第六講正態(tài)隨機(jī)過程

2023/2/411.5正態(tài)(高斯)隨機(jī)過程一正態(tài)隨機(jī)過程的一般概念

1正態(tài)隨機(jī)過程的定義

如果隨機(jī)過程X(t)的任意n維概率分布都是正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)隨機(jī)過程或高斯隨機(jī)過程，簡稱正態(tài)過程或高斯過程。2023/2/422正態(tài)隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)

上式中,mX是n維均值向量，K是n維協(xié)方差矩陣2023/2/432023/2/443性質(zhì)

正態(tài)隨機(jī)過程的n維概率密度函數(shù)只取決于均值和協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。4復(fù)隨機(jī)正態(tài)隨機(jī)過程

若復(fù)正態(tài)隨機(jī)過程Z(t)的n個采樣時刻得到n個復(fù)隨機(jī)變量，即

其中，Xi、Yi皆為實(shí)隨機(jī)變量。此n個復(fù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度應(yīng)是2n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度服從正態(tài)分布。2023/2/45二平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程

1平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程的定義

若正態(tài)隨機(jī)過程滿足下列條件，則它是寬平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。

2023/2/462平穩(wěn)正態(tài)過程的n維概率密度函數(shù)

平穩(wěn)正態(tài)過程一維概率密度函數(shù)：平穩(wěn)正態(tài)過程二維概率密度函數(shù)：其中r為相關(guān)系數(shù)。2023/2/47式中，R是相關(guān)系數(shù)構(gòu)成的行列式，形式如下平穩(wěn)正態(tài)過程n維概率密度函數(shù)：

為行列式中元素的代數(shù)余子式。2023/2/48三正態(tài)隨機(jī)過程的性質(zhì)

正態(tài)隨機(jī)過程的n維概率密度完全由它的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)所確定。性質(zhì)1：性質(zhì)2：正態(tài)過程的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。1）由正態(tài)隨機(jī)過程的概率密度表達(dá)式可知，它的任意n維概率密度僅由均值,方差和相關(guān)系數(shù)唯一確定。如果正態(tài)隨機(jī)過程X(t)寬平穩(wěn)，則其均值和方差是常數(shù)，相關(guān)系數(shù)只與時間差有關(guān)，因此它的任意n維概率密度函數(shù)僅與時間起點(diǎn)無關(guān)，因此是嚴(yán)平穩(wěn)的。2）由于正態(tài)過程的均方值總是有界的，因此嚴(yán)平穩(wěn)正態(tài)過程一定是寬平穩(wěn)的。證明2023/2/49性質(zhì)3：正態(tài)過程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價。（2）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間互不相關(guān)，則若X(t)在n個不同時刻采樣得到一組隨機(jī)變量為X1,X2,…,Xn證明（1）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間相互獨(dú)立，則對任意的則正態(tài)隨機(jī)過程在n個不同時刻的取值不相關(guān)。2023/2/410即兩兩相互獨(dú)立。

因此所以則

2023/2/411性質(zhì)4：平穩(wěn)正態(tài)過程與確定信號之和概率密度函數(shù)仍服從正態(tài)分布。

證明設(shè)X(t)為平穩(wěn)正態(tài)過程，S(t)為確定性信號，合成信號為Y(t)=X(t)+S(t)那么對于任意時刻t，Y(t)=X(t)+S(t)為隨機(jī)變量，這時S(t)具有確定值，由隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度求出Y(t)的一維概率密度函數(shù)為：

且服從正態(tài)分布。同理，Y(t)的二維概率密度為：正態(tài)分布同理，可證明合成信號的n維概率密度也是正態(tài)過程。

性質(zhì)6：若正態(tài)過程X(t)在T上均方可微，則其導(dǎo)數(shù)也是正態(tài)過程。性質(zhì)5：若為維正態(tài)隨機(jī)變量，且均方收斂于即對每個，有則為正態(tài)分布的隨機(jī)變量。2023/2/413若正態(tài)過程X(t)在T上均方可積，則積分過程性質(zhì)7：

也是正態(tài)過程。正態(tài)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)過程。

性質(zhì)8：

正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)過程。

推論：2023/2/414例

設(shè)Ｘ(t)為零均值高斯過程，其協(xié)方差為求在時刻抽樣的三維概率密度？2023/2/415解由定義式可知其中將K代入，即可得出三維概率密度。2023/2/416例

設(shè)Ｘ(t)為平穩(wěn)高斯過程，其