第2章 誤差分布及精度指標(biāo)

第2章誤差分布與精度指標(biāo)

了解偶然誤差的分布規(guī)律、三個(gè)特性和兩個(gè)重要概念。明確精度、準(zhǔn)確度與精確度的概念，熟記衡量精度的指標(biāo)，掌握精度計(jì)算的方法。第2章誤差分布與精度指標(biāo)本章主要內(nèi)容

正態(tài)分布偶然誤差的分布特性衡量精度的指標(biāo)精度、準(zhǔn)確度與精確度測(cè)量不確定度

2.1

正態(tài)分布

2.2

偶然誤差的分布特性

授課目的要求：了解偶然誤差的分布規(guī)律;熟記偶然誤差的三個(gè)特性和兩個(gè)重要概念。

重點(diǎn)、難點(diǎn):偶然誤差的三個(gè)特性和兩個(gè)重要概念。

2.1

正態(tài)分布

1.一維正態(tài)分布隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布可表示為其概率密度為2.n維正態(tài)分布

隨機(jī)向量服從正態(tài)分布可表示為，其概率密度為

其中3.描述偶然誤差分布的三種方法：1)列表法

在相同觀測(cè)條件下,對(duì)某測(cè)區(qū)817個(gè)三角形的內(nèi)角進(jìn)行了觀測(cè)，并按下式求出內(nèi)角和的誤差為

設(shè)以dΔ表示誤差區(qū)間并令其等于0.5″，誤差分別按正誤差和負(fù)誤差重新排列，統(tǒng)計(jì)誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的個(gè)數(shù)μ，計(jì)算出誤差出現(xiàn)在某區(qū)間內(nèi)的頻率μi/n，其結(jié)果列于表2-1中。

表2-1

誤差區(qū)間為負(fù)值的Δ為正值的Δ

個(gè)數(shù)μ

相對(duì)個(gè)數(shù)μ/n

個(gè)數(shù)μ

相對(duì)個(gè)數(shù)μ/n0.0"----0.5"0.5----1.01.0----1.51.5----2.02.0----2.52.5----3.03.0----3.53.5以上

12310475552720100

0.1510.1270.0920.0670.0330.0250.0120

121907851391590

0.1480.1100.0960.0620.0480.0180.0110

和

414

0.507

403

0.493

該組誤差的分布規(guī)律為:絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差多；絕對(duì)值相等的正誤差個(gè)數(shù)與負(fù)誤差個(gè)數(shù)相近,誤差的絕對(duì)值有一定限制，最大誤差不超過(guò)3.5″。

2).直方圖法

根據(jù)表2-1的數(shù)據(jù)，以誤差Δ的數(shù)值為橫坐標(biāo)，以μ/n/dΔ為縱坐標(biāo)可繪制出直方圖，如圖2-1所示。

每一誤差區(qū)間上的長(zhǎng)方形面積表示誤差在該區(qū)間出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)，所有長(zhǎng)方形面積之和等于1。

3).密度函數(shù)法

當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n無(wú)限增多，并無(wú)限縮小誤差區(qū)間時(shí)，圖2-1中各個(gè)小長(zhǎng)方條頂邊的折線就變成一條光滑的曲線，如圖2-2所示。

已知偶然誤差Δ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,它的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

E(Δ)=0

故Δ的密度函數(shù)為

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2.2

偶然誤差的分布特性

1)在一定的觀測(cè)條件下,誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。（界限性）

2)絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大。（小誤差占優(yōu)性）。

3)絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。（對(duì)稱(chēng)性）

分布特性：

1)由偶然誤差的界限性，可以依據(jù)觀測(cè)條件來(lái)確定誤差限值；

2)由偶然誤差的對(duì)稱(chēng)性和抵消性知，Δ的理論平均值應(yīng)為零，即有:

這表明,若觀測(cè)值中不含有系統(tǒng)誤差和粗差,則觀測(cè)量的期望值就是其真值。

兩個(gè)重要概念：

作業(yè)：

第二章習(xí)題1，2，3，4，5，6，7，8返回

2.3衡量精度的指標(biāo)2.4準(zhǔn)確度與精確度2.5測(cè)量不確定度

授課目的要求：熟記衡量精度的指標(biāo)，掌握精密度計(jì)算的方法，了解測(cè)量不確定度的概念。

重點(diǎn)、難點(diǎn):精密度指標(biāo)及其計(jì)算

。

2.3衡量精度的指標(biāo)1觀測(cè)量的精度指標(biāo)

（1）觀測(cè)條件與精密度

精密度是指一組偶然誤差分布的密集與離散的程度，是觀測(cè)值與其期望值接近的程度，表征觀測(cè)結(jié)果偶然誤差大小的程度。

一定的觀測(cè)條件對(duì)應(yīng)一種確定不變的誤差分布。若觀測(cè)條件較好，誤差分布較密集，則其精密度較高。

觀測(cè)條件相同的一組觀測(cè)，稱(chēng)為等精密度觀測(cè)，但各自的真誤差彼此并不一定相等。

（2）常用精密度指標(biāo)方差與標(biāo)準(zhǔn)差：

設(shè)為服從正態(tài)分布的偶然誤差，由方差與期望的關(guān)系式知顧及

則有

由數(shù)學(xué)期望的定義，又可將方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別表示為

上兩式中

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估值公式為

例〔2－3－1〕為檢定一架剛剛購(gòu)進(jìn)的經(jīng)緯儀的測(cè)角精度,現(xiàn)對(duì)某一精確測(cè)定的水平角(β=65°28′34.0″)作25次觀測(cè),根據(jù)觀測(cè)結(jié)果算得各次觀測(cè)誤差為(單位:秒):

+1.3,-1.1,+0.8,+1.5,+1.1,-0.3,+0.2,+0.6,-0.5，-0.7,-2.0,+0.6,+1.2,-0.4,-0.9,-1.3,-1.1,-0.9，-0.3,+0.6,+0.8,-0.3,+0.8,-1.2,-0.8試根據(jù)Δi計(jì)算測(cè)角精度和

解:

［ΔΔ］=22.61

極限誤差：

極限誤差就是最大誤差。規(guī)定極限誤差的根據(jù)是誤差出現(xiàn)在某一范圍內(nèi)的概率的大小。經(jīng)統(tǒng)計(jì)Δ出現(xiàn)在(-σ,+σ),(-2σ，+2σ)，(-3σ，+3σ)內(nèi)的概率分別為

大于三倍中誤差的誤差，其出現(xiàn)的概率只有0.3%，是小概率事件，在一次觀測(cè)中，可認(rèn)為是不可能事件。因此，可規(guī)定三倍中誤差為極限誤差。即

Δ限=3σ

對(duì)觀測(cè)要求較嚴(yán)時(shí)，也可規(guī)定兩倍中誤差為極限誤，Δ限=2σ

相對(duì)誤差：

衡量單位觀測(cè)值的精度叫做相對(duì)精度。包括相對(duì)真誤差、相對(duì)中誤差、相對(duì)極限誤差,它們分別是真誤差、中誤差和極限誤差與其觀測(cè)值之比。相對(duì)誤差是個(gè)無(wú)名數(shù),在測(cè)量中經(jīng)常將分子化為1。即

與相對(duì)誤差相區(qū)別,真誤差、中誤差和極限誤差統(tǒng)稱(chēng)為絕對(duì)誤差。

平均誤差與或然誤差：平均誤差：:

或然誤差:

或然誤差ρ是指在一定的觀測(cè)條件下,

大于與小于某數(shù)值的偶然誤差絕對(duì)值出現(xiàn)的概率各為一半

ρ=0.6745σ

2觀測(cè)向量的精密度指標(biāo)（1）n維隨機(jī)向量的方差陣設(shè)x1，x2，…，xn為隨機(jī)變量，由它們組成的n維列向量為

隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望E(X)定義為

E(X)也是一個(gè)n維隨機(jī)向量，其元素是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(xi)。隨機(jī)向量的方差陣定義為

為書(shū)寫(xiě)方便，可簡(jiǎn)記為:

式中

是各隨機(jī)變量的方差

稱(chēng)為隨機(jī)變量xi關(guān)于隨機(jī)變量xj的協(xié)方差。

協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)程度的指標(biāo)。定義相關(guān)系數(shù)為

當(dāng)時(shí)，，表示兩個(gè)隨機(jī)變量互不相關(guān)。當(dāng)xi、xj均為正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量互相獨(dú)立。方差陣Dx是對(duì)稱(chēng)方陣。

當(dāng)n維隨機(jī)向量中任意兩個(gè)隨機(jī)變量均為互不相關(guān)時(shí),則σij=0(i≠j)。此時(shí)方差陣Dx即變?yōu)閷?duì)角陣:

進(jìn)一步，當(dāng)，即方差陣中的主對(duì)角線元素均為同一數(shù)值時(shí)，則Dx變?yōu)閿?shù)量矩陣，表明所有觀測(cè)值的精度均相同。

（2）兩隨機(jī)向量的互協(xié)方差陣設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)向量:

定義

分別為向量X對(duì)向量Y和向量Y對(duì)向量X的互協(xié)方差陣。

互協(xié)方差陣一般不是方陣,例如當(dāng)n=2,t=3時(shí)，有

互協(xié)方差陣的元素是兩隨機(jī)向量中兩兩隨機(jī)變量的協(xié)方差。

互協(xié)方差陣有以下性質(zhì):

因?yàn)?/p>

則

同理可證另一式

當(dāng)DXY=0時(shí),表示X和Y互相獨(dú)立。

協(xié)方差σij的估算可仿照σi2的估算方法進(jìn)行。即

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2.4準(zhǔn)確度與精確度

準(zhǔn)確度是指觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望值與其真值接近的程度，其數(shù)值指標(biāo)為偏差，表征了觀測(cè)結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的程度，即

精確度是指觀測(cè)值與其真值接近的程度，其數(shù)值指標(biāo)為均方誤差，表征了偶然誤差和系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果聯(lián)合影響大小的程度，即

隨機(jī)向量X的精確度用其均方誤差陣表示，即返回

2.5測(cè)量不確定度

測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性即包含偶然誤差，又包含系統(tǒng)誤差和粗差，也包含數(shù)值上和概念上的誤差以及可度量和不可度量的誤差。數(shù)據(jù)誤差的隨機(jī)性和數(shù)據(jù)概念上的不完整性及模糊性，都可視為不確定性問(wèn)題。

不確定度是度量不確定性的一