高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程雙曲線

雙曲線同步檢測(cè)1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.雙曲線 B.雙曲線左邊一支C.雙曲線右邊一支D.一條射線答案：C解析：解答：∵|PM|-|PN|=3<4,由雙曲線定義知,其軌跡為雙曲線的一支.又∵|PM|>|PN|,故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支.故選C.分析：本題考查了雙曲線的定義，根據(jù)|PM|-|PN|=3，可得是雙曲線的右支。2.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到A(－5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A.B.C.D.答案：D解析：解答：由題意知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線靠近B點(diǎn)的右支，且c＝5，a＝3，∴b＝4.∴點(diǎn)P的軌跡方程是故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支.故選D.分析：本題考查了雙曲線的定義，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P到A(－5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，可得是雙曲線的右支。3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為()．A．－B．－4C．4D.答案：D解析：解答：由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m<0，則雙曲線方程可化為，則a2＝1，a＝1，又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故選A.分析：本題考查了雙曲線的定義，雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，可得b=2a，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a=1即可。4.雙曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，3），則k的值是()C.D.答案：D解析：解答：由題知雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，且c=3,雙曲線方程可化為∴k=-1.，故選A.分析：因?yàn)殡p曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，3），所以c=3,將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可。5．雙曲線的離心率e∈(1，2)，則k的取值范圍是________．A.－12<k<-1B.0<k<12C.－12<k<0D.k<－12或0<k答案：C解析：解答：雙曲線方程可變?yōu)椋瑒ta2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝，又∵e∈(1，2)，則1<<2，解得－12<k<0.故選C.分析：因?yàn)殡p曲線的離心率e∈(1，2)，根據(jù)e＝確定1<<2，解不等式即可。＞9是方程表示雙曲線的()（A）充要條件（B）充分不必要條件（C）必要不充分條件（D）既不充分又不必要條件答案：C解析：解答：當(dāng)k＞9時(shí)，9－k<0，k－4>0，方程表示雙曲線．當(dāng)k<4時(shí)，9－k>0，k－4<0，方程也表示雙曲線．∴k>9是方程表示雙曲線的充分不必要條件．故選C.分析：因?yàn)?k＞9是方程可得焦點(diǎn)在y軸上,將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．答案：C解析：解答：雙曲線的右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為a＋c，右焦點(diǎn)到漸近線距離為b，所以有：a＋c＝2b，由得，取a＝3，b＝4，則c＝5，滿足a＋c＝2b．故選：分析：本題旨在考查雙曲線的幾何性質(zhì)，可用篩選法．8．與橢圓C：共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1，)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1C. D.－x2＝1答案：C解析：解答：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得m＝n＝2，故選C.分析：根據(jù)橢圓C：，可得a2=16，b2=12，可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可。9．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5，0)和F2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是()．A.(x≤－4)B.(x≤－3)C.(x≥4)D.(x≥3)答案：C解析：解答：根據(jù)兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5，0)和F2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝6，所以c=5，a=3，所以b=4，故選D分析：根據(jù)雙曲線的定義可得．10.雙曲線的頂點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離等于（）A.B.C.D.答案：C解析：解答：雙曲線的右頂點(diǎn)為,漸近線方程為,則頂點(diǎn)到漸近線的距離為.故選C分析：先求頂點(diǎn)，后求漸近線方程，再用距離公式求解.11.已知雙曲線C：QUOTEx2a2-y2b2=1（a>0,=±QUOTE14x=±QUOTE13x=±x=±x答案：C解析：解答：.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，得，所以漸近線方程為.故選C分析：根據(jù)題目中給出離心率確定與之間的關(guān)系，再利用確定與之間的關(guān)系，即可求出漸近線方程.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為y=x，點(diǎn)P（,y0）在該雙曲線上，則=()（A）-12(B)-2(C)0(D)4答案：C解析：解答：由題意：∴雙曲線方程為∵點(diǎn)在該雙曲線上，∴y0=±1,∴P,又F1(-2,0),F2(2,0)，∴=-1+1=0，或=-1+1=0..故選C分析：根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出b的值，然后把P點(diǎn)坐標(biāo)求出來(lái)，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算.13.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=() B.答案：C解析：解答：如圖,A,B兩點(diǎn)是雙曲線的漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的交點(diǎn),其坐標(biāo)分別為，故△AOB的面積為,又因?yàn)殡p曲線的離心率為2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=a,所以p=2..故選C分析：畫(huà)出圖示,確定拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),表示出△AOB的面積,然后求解.14．一動(dòng)圓C與兩定圓C1：x2+(y-1)2=1和圓C2：x2+(y+1)2=4都外切，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程。A.4y2+x2=1（y≥）B.4y2-x2=1（y≥） C.4y2-x2=1（y） D.4y2+x2=1（y）答案：B解析：解答：解：設(shè)動(dòng)圓圓為C(x,y),半徑為r,∴|cc2|-|cc1|=1<|c1c2|,∴點(diǎn)c的軌跡為雙曲線的一支∵，c=1,∴,∴c軌跡方程為4y2-x2=1（y≥）故選B分析：因?yàn)橐粍?dòng)圓C與兩定圓C1：x2+(y-1)2=1和圓C2：x2+(y+1)2=4都外切,∴|cc2|-|cc1|=1<|c1c2|,然后求解即可.15、已知分別是雙曲線的左和右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且=120，求的面積()A.B.C.D.答案：D解析：解答：雙曲線可化為，設(shè)由題意可得即所以故選D分析：雙曲線可化為，設(shè),然后余弦定理求解.16.雙曲線C：的離心率為；漸近線的方程為．答案：|解析：解答：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知，，則，所以.，又漸近線方程為.分析：本題考查雙曲線的性質(zhì)，離心率、漸近線。17.雙曲線的兩條漸近線的方程為.答案：解析：解答：由雙曲線得a=4,b=3,故兩條漸近線的方程為。分析：利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,b再利用漸近線公式求解.18．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到中心的距離為3，那么m＝________.答案：7或－2解析：解答：(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，有m>5，則c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，有m<0，則c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2；綜上述，m＝7或m＝－2.分析：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到中心的距離為3，分情況討論求解即可。19．如果雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的離心率為_(kāi)____．答案：解析：解答：由題意知，所以離心率分析：本題旨在考查雙曲線的離心率，根據(jù)公式求解即可．20.若雙曲線上存在四個(gè)點(diǎn)，使得四邊形是正方形，則雙曲線的離心率的取值范圍是.答案：解析：解答：由正方形的對(duì)稱性可知，其對(duì)稱中心在原點(diǎn)，且在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x,x），所以雙曲線的漸近線的斜率，離心率..分析：本題考查了雙曲線的性質(zhì)及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.21．已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－eq\r(5)，0)，B是圓x2＋(y－)2＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．答案：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\r(5)，0)，則點(diǎn)A，D是雙曲線的焦點(diǎn)，由雙曲線的定義，得|MA|－|MD|＝2a∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圓x2＋(y－)2＝1上的點(diǎn)，圓的圓心為C(0，)，半徑為1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，從而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，當(dāng)點(diǎn)M，B在線段CD上時(shí)取等號(hào)，即|MA|＋|MB|的最小值為＋1.解析：分析：本題考查了雙曲線的定義分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.22.已知與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)點(diǎn)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？答案：已知雙曲線據(jù)c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為依題意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，故雙曲線方程可寫(xiě)為∵點(diǎn)在雙曲線上，化簡(jiǎn)得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或又當(dāng)時(shí)，b2＝25－a2＝不合題意,舍去，故a2=1,b2=24.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：分析：由共焦點(diǎn)可求出c，然后用待定系數(shù)法求解，要注意檢驗(yàn).；待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能．(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程為或或mx2-ny2=1(mn＞0)．(3)尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c（或m,n）的方程組．(4)得方程：解方程組，將a，b（m,n）代入所設(shè)方程即為所求.23．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F(c,0)．（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；答案：∵雙曲線的漸近線為y＝±x，∴a＝b.∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.∴a2＝b2＝2.∴雙曲線方程為（2）以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．答案：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴直線AO的斜率滿足·(－)＝－1.∴x0＝y(tǒng)0.①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，c）.代入雙曲線方程得即b2c2－a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，∴＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，∴雙曲線的離心率為.解析：分析：(1)根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，雙曲線的漸近線為y＝±x，所以a＝b.求解即可；（2）因?yàn)槭且栽c(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，可得圓的方程為x2＋y2＝c2，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線，斜率為－，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線AO的斜率滿足·(－)＝－1.代入圓的方程，化簡(jiǎn)即可。24．設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2離心率e=2.（1）求此雙曲線的漸近線l1、l2的方程；答案：已知：雙曲線方程為．所以a=1，b=，所以漸近線方程：（2）若A、B分別為l1、l2上的點(diǎn)，且求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.答案：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）AB的中點(diǎn)M（x，y）∵2|AB|=5|F1F2|∴|AB|=10∴(x1，x2)2+(y1–y2)2=100，又，，x1+x2=2x，y1+y2=2y．∴，∴即（3）過(guò)點(diǎn)N（1，0）能否作直線l，使l與雙曲線交于不同兩點(diǎn)P、Q.且，若在，求直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由.答案：假設(shè)存在這樣的直線e，設(shè)其方程為P(x1，y1)，Q(x2，y2