高中數(shù)學(xué)競賽基礎(chǔ)平面幾何知識點(diǎn)總結(jié)

..高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何知識點(diǎn)基礎(chǔ)1、相似三角形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定：<1>平行于三角形一邊的直線和其他兩邊<或兩邊的延長線>相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;<2>如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似<簡敘為:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩個(gè)三角形相似.>;<3>如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似<簡敘為:三邊對應(yīng)成比例,兩個(gè)三角形相似.>;<4>如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對應(yīng)相等<或三個(gè)角分別對應(yīng)相等>,則有兩個(gè)三角形相似<簡敘為兩角對應(yīng)相等,兩個(gè)三角形相似.>.直角三角形相似的判定定理:<1>直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似;<2>如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.常見模型：相似三角形的性質(zhì):〔1相似三角形對應(yīng)角相等〔2相似三角形對應(yīng)邊的比值相等,都等于相似比〔3相似三角形對應(yīng)邊上的高、角平分線、中線的比值都等于相似比〔4相似三角形的周長比等于相似比〔5相似三角形的面積比等于相似比的平方2、內(nèi)、外角平分線定理及其逆定理內(nèi)角平分線定理及其逆定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例。如圖所示,若AM平分∠BAC,則ABAC該命題有逆定理：如果三角形一邊上的某個(gè)點(diǎn)與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應(yīng)成比例,那么該點(diǎn)與對角頂點(diǎn)的連線是三角形的一條角平分線外角平分線定理：三角形任一外角平分線外分對邊成兩線段,這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊成比例。如圖所示,AD平分△ABC的外角∠CAE,則BD其逆定理也成立：若D是△ABC的BC邊延長線上的一點(diǎn),且滿足BDDC=AB內(nèi)外角平分線定理相結(jié)合：如圖所示,AD平分∠BAC,AE平分∠BAC的外角∠CAE,則BD3、射影定理在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的高,則有射影定理如下：BD2=AD·CDAB2=AC·ADBC2=CD·AC對于一般三角形：在△ABC中,設(shè)∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則有a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA4、旋轉(zhuǎn)相似當(dāng)一對相似三角形有公共定點(diǎn)且其邊不重合時(shí),則會產(chǎn)生另一對相似三角形,尋找方法：連接對應(yīng)點(diǎn),找對應(yīng)點(diǎn)連線和一組對應(yīng)邊所成的三角形,可以得到一組角相等和一組對應(yīng)邊成比例,如圖中若△ABC∽△AED,則△ACD∽△ABE5、張角定理在△ABC中D為BC邊上一點(diǎn),則sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圓內(nèi)有關(guān)角度的定理圓周角定理及其推論：〔1圓周角定理指的是一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半〔2同弧所對的圓周角相等〔3直徑所對的圓周角是直角,直角所對的弦是直徑〔4圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)〔5圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角弦切角定理：頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。其大小等于它所夾的弧所對的圓周角。其頂點(diǎn)在圓上。弦切角一條邊與圓周相交,另一條邊與圓相切,切點(diǎn)在圓周上。7、托勒密定理與托勒密不等式托勒密定理圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積如圖所示,四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,則AC·BD=AB·CD+AD·BC托勒密不等式任意凸四邊形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號8、切線長定理與圓冪定理切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長相等。即如圖,AB、AC切圓O于B、C,切線長AB

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AC相交弦定理相交弦定理是指圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等或經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦,各弦被這點(diǎn)所分成的兩線段的積相等如圖所示,在⊙O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)P,則有AP·BP=CP·DP相交弦定理與切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理切割線定理、割線定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。切割線定理的推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等〔割線定理如圖所示,PT切圓于T,PDC、PBA為兩條割線,則有PA·PB=PC·PD=PT29、四點(diǎn)共圓方法1：

把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形,且兩三角形都在這底邊的同側(cè),若能證明其頂角相等,從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。〔可以說成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等,那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓方法2：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形,若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí),即可肯定這四點(diǎn)共圓?！部梢哉f成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對角,那么這四點(diǎn)共圓方法3：引入第五點(diǎn),證明第五點(diǎn)與四個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)共圓,再另外一組三點(diǎn),證明它們與第五個(gè)點(diǎn)四點(diǎn)共圓,則得到這五點(diǎn)共圓,也就是這原四點(diǎn)共圓方法4：證明這四個(gè)點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離相等得到四點(diǎn)共圓后,可以利用圓周角定理及其推論、圓冪定理、托勒密定理等性質(zhì)遇到有關(guān)邊的條件,可以聯(lián)想圓冪定理,從而得到相似三角形,將其轉(zhuǎn)化為角度的條件10、西姆松定理及其逆定理西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理。其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線的垂線,則三垂足共線?！泊司€常稱為西姆松線。如圖所示,P為△ABC外接圓上一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作AB,AC,BC,垂足分別為F、E、D,則D、E、F三點(diǎn)共線。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。11、圓冪與根軸圓冪假設(shè)平面上有一⊙O,其半徑為R,有一點(diǎn)P在圓O外,過P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B,PA·PB即為P到⊙O的冪,數(shù)值為OP2-R如下圖所示,則PA·PB=PC·PD=圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù),圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù),圓上的點(diǎn)的冪為零。根軸與根心在平面上任給兩不同心的圓,則對兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線,這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸,或者稱作等冪軸。平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；若兩圓相交,則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；若兩圓相切,則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；若兩圓外離,則兩圓的根軸上的點(diǎn)分別引兩圓的切線,則切線長相等。從而,根軸必過四條公切線的中點(diǎn)。蒙日定理〔根心定理：平面上任意三個(gè)圓,若這三個(gè)圓圓心不共線,則三條根軸相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線,則三條根軸互相平行；12、梅涅勞斯定理及其逆定理梅涅勞斯定理當(dāng)一條直線交△ABC三邊所在的直線BC、AC、AB分別于點(diǎn)D,E,F時(shí),則有梅涅勞斯定理的逆定理梅涅勞斯逆定理是若有三點(diǎn)F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上,且滿足,則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理,可以判斷三點(diǎn)共線。13、塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則賽瓦定理的逆定理在△ABC的邊BC,CA,AB上分別取點(diǎn)D,E,F,如果,那么直線AD,BE,CF相交于同一點(diǎn)。14、角元形式的塞瓦定理及其逆定理角元形式的塞瓦定理設(shè)P為平面上一點(diǎn)<不在AB、BC、AC三條直線上>,延長AP、BP、CP分別交對邊或其延長線于D、E、F三點(diǎn),那么sin∠BAP角元形式的塞瓦定理的逆定理在△ABC的邊BC,CA,AB上分別取點(diǎn)D,E,F,如果sin∠BAPsin∠PAC15、密克爾點(diǎn)三圓定理：設(shè)三個(gè)圓C1,C2,C3交于一點(diǎn)O,而M,N,P分別是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交點(diǎn)。設(shè)A為C1的點(diǎn),直線MA交C2于B,直線PA交C3于C。那么B,N,C這三點(diǎn)共線三圓逆定理：如果△ABC是三角形,M,N,P三點(diǎn)分別在邊AB,BC,CA上,那么△AMP,△BMN,△CNP的外接圓交于一點(diǎn)O四圓定理：設(shè)C1,C2,C3,C4為四個(gè)圓,A1和B1是C1和C2的交點(diǎn),A2和B2是C2和C3的交點(diǎn),A3和B3是C3和C4的交點(diǎn),A4和B4是C1和C4的交點(diǎn)。那么A1,A2,A3,A4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1,B2,B3,B4四點(diǎn)共圓五圓定理:設(shè)ABCDE為任意五邊形,五點(diǎn)F,G,H,I,J分別是EA和BC,AB和CD,BC和DE,CD和EA,DE和AB的交點(diǎn),那么三角形△ABF,△BCG,△CDH,△DEI,△EAJ的外接圓的五個(gè)不在五邊形上的交點(diǎn)共圓,而且穿過這些交點(diǎn)的圓也穿過五個(gè)外接圓的圓心。五圓逆定理：設(shè)C1,C2,C3,C4,C5五個(gè)圓的圓心都在圓C上,相鄰的圓交于C上,那么把它們不在C上的交點(diǎn)與比鄰?fù)瑯拥狞c(diǎn)連起來,所成的五條直線相交于這五個(gè)圓上。16、笛沙格定理及其逆定理笛沙格定理,即同調(diào)三角形定理。平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF,設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)<A和D、B和E、C和F>的連線交于一點(diǎn),這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交,則這三個(gè)交點(diǎn)共線。其逆定理為,若兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的交點(diǎn)在同一條直線上,則對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。17、位似及其性質(zhì)已知兩個(gè)幾何圖形A和A',若二者之間存在一個(gè)一一對應(yīng),且每一雙對應(yīng)點(diǎn)P和P'都與一定點(diǎn)O共線,同時(shí)OP/OP'=k〔k>0是常數(shù),則稱A和A'位似,而點(diǎn)O叫做位似中心,k是位似比。位似圖形一定是相似圖形,相似圖形不一定是位似圖形。位似圖形對應(yīng)邊平行,對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)是位似中心。根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。把一個(gè)幾何圖形變換成與之位似的圖形,叫做位似變換。物理中的透鏡成像就是一種位似變換,位似中心為光心.位似變換應(yīng)用極為廣泛,特別是可以證明三點(diǎn)共線等問題.特別地,兩個(gè)不重合的圓總是位似的,位似中心為兩圓外公切線或內(nèi)公切線的交點(diǎn)。18、垂心及其性質(zhì)三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外。如圖所示,H為銳角三角形ABC的垂心,則常用結(jié)論有：①△ABH的垂心為C,△ACH的垂心為B,△BCH的垂心為A,此時(shí)我們成A、B、C、H為"垂心四點(diǎn)組",即在這四個(gè)點(diǎn)中,任意三個(gè)點(diǎn)組成的三角形的垂心恰是第四個(gè)點(diǎn)②∠ABH=∠ACH=π2-∠BAC,∠BHC=π-③AH=2RcosA,DH=2RcosBcosC④H關(guān)于BC、AC、AB的對稱點(diǎn)H?,H?,H?都在△ABH的外接圓上⑤垂心關(guān)于三邊中點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在該三角形外接圓上19、重心定理三角形的三條中線交于一點(diǎn),該點(diǎn)叫做三角形的重心。重心定理是說三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的2/3。20、歐拉線及其性質(zhì)三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直線上,這條直線就叫三角形的歐拉線,且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半。如圖所示,H,O,G分別是△ABC的垂心,外心,重心,則H,G,O三點(diǎn)共線,且HG=2OG21、九點(diǎn)圓在任意的三角形中,三邊的中點(diǎn)、三條高的垂足、三條高的交點(diǎn)〔垂心與三角形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),這九個(gè)點(diǎn)共圓,通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓,或歐拉圓、費(fèi)爾巴哈圓。1.三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；2.九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn)；3.三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓相切〔費(fèi)爾巴哈定理；4.九點(diǎn)圓是一個(gè)垂心組〔即一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)和它的垂心,共四個(gè)點(diǎn),每個(gè)點(diǎn)都是其它三點(diǎn)組成的三角形的垂心,共4個(gè)三角形共有的九點(diǎn)圓,所以九點(diǎn)圓共與四個(gè)內(nèi)切圓相切。22、梯形及其性質(zhì)與判定梯形是指只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊,較長的一條底邊叫下底,較短的一條底邊叫上底。另外兩邊叫腰；夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。兩腰相等的梯形叫等腰梯形。性質(zhì)：1、梯形的上下兩底平行；2、梯形的中位線,平行于兩底并且等于上下底和的一半；3、等腰梯形對角線相等；4、等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等；判定：1、一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形是梯形；2、一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形；3、兩腰相等的梯形是等腰梯形；4、同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；5、對角線相等的梯形是等腰梯形；常用輔助線做法：23、斯特瓦爾特定理及其衍生公式斯