第10章梁及結(jié)構(gòu)的位移計算

第10章梁與結(jié)構(gòu)的位移計算§1工程中的變形問題§2撓曲線近似微分方程§3積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角§4疊加法求撓度和轉(zhuǎn)角§5單位荷載法§6圖乘法§7彈性體互等定理§8結(jié)構(gòu)的剛度校核§1工程中的變形問題§1工程中的變形問題1、梁的撓曲線：一條光滑、連續(xù)而平坦的曲線。

撓曲線方程——2、梁橫截面位移

（1）撓度y—橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。

（2）轉(zhuǎn)角θ—橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)的角位移。

3、撓度y和轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系：4、撓度、轉(zhuǎn)角的正負號規(guī)定：θ：

逆時針為正、順時針為負。

y：§2撓曲線近似微分方程在純彎曲情況下，梁軸線曲率的表達式為：

橫力彎曲曲率公式：

平坦曲線：

∴

§2撓曲線近似微分方程§3積分法計算梁的變形

積分一次，可得轉(zhuǎn)角方程：

再積分一次，可得撓度方程：

式中：C、D——積分常數(shù)

**積分常數(shù)由邊界條件、光滑連續(xù)條件確定。例題圖示懸臂梁。B端受集中力P的作用。EI為常數(shù)，試求梁的最大的撓度和最大的轉(zhuǎn)角。解：1、列彎矩方程：2、列撓曲線近似微分方程：積分一次得：——①再積分一次得：——②3、確定積分常數(shù)：邊界條件代入①、②式C=0D=0轉(zhuǎn)角撓度4、方程：y例題圖示簡支梁，受均布荷載q作用，EI為常數(shù)，試求梁的最大撓度f和兩端截面的轉(zhuǎn)角。

解：1、列彎矩方程：2、列撓曲線近似微分方程：積分一次得：再積分一次得：3、確定積分常數(shù)：邊界條件轉(zhuǎn)角撓度4、方程：FAyFBy§4疊加法計算梁的變形

理論依據(jù)——

疊加原理：

總變形=∑分變形例題已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角B1）將梁上的載荷分解yC1yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。解yC1yC2yC33）應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和例題已知EI為常數(shù)，試用疊加法求圖示外伸梁截面C的撓度。

例題已知EI為常量，試用疊加法求圖示懸臂梁C截面的撓度。

§5單位荷載法結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)A位移轉(zhuǎn)角位移線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉(zhuǎn)角F功的概念：功=力乘以在力的方向上所發(fā)生的位移。力力偶廣義力線位移角位移廣義位移一點的線位移兩點的相對線位移一個截面轉(zhuǎn)角兩個截面相對轉(zhuǎn)角§5單位荷載法§5單位荷載法一、外力功的計算

常力做功

變力做功

位移與靜力荷載dyyFFy§5單位荷載法一、外力功的計算

常力做功

變力做功

力力偶廣義力線位移角位移廣義位移一點的線位移兩點的相對線位移一個截面轉(zhuǎn)角兩個截面相對轉(zhuǎn)角軸向拉伸扭轉(zhuǎn)彎曲剪切§5單位荷載法二、線彈性桿的變形能

微段的彎曲應(yīng)變能全梁的彎曲應(yīng)變能則可積分上式得到

例：求剛架C點的豎向位移。xxxlABCq例:1)求A點水平位移2)求A截面轉(zhuǎn)角3)求AB兩點相對水平位移4)求AB兩截面相對轉(zhuǎn)角步驟:1）虛設(shè)一單位荷載(單獨作圖)2）分別求出兩種狀態(tài)下的彎矩圖3）代入公式進行計算ll§6圖乘法EIEI梁和剛架：一、問題的提出ACBαMMi=xtgαyxMFdxxy0x0ω注：y0=x0tgα①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。③豎標y0取在直線圖形中，對應(yīng)另一圖形的形心處。④面積ω與豎標y0在桿的同側(cè)，ωy0取正號，否則取負號。二、圖乘公式?ò?==DFEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAFdxxMtgEI1aòdsEIMMFT直桿òdxEIMMFòT=CEIEI1dxMMFòTBAFdxxtgMEI1a是直線M三、幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點EIEI1.根據(jù)擬求位移虛設(shè)單位力。2.內(nèi)力計算。（1）荷載作用下彎矩圖MF。（2）單位力作用下彎矩圖。3.圖乘求位移。ACB四、圖乘法計算位移的一般步驟例1：求B端的轉(zhuǎn)角。1.根據(jù)擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內(nèi)力計算。（1）荷載作用下內(nèi)力圖MF。（2）單位力作用下內(nèi)力圖。3.圖乘求位移。解:()()若兩個彎矩圖都是直線圖形，則縱坐標yc可取任一圖形。

Fl/2l/2EIABm=11/2Fl/4ql2/2

MFMFF=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例2：求梁B點轉(zhuǎn)角位移。例3：求梁B點豎向線位移。3l/4當圖乘法的適用條件不滿足時的處理a)曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b)當EI分段為常數(shù)或、均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。FFaaa例4：求圖示梁中點的撓度。FaFaMFF=13a/4a/2a/2Fl/2l/2C例5：求圖示梁C點的撓度。MFFlCF=1l/2l/6l6EIFl123=FlEIC212=△5Fl/6？？EIFl4853=Fl65×??llEIyC22210?è?××==Dwa）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在基線同側(cè)乘積取正，否則取負。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649非標準圖形乘直線形S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（3）9（2）32649＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標準拋物線乘直線形11ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DBxyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MFω1ω2ω3B練習：計算B點水平位移F=1例6：求跨中C點的豎向位移1.根據(jù)擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內(nèi)力計算。（1）荷載作用下內(nèi)力圖MF。（2）單位力作用下內(nèi)力圖。3.圖乘求位移。解:()()若MF是曲線，M是折線，則應(yīng)分段圖乘。

對嗎？應(yīng)分段！H1EI2EI1CABH2FF=11.根據(jù)擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內(nèi)力計算。（1）荷載作用下內(nèi)力圖MF。（2）單位力作用下內(nèi)力圖。3.圖乘求位移。解:例7：求C點的水平位移若各段EI不同，則分段圖乘。

MFFH2MH2FH1H11.當兩圖均為直線時，y0不受限。2.若一圖是曲線，另一圖是折線，應(yīng)分段圖乘。3.若圖形較復雜，形心不便確定，可將其分解為簡單圖形。4.若桿各段EI不同，應(yīng)分段圖乘。5.虛設(shè)單位力。求線位移——集中力求角位移——集中力偶求相對位移——一對力五、圖乘規(guī)律練習、已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移。qMF解：lqh4kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MFkN.m1kN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MFl求B點豎向位移。()練習、圖示梁EI為常數(shù)，求中點C的豎向位移。l/2ql/2MF請問：錯在啥地方？請問：錯在啥地方？l/2ql/2MF解法一l/2ql/2MF解法二應(yīng)用條件：1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比;2)變形是微小的。即:線性變形體系。一、功的互等定理功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)①的外力在狀態(tài)②的位移上作的功V1等于狀態(tài)②的外力在狀態(tài)①的位移上作的功V2。即：V1=V2§7彈性體的互等定理二、位移互等定理F1①F2②

位移互等定理：由單位荷載F1=1所引起的與F2相應(yīng)的位移δ21等于由單位荷載F2=1所引起的與F1相應(yīng)的位移δ12。Δ21Δ12jijijFdD=FFD=D121212FFD=D212121稱為位移影響系數(shù)，等于Fj=1所引起的與Fi相應(yīng)的位移。注意：1）這里荷載可以是廣義荷載，位移是相應(yīng)的廣義位移。2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。三、反力互等定理△1△2r11r21r22r12

反力互等定理：由單位位移△1=1所引起的與位移△2相應(yīng)的反力r21等于由單位位移△

2=1所引起的與位移△

1相應(yīng)的反力r12。

注意：1）這里支座位移可以是廣義位移，反力是相應(yīng)的廣義力。2）反力互等定理僅用于超靜定結(jié)構(gòu)。Fl/2l/23Fl/16CA①θΔC②例：已知圖①結(jié)構(gòu)的彎矩圖求同一結(jié)構(gòu)②由于支座A的轉(zhuǎn)動引起C點的撓度。解：V12=V21∵V21=0∴V12=FΔC－3Fl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16例：圖示同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，求Δ=？F=1①②m=1m=1ABΔ=θA+θBθBθAΔ計算梁變形的目的之一，就是對梁進行剛度校核。

1、剛度條件：

式中：

——容許撓度值（通常用跨度的若干分之一表示）。

——容許扭轉(zhuǎn)角。

2、剛度校核

梁需滿足強度條件剛度條件

（設(shè)計）

（校核）§8結(jié)構(gòu)的剛度校核根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為：解例題已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=2