第二章 2.3.3 直線及圓的位置關(guān)系

考綱定位學(xué)習(xí)目標：1.理解直線與圓的三種位置關(guān)系的幾何特征，并能對此作出正確的判斷．2．會求圓的切線方程，會利用直線與圓的位置關(guān)系求直線方程或者是圓的方程，從而解決直線與圓的綜合問題．重點難點：直線與圓相切問題及切線的求法．直線與圓的綜合問題．1．直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的

位置關(guān)系：①直線與圓相交，有

公共點；②直線與圓相切，只有

公共點；③直線與圓相離，

公共點．基礎(chǔ)知識梳理三種兩個一個沒有(2)直線與圓位置關(guān)系的判定有兩種方法：①代數(shù)法：通過

所組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來判斷．若有兩組不同的實數(shù)解，即

，則相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即

，則相切；若無實數(shù)解，即

，則相離．②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷；當

時，直線與圓相交；當

時，直線與圓相切；當

時，直線與圓相離．直線方程與圓的方程Δ＞0Δ＝0Δ＜0d＜rd＝rd＞r2．直線與圓相切(1)當點(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上時，切線方程為

；(2)若點(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，則切線方程為

；x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2求證：無論k為何值，直線l：kx－y－4k＋3＝0與曲線C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有兩個交點．【分析】由于曲線C方程表示一個圓，故可證明直線與圓相交，也可把直線與曲線C的方程聯(lián)立得方程組，確定此方程組有兩組解，也可考慮直線過定點，進而證明定點在這個圓內(nèi)．課堂互動講練題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系例1比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系．【點評】

(1)細致分析題設(shè)，挖掘隱含條件，可優(yōu)化思維過程，如利用隱含關(guān)系“直線l過點A(4,3)”，產(chǎn)生法二．(2)證明中法一是抓住直線與圓位置關(guān)系的代數(shù)特征，從而轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，這是研究直線與圓位置關(guān)系的基本方法，法二有一定的技巧性，是通過直線過圓內(nèi)一定點，使問題獲證的．1．當a為何值時，直線ax－y－a－1＝0與圓x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相離？跟蹤訓(xùn)練求過點P(1，－7)與圓x2＋y2＝25相切的切線方程．【分析】要求圓的切線，先判斷點的位置關(guān)系，再去求切線．【解】

將點P(1，－7)代入圓方程得12＋(－7)2＝50>25，∴點P在圓外．法一：設(shè)切線的斜率為k，由點斜式得y＋7＝k(x－1)，即y＝k(x－1)－7

①題型二求圓的切線方程例2由位置關(guān)系求切線的斜率．【點評】過一點求圓的切線，應(yīng)首先判定點與圓的位置關(guān)系，若在圓上，則該點即為切點，若在圓外可根據(jù)此點設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即得切線斜率．2．過原點的直線與圓x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切點在第三象限，求該直線的方程．跟蹤訓(xùn)練圓C過點P(1,2)和Q(－2,3)，且圓C在兩坐標軸上截得的弦長相等，求圓C的方程．【分析】若設(shè)圓的一般方程，轉(zhuǎn)化為弦長相等的關(guān)系，計算量較大，因此可作出圖形，利用圖形性質(zhì)，從而可得圓心或半徑滿足的關(guān)系．題型三有關(guān)圓中弦的問題例3主要用勾股定理及方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解】法一：如圖所示，∵圓C在兩坐標軸上截得的弦長相等，即|AD|＝|EG|，∴它們的一半也相等，即|AB|＝|GF|.又|AC|＝|GC|，∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|＝|FC|.設(shè)C(a，b)，則|a|＝|b|.

①【點評】

(1)解答本題的難點是轉(zhuǎn)化“圓C在兩坐標軸上截得的弦長相等”的條件，法一是利用圓心在弦的垂直平分線上，從而得到圓心，求出半徑，這是解決有關(guān)圓中弦的問題常見的思維方法；法二是從代數(shù)的角度，借助兩點間的距離公式作轉(zhuǎn)化的．(2)一般地，直線與圓相交涉及弦長的問題，常采用根與系數(shù)的關(guān)系或幾何法(半徑長、圓心距和圓半徑構(gòu)成直角三角形)來解決，而利用幾何法更為簡捷．跟蹤訓(xùn)練法二：由已知l：mx－y＋1－m＝0，得y－1＝m(x－1)，故直線恒過定點P(1,1)．因為12＋(1－1)2＜5，所以P(1,1)在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C總有兩個不同的交點．直線y＝kx與圓x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于兩個不同點A、B，當k取不同實數(shù)值時，求AB中點的軌跡．題型四有關(guān)弦的中點問題例4結(jié)合圓的幾何性質(zhì)或方程組思想研究弦中點的軌跡．【點評】

(1)涉及到直線與圓的交點坐標時，常采用設(shè)而不求的代數(shù)方法．(2)法一是解決直線與曲線相交問題的通用方法；法二是解弦中點問題的通法，但必須是在直線與曲線一定相交的條件下使用；法三是運用了圓的幾