一個光滑的參數(shù)曲面S由下面的方程給出且當在整個參數(shù)域D上變化時，S只覆蓋一次，那么S的面積為應用：求半徑為的球面面積。解：由球面參數(shù)方程有：于是對于顯形方程只是上面的一種特殊情況，它的參數(shù)方程為：于是（3）曲面面積變換由《數(shù)學分析》page253知：=其中為曲面的法向量與軸正向夾角的余弦，這里不再證明。其實由上面的（3）式的推導可知：對于一般的向量參數(shù)方程：，其中在D上具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，不全為零。由前面的（1）（2）兩式有：其中為法線方向數(shù)。因此，我們有法向量n與z軸的夾角的余弦絕對值為=（5）其中這就是所謂的高斯系數(shù)。我們記上面的（4）式對應坐標系數(shù)為A,B,C,即則參數(shù)曲面的法線方向余弦可表示為：由上面的（3）（4）（5）式推知有下面的等式成立=(6)對應相等可知結(jié)論:由向量函數(shù)的定義可知，曲面的參數(shù)方程是n=2,m=3的向量函數(shù)，我們把三維（x,y,z）空間轉(zhuǎn)換到二維uov平面上，其中由變換系數(shù)能夠推導出空間面積變換系數(shù)的所有表達形式。參考文獻：《數(shù)學分析》下冊第三