剛體力學(xué)課件

第一篇

力學(xué)第５章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)RotatingofaRigidBodyAboutaFixedAxis第1節(jié)剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律第3節(jié)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能第4節(jié)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律第5節(jié)進(jìn)動(dòng)TranslationandRotationofaRigidBody第1節(jié)剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)1.剛體大小和形狀都保持不變的物體。是一種理想化的模型，但有重要的實(shí)際意義。剛體可看成是各質(zhì)點(diǎn)間相對位置保持不變的特殊的質(zhì)點(diǎn)系。關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)規(guī)律都可用于剛體。13.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述轉(zhuǎn)軸剛體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)都保持靜止轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體各點(diǎn)都繞同一直線

(轉(zhuǎn)軸)

作圓周運(yùn)動(dòng)。最簡單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置和方向都固定不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在同一時(shí)間內(nèi),各點(diǎn)對軸的轉(zhuǎn)角相等，但線速度不同。用角量來描述轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律較為方便。5(1)

角位置定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程(3)

角速度(4)

角加速度單位：

弧度(rad)(2)

角位移描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量22dtddtdqwb==6轉(zhuǎn)軸剛體q參考方向xp注意:

這里的角量單位都用弧度(rad)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中角量與線量的基本關(guān)系類似一維運(yùn)動(dòng),各角量的方向由“+”,“–”號(hào)表示。矢量式71.力矩（1）在垂直oo

的平面內(nèi)（2）不在垂直oo

的平面內(nèi)oo.P對剛體繞oo軸的轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)

總可分解成兩個(gè)分量：計(jì)算時(shí),只需考慮的力矩,即Mz.第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(參考點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上)oo.P8——?jiǎng)傮w對定軸(z軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

由剛體上各質(zhì)元相對于固定轉(zhuǎn)軸的分布決定，與外力無關(guān)，是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的特征量。與牛頓第二定律比較：Jmm——反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律:J——反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性113.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（1）分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)（2）質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)(如:剛體)Mrdm單位：kgm2質(zhì)量元dm的計(jì)算方法如下：質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布線密度面密度體密度12例1.

求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)

慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過環(huán)心。解：若是半徑為R的薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果如何？OdmOR在圓環(huán)上取質(zhì)量元dm結(jié)果形式不變！13例2.

求質(zhì)量為m,

半徑為R,厚為l的均勻圓盤的

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：lr取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),其質(zhì)量為顯然：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對其

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。14例3.如圖所示,一個(gè)均勻半圓薄板的質(zhì)量為m,半徑為R.以其直徑邊為轉(zhuǎn)軸,它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量多大？解:取窄條狀面元dS.設(shè)面密度為.dShdhd對應(yīng)的弧長為Rd?15X例4.求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒

對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLo解：取如圖坐標(biāo)dm=dx繞過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的J可見：同一物體繞不同的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。ABL/2L/2CXo16LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22J=mR123J=mL1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直兩個(gè)常用的結(jié)果184.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用19am1m2m1ga1T1m2gT2a2T1/T2/T例：一細(xì)繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1<m2)，如圖所示.設(shè)滑輪和繩的質(zhì)量可忽略不計(jì)，繩不能伸長，試求物體的加速度以及懸掛滑輪的繩中張力.解：選取對象m1、m2及滑輪分析運(yùn)動(dòng)

m1，以加速度a1向上運(yùn)動(dòng)

m2，以加速度a2向下運(yùn)動(dòng)分析受力隔離體受力如圖所示.取a1向上為正方向，則有

T1－m1g＝m1a1①以a2向下為正方向，則有

m2g－T2＝m2a2.②根據(jù)題意有

T1＝T2＝T，a1＝a2＝a.聯(lián)立①和②兩式得由牛頓第三定律知：

T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T，例7.

在半徑為R,質(zhì)量為m，J=mR2的圓輪上掛一細(xì)繩細(xì)繩兩端各掛兩物m1>m2。求:兩物的加速度a及輪子的角加速度.m2m1解：m1、m2作為質(zhì)點(diǎn)處理輪子作剛體處理,m1gT1m2gT2T1T2根據(jù)牛頓定律y由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：解得25.第3節(jié)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定義為所以，轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能為:302.力矩的功力在這段元位移中所做的功是即:力對轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功用力矩的功來計(jì)算!所以313.剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,合外力矩M對剛體所做的功為:即

合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量——?jiǎng)傮w繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理324.剛體的重力勢能yhihcxOMCmi質(zhì)元mi的勢能整個(gè)剛體的勢能剛體的重力勢能5.機(jī)械能守恒定律對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運(yùn)動(dòng)過程中只有保守內(nèi)力做功,則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。它的全部質(zhì)量都集中

在質(zhì)心時(shí)所具有的勢能33xOmgC例10.一根長為L,質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒,一端有一

固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)

動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時(shí)的角加速度和角速度。解：（用機(jī)械能守恒定律重解例5.)在棒擺動(dòng)過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)棒在水平位置時(shí)重力勢能為零，由機(jī)械能守恒知:與前面解得的結(jié)果一致!341.剛體的角動(dòng)量剛體上的任一質(zhì)元繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)相對于轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)O的角動(dòng)量在軸上的分量的大小均為故剛體對此軸的角動(dòng)量為即：剛體對定軸的角動(dòng)量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

慣量J和角速度的乘積。簡寫為第4節(jié)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis35質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為對質(zhì)點(diǎn)系任意一質(zhì)點(diǎn)定軸方向0對質(zhì)點(diǎn)系由上可得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律——?jiǎng)傮w繞定軸的角動(dòng)量定理2.剛體繞定軸的角動(dòng)量定理內(nèi)外Jz不變Jz變化36合外力矩M

對剛體繞定軸的沖量矩為與動(dòng)量定理比較即:對某一定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的累積效果為剛體對同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。(微分形式)剛體繞定軸的角動(dòng)量定理(積分形式)簡寫為37當(dāng)合外力矩則——角動(dòng)量守恒（1）當(dāng)L=常量，若J=常量，則

=常量。即：剛體保持恒定的角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)L=常量，若J常量，J=常量，則

常量。或J（2）此定律可推廣到含多個(gè)質(zhì)點(diǎn)、多個(gè)剛體的系統(tǒng)3.角動(dòng)量守恒定律38討論oouvmm碰前碰后例12.勻質(zhì)細(xì)棒質(zhì)量為m,長為2L,可在鉛直平面內(nèi)繞通過其中心的水平軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng).開始時(shí)棒靜止于水平位置,一質(zhì)量為m'的小球,以速度u垂直落到棒的端點(diǎn),且與棒作彈性碰撞.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球?yàn)橄到y(tǒng).在碰撞過程中,對軸O的外力矩只有小球的重力矩mgL.因碰撞時(shí)間極短,此重力矩對時(shí)間的累積可忽略不計(jì).

于是,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸o的角動(dòng)量守恒:40以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量方向?yàn)檎?則因作彈性碰撞,故在碰撞過程中機(jī)械能守恒