第28講 線性代數(shù)總復習

線性代數(shù)總復習內容總結行列式矩陣線性方程組矩陣的特征值與特征向量二次型一、行列式知識要點：行列式定義行列式性質行列式展開行列式計算（重點掌握）“Crammer”法則行列式定義：一、n級排列（逆序數(shù)、奇偶性）二、n階行列式的定義特別注意行列式各項的特征項的一

般形式行列式的性質換行（換列）反號倍乘增倍性倍加不變性轉置不變性分拆原則，相加原則行列式的展開掌握：

1、選取零元素較多的行（列）展開；

2、將消元和展開結合起來，迅速降階.行列式的計算（重點）常用方法：三角化法展開降階法（和消元相結合最為有效）加邊法歸納法化為已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）利用分塊矩陣性質Crammer法則方程的個數(shù)＝未知數(shù)個數(shù)若系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解特別注意方程組為齊次的情況本章所需掌握的題型：行列式計算（重點）

1、具體階數(shù)行列式計算

2、較簡單的n階行列式計算與行列式定義、性質有關的問題需利用行列式進行判定的問題

如：1、“Crammer”法則判定方程組的解

2、矩陣可逆性

3、向量組相關性（向量個數(shù)＝向量維數(shù)）

4、兩個矩陣相似的必要條件

5、矩陣正定的充要條件二、矩陣知識要點：矩陣的基本定義和相關概念矩陣的關系、運算和變換分塊矩陣可逆矩陣初等矩陣和初等變換，逆矩陣的求法矩陣的基本定義和相關概念矩陣的形狀，行數(shù)，列數(shù)，方陣；常見的特殊矩陣：

行、列矩陣，零矩陣（非零矩陣），三角陣，對角陣，單位陣，數(shù)量陣，對稱陣，反對稱陣、正交陣等；方陣的行列式矩陣的關系、運算和變換矩陣的運算：

1.加法、減法、乘法、除法（乘于逆矩陣），乘方（只適用于方陣）特別注意矩陣運算中的反常情況（交換律、消去律、和數(shù)運算的區(qū)別與聯(lián)系）.

2.矩陣的求逆運算.矩陣的關系

1.同型、相等、互逆；

2.等價關系、相似關系、合同關系

（重點研究）矩陣的分塊處理

1.分塊的合理性要求，保證運算可行；

2.分塊運算原則：“子塊視如元素”、“大轉小轉”

3.一些特殊的分塊矩陣（行（列）向量組、準對角陣（其逆矩陣）、階梯型矩陣）矩陣的變換：

1.初等變換（最為重要，與初等矩陣乘積的關系）；

2.等價變換；

3.相似變換；

4.合同變換掌握要點：變換過程中的性質和規(guī)律變換的最終目標變換的具體用途可逆矩陣伴隨矩陣的定義及特性逆矩陣的求法：

1.二階矩陣用伴隨矩陣法；

2.三階以上一般用初等變換法.證明矩陣可逆的常用思路：

1.利用定義構造矩陣B，使得AB＝E；

2.證明矩陣的行列式不等于零；

3.證明方陣滿秩；

4.證明矩陣和另外的可逆陣等價、相似或合同，或由可逆陣的乘積構成.本章所需掌握的題型：矩陣的基本運算及運算性質較為簡單的分快矩陣運算和求逆（準對角陣）伴隨矩陣、可逆矩陣

1、與伴隨矩陣性質相關的問題

2、矩陣可逆性的證明

3、逆矩陣的求法（初等變換法），求簡單的矩陣方程

4、初等矩陣的運算性質、初等矩陣的逆矩陣

5、等價矩陣的性質三、向量的線性相關性知識要點：向量的基本定義和相關概念向量的線性關系

（1）一個向量和向量組的關系；

（2）向量組內部的關系；

（3）向量組與向量組的關系.向量組的秩、矩陣的秩向量的內積、正交化正交矩陣重點要求的幾項技能：判定或證明向量組的線性相關性（行列式，秩，利用性質）求向量組的秩、矩陣秩、極大線性無關組及線性表示向量組正交性判定，向量組的正交化、單位化線性表示（單個向量和向量組的關系）有解判定方程組特別當表出向量組的“向量個數(shù)＝向量維數(shù)”時，則有：系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩對增廣矩陣進行初等行變換化階梯向量組的線性相關性（向量組內部的關系）判定相關性：1、利用定義，特別注重線性無關判定的邏輯過程；

2、利用判定方程組（齊次線性方程組）,特別注重一些特殊情形下的判定；

3、利用一些相關性質.幾個重要關系：1、線性相關和線性表示的關系；

2、線性相關、線性表示、極大線性無關組和向量

組秩的關系.

3、線性表出（或等價）和向量組“大小”或“秩”的關系.

4、向量組秩和矩陣秩的關系.

5、方陣秩、行列式、可逆性、行（列）向量組相

關性、線性方程組（齊次、非齊次）的解況.

有非零解判定方程線性相關性的判別特別當向量組的

“向量個數(shù)＝向量維數(shù)”

時，則有：當向量維數(shù)<向量個數(shù)”時，則有向量組必線性相關.與向量組線性相關性相關的結論定理：

向量組線性相關的充要條件是至少有一個向量可以被其余向量線性表出.定理：

向量組線性無關的充要條件是任何一個向量均不能被其余向量線性表出.“短”向量組無關必有“長”向量組無關“長”向量組相關必有“短”向量組相關“多”向量組無關必有“少”向量組無關

“少”向量組相關必有“多”向量組相關“多”向量組被“少”向量組表出，“多”向量組線性相關.“線性無關”的向量組只可能被“不少于”它的向量組線性表出.任何向量組只可能被“秩不小于它的秩”的向量組線性表出.“等價無關組”具有相同的“多、少”通俗記憶 任何一個向量組都與其極大線性無關組等價. 一個向量組的極大線性無關組不唯一，且彼此等價，且含有相同個數(shù)的向量（秩）.極大線性無關組和向量組秩，矩陣秩1、向量組線性無關當且僅當

其“秩”等于向量組所含向量個數(shù).

2、向量組線性相關當且僅當

其“秩”小于向量組所含向量個數(shù).兩個等價的向量組必定具有相同的秩.

（反之不正確）初等變換不改變矩陣的秩.等價矩陣具有相同的秩.矩陣轉置，秩不變.任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變.1.不改變列部分組的線性相關性.

2.將列極大無關組變?yōu)榱袠O大無關組.

3.不改變矩陣列向量組的線性表出方式.初等行變換：求向量組秩、極大無關組，表示方式行階梯型矩陣一個極大無關組原向量組一個極大無關組與初始向量組等價正交矩陣定義：正交矩陣的性質：有關于向量組秩和矩陣的等式和不等式本章所需掌握的題型：向量組線性相關性的判定或證明向量組線性表示的判定或證明求向量組的秩、極大線性無關組、將其余向量用極大無關組表示線性無關向量組的正交化和單位化與向量組或矩陣秩有關的問題與正交陣有關的一些問題線性方程組重點：

利用增廣矩陣的初等變換判定方程組的解況，并求出解（或通解）AX=b有解R(A)=R(A,b)R<n無窮解無解R(A)R(A,b)R=n唯一解n-r個自由未知量一般（非齊次）線性方程組解況判定：AX=0R<n無窮多解（有非零解）R=n唯一解（只有零解）n-r個自由未知量必有零解特別，當方程個數(shù)<變元個數(shù)時，方程必有非零解.齊次線性方程組解況判定：齊次方程組和非齊次線性方程組解的結構：齊次線性方程組的基礎解系特征（特別所含解向量個數(shù)）以及通解表示，求法；非齊次線性方程組解的結構，通解表示以及求法注意所介紹的簡單求法本章所需掌握的題型：含參數(shù)線性方程組解況以及求解與齊次方程組的基礎解系特征，通解特征，非齊次線性方程組通解特征有關的問題需利用線性方程組的解況判定的相關問題，如向量組的線性相關性，線性表示等等矩陣的

相似對角化本章所需掌握的題型：與特征值、特征向量有關的問題

1、特征問題、特征多項式、特征矩陣，特征值、特征向量的求法；

2、由矩陣運算或變型所演化出來的特征值、特征向量（逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣多項式等）

3、方陣、實對稱矩陣的特征值、特征向量性質相似矩陣

1、相似矩陣的一些性質

2、矩陣可相似對角化的充要條件、充分條件

3、矩陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化

4、相似矩陣的簡單用途，求方冪等二次型可逆線性變換對二次型的變形線性變換可將二次型轉化為新二次型新舊矩陣間的關系A和B為合同矩陣

（合同變換）特征值期末考試的基本題型：選擇題（6題，12分）填空題（