2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo))2

年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔新課標(biāo)〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是〔〕A． B． C．﹣i D．i2．〔5分〕以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增的函數(shù)是〔〕A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|3．〔5分〕執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是〔〕A．120 B．720 C．1440 D．50404．〔5分〕有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，那么這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為〔〕A． B． C． D．5．〔5分〕角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，那么cos2θ=〔〕A．﹣ B．﹣ C． D．6．〔5分〕在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下列圖，那么相應(yīng)的側(cè)視圖可以為〔〕A． B． C． D．7．〔5分〕設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，那么C的離心率為〔〕A． B． C．2 D．38．〔5分〕的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，那么該展開式中常數(shù)項(xiàng)為〔〕A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．409．〔5分〕由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為〔〕A． B．4 C． D．610．〔5分〕與均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個命題P1：|+|＞1?θ∈[0，〕；P2：|+|＞1?θ∈〔，π]；P3：|﹣|＞1?θ∈[0，〕；P4：|﹣|＞1?θ∈〔，π]；其中的真命題是〔〕A．P1，P4 B．P1，P3 C．P2，P3 D．P2，P411．〔5分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=sin〔ωx+φ〕+cos〔ωx+φ〕的最小正周期為π，且f〔﹣x〕=f〔x〕，那么〔〕A．f〔x〕在單調(diào)遞減 B．f〔x〕在〔，〕單調(diào)遞減C．f〔x〕在〔0，〕單調(diào)遞增 D．f〔x〕在〔，〕單調(diào)遞增12．〔5分〕函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx〔﹣2≤x≤4〕的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于〔〕A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕假設(shè)變量x，y滿足約束條件那么z=x+2y的最小值為．14．〔5分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1F2在x軸上，離心率為．過Fl的直線交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為．15．〔5分〕矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，那么棱錐O﹣ABCD的體積為．16．〔5分〕在△ABC中，B=60°，AC=，那么AB+2BC的最大值為．三、解答題〔共8小題，總分值70分〕17．〔12分〕等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，〔Ⅰ〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．18．〔12分〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．〔Ⅰ〕證明：PA⊥BD；〔Ⅱ〕假設(shè)PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．〔12分〕某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大說明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方〔分別稱為A配方和B配方〕做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數(shù)412423210〔Ⅰ〕分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；〔Ⅱ〕用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y〔單位：元〕與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X〔單位：元〕，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．〔以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率〕20．〔12分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A〔0，﹣1〕，B點(diǎn)在直線y=﹣3上，M點(diǎn)滿足∥，=?，M點(diǎn)的軌跡為曲線C．〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕P為C上的動點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．21．〔12分〕函數(shù)f〔x〕=+，曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔1，f〔1〕〕處的切線方程為x+2y﹣3=0．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕如果當(dāng)x＞0，且x≠1時，f〔x〕＞+，求k的取值范圍．22．〔10分〕如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根．〔Ⅰ〕證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；〔Ⅱ〕假設(shè)∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．23．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為〔α為參數(shù)〕M是C1上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足=2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|．24．設(shè)函數(shù)f〔x〕=|x﹣a|+3x，其中a＞0．〔Ⅰ〕當(dāng)a=1時，求不等式f〔x〕≥3x+2的解集〔Ⅱ〕假設(shè)不等式f〔x〕≤0的解集為{x|x≤﹣1}，求a的值．2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔新課標(biāo)〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是〔〕A． B． C．﹣i D．i【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)化簡為a+bi〔a，b∈R〕的形式，然后求出共軛復(fù)數(shù)，即可．【解答】解：復(fù)數(shù)===i，它的共軛復(fù)數(shù)為：﹣i．應(yīng)選C2．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增的函數(shù)是〔〕A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對選項(xiàng)一一加以判斷，即可得到既是偶函數(shù)又在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增的函數(shù)．【解答】解：對于A．y=2x3，由f〔﹣x〕=﹣2x3=﹣f〔x〕，為奇函數(shù)，故排除A；對于B．y=|x|+1，由f〔﹣x〕=|﹣x|+1=f〔x〕，為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y=x+1，是增函數(shù)，故B正確；對于C．y=﹣x2+4，有f〔﹣x〕=f〔x〕，是偶函數(shù)，但x＞0時為減函數(shù)，故排除C；對于D．y=2﹣|x|，有f〔﹣x〕=f〔x〕，是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y=2﹣x，為減函數(shù)，故排除D．應(yīng)選B．3．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是〔〕A．120 B．720 C．1440 D．5040【分析】執(zhí)行程序框圖，寫出每次循環(huán)p，k的值，當(dāng)k＜N不成立時輸出p的值即可．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N成立，有k=2P=2，k＜N成立，有k=3P=6，k＜N成立，有k=4P=24，k＜N成立，有k=5P=120，k＜N成立，有k=6P=720，k＜N不成立，輸出p的值為720．應(yīng)選：B．4．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，那么這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為〔〕A． B． C． D．【分析】此題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是3×3種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組有3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知此題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是3×3=9種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組，由于共有三個小組，那么有3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=，應(yīng)選A．5．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，那么cos2θ=〔〕A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值，由直線的斜率得到tanθ的值，然后根據(jù)同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系求出cosθ的平方，然后根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根據(jù)題意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，那么cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．應(yīng)選：B．6．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下列圖，那么相應(yīng)的側(cè)視圖可以為〔〕A． B． C． D．【分析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，得到組合體的側(cè)視圖．【解答】解：由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，∴側(cè)視圖是一個中間有分界線的三角形，應(yīng)選D．7．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，那么C的離心率為〔〕A． B． C．2 D．3【分析】不妨設(shè)雙曲線C：，焦點(diǎn)F〔﹣c，0〕，由題設(shè)知，，由此能夠推導(dǎo)出C的離心率．【解答】解：不妨設(shè)雙曲線C：，焦點(diǎn)F〔﹣c，0〕，對稱軸y=0，由題設(shè)知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．應(yīng)選B．8．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，那么該展開式中常數(shù)項(xiàng)為〔〕A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【分析】給x賦值1求出各項(xiàng)系數(shù)和，列出方程求出a；將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的系數(shù)和；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，求出特定項(xiàng)的系數(shù)．【解答】解：令二項(xiàng)式中的x為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為的的系數(shù)和∵展開式的通項(xiàng)為Tr+1=〔﹣1〕r25﹣rC5rx5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展開式中常數(shù)項(xiàng)為8C52﹣4C53=40應(yīng)選D9．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為〔〕A． B．4 C． D．6【分析】利用定積分知識求解該區(qū)域面積是解決此題的關(guān)鍵，要確定出曲線y=，直線y=x﹣2的交點(diǎn)，確定出積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和積分的關(guān)系完成此題的求解．【解答】解：聯(lián)立方程得到兩曲線的交點(diǎn)〔4，2〕，因此曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為：S=．應(yīng)選C．10．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕與均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個命題P1：|+|＞1?θ∈[0，〕；P2：|+|＞1?θ∈〔，π]；P3：|﹣|＞1?θ∈[0，〕；P4：|﹣|＞1?θ∈〔，π]；其中的真命題是〔〕A．P1，P4 B．P1，P3 C．P2，P3 D．P2，P4【分析】利用向量長度與向量數(shù)量積之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決此題的關(guān)鍵，要列出關(guān)于夾角的不等式，通過求解不等式得出向量夾角的范圍．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈〔，π]，故P3錯誤，P4正確．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，〕，故P2錯誤，P1正確．應(yīng)選A．11．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=sin〔ωx+φ〕+cos〔ωx+φ〕的最小正周期為π，且f〔﹣x〕=f〔x〕，那么〔〕A．f〔x〕在單調(diào)遞減 B．f〔x〕在〔，〕單調(diào)遞減C．f〔x〕在〔0，〕單調(diào)遞增 D．f〔x〕在〔，〕單調(diào)遞增【分析】利用輔助角公式將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡，根據(jù)周期與ω的關(guān)系確定出ω的值，根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)確定出φ的值，再對各個選項(xiàng)進(jìn)行考查篩選．【解答】解：由于f〔x〕=sin〔ωx+?〕+cos〔ωx+?〕=，由于該函數(shù)的最小正周期為T=，得出ω=2，又根據(jù)f〔﹣x〕=f〔x〕，得φ+=+kπ〔k∈Z〕，以及|φ|＜，得出φ=．因此，f〔x〕=cos2x，假設(shè)x∈，那么2x∈〔0，π〕，從而f〔x〕在單調(diào)遞減，假設(shè)x∈〔，〕，那么2x∈〔，〕，該區(qū)間不為余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，故B，C，D都錯，A正確．應(yīng)選A．12．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx〔﹣2≤x≤4〕的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【分析】的圖象由奇函數(shù)的圖象向右平移1個單位而得，所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)〔1，0〕中心對稱，再由正弦函數(shù)的對稱中心公式，可得函數(shù)y2=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點(diǎn)〔1，0〕，故交點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)，且每一對對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2．由此不難得到正確答案．【解答】解：函數(shù)，y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心〔1，0〕，作出兩個函數(shù)的圖象如圖當(dāng)1＜x≤4時，y1＜0而函數(shù)y2在〔1，4〕上出現(xiàn)1.5個周期的圖象，在和上是減函數(shù)；在和上是增函數(shù)．∴函數(shù)y1在〔1，4〕上函數(shù)值為負(fù)數(shù)，且與y2的圖象有四個交點(diǎn)E、F、G、H相應(yīng)地，y1在〔﹣2，1〕上函數(shù)值為正數(shù)，且與y2的圖象有四個交點(diǎn)A、B、C、D且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8應(yīng)選D二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕假設(shè)變量x，y滿足約束條件那么z=x+2y的最小值為﹣6．【分析】在坐標(biāo)系中畫出約束條件的可行域，得到的圖形是一個平行四邊形，把目標(biāo)函數(shù)z=x+2y變化為y=﹣x+，當(dāng)直線沿著y軸向上移動時，z的值隨著增大，當(dāng)直線過A點(diǎn)時，z取到最小值，求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到最小值．【解答】解：在坐標(biāo)系中畫出約束條件的可行域，得到的圖形是一個平行四邊形，目標(biāo)函數(shù)z=x+2y，變化為y=﹣x+，當(dāng)直線沿著y軸向上移動時，z的值隨著增大，當(dāng)直線過A點(diǎn)時，z取到最小值，由y=x﹣9與2x+y=3的交點(diǎn)得到A〔4，﹣5〕∴z=4+2〔﹣5〕=﹣6故答案為：﹣6．14．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕在平面直角坐標(biāo)系xOy，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1F2在x軸上，離心率為．過Fl的直線交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為+=1．【分析】根據(jù)題意，△ABF2的周長為16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，結(jié)合橢圓的定義，有4a=16，即可得a的值；又由橢圓的離心率，可得c的值，進(jìn)而可得b的值；由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可得橢圓的方程．【解答】解：根據(jù)題意，△ABF2的周長為16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有4a=16，即a=4；橢圓的離心率為，即=，那么a=c，將a=c，代入可得，c=2，那么b2=a2﹣c2=8；那么橢圓的方程為+=1；故答案為：+=1．15．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，那么棱錐O﹣ABCD的體積為8．【分析】由題意求出矩形的對角線的長，結(jié)合球的半徑，球心到矩形的距離，滿足勾股定理，求出棱錐的高，即可求出棱錐的體積．【解答】解：矩形的對角線的長為：，所以球心到矩形的距離為：=2，所以棱錐O﹣ABCD的體積為：=8．故答案為：816．〔5分〕〔2023?新課標(biāo)〕在△ABC中，B=60°，AC=，那么AB+2BC的最大值為2．【分析】設(shè)AB=cAC=bBC=a利用余弦定理和條件求得a和c的關(guān)系，設(shè)c+2a=m代入，利用判別大于等于0求得m的范圍，那么m的最大值可得．【解答】解：設(shè)AB=cAC=bBC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3設(shè)c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0故m≤2當(dāng)m=2時，此時a=，c=符合題意因此最大值為2另解：因?yàn)锽=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin〔120°﹣A〕+4sinA=2〔sin120°cosA﹣cos120°sinA〕+4sinA=cosA+5sinA=2sin〔A+φ〕，〔其中sinφ=，cosφ=〕所以AB+2BC的最大值為2．故答案為：2三、解答題〔共8小題，總分值70分〕17．〔12分〕〔2023?新課標(biāo)〕等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，〔Ⅰ〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【分析】〔Ⅰ〕設(shè)出等比數(shù)列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡后得到關(guān)于q的方程，由等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，得到滿足題意q的值，然后再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比數(shù)列的首項(xiàng)，根據(jù)首項(xiàng)和求出的公比q寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；〔Ⅱ〕把〔Ⅰ〕求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡后，即可得到bn的通項(xiàng)公式，求出倒數(shù)即為的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，抵消后即可得到數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【解答】解：〔Ⅰ〕設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由條件可知各項(xiàng)均為正數(shù)，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=．〔Ⅱ〕bn=++…+=﹣〔1+2+…+n〕=﹣，故=﹣=﹣2〔﹣〕那么++…+=﹣2[〔1﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕]=﹣，所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為﹣．18．〔12分〕〔2023?新課標(biāo)〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．〔Ⅰ〕證明：PA⊥BD；〔Ⅱ〕假設(shè)PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】〔Ⅰ〕因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA⊥BD；〔Ⅱ〕建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，B，C，P的坐標(biāo)，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可．【解答】〔Ⅰ〕證明：因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD〔Ⅱ〕如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，那么A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕，C〔﹣1，，0〕，P〔0，0，1〕．=〔﹣1，，0〕，=〔0，，﹣1〕，=〔﹣1，0，0〕，設(shè)平面PAB的法向量為=〔x，y，z〕，那么即，因此可取=〔，1，〕設(shè)平面PBC的法向量為=〔x，y，z〕，那么，即：可取=〔0，1，〕，cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：﹣．19．〔12分〕〔2023?新課標(biāo)〕某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大說明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方〔分別稱為A配方和B配方〕做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數(shù)412423210〔Ⅰ〕分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；〔Ⅱ〕用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y〔單位：元〕與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X〔單位：元〕，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．〔以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率〕【分析】〔I〕根據(jù)所給的樣本容量和兩種配方的優(yōu)質(zhì)的頻數(shù)，兩個求比值，得到用兩種配方的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值．〔II〕根據(jù)題意得到變量對應(yīng)的數(shù)字，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和第一問的結(jié)果寫出變量對應(yīng)的概率，寫出分布列和這組數(shù)據(jù)的期望值．【解答】解：〔Ⅰ〕由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為∴用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3．由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為∴用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42；〔Ⅱ〕用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90，94〕，[94，102〕，[102，110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，∴P〔X=﹣2〕=0.04，P〔X=2〕=0.54，P〔X=4〕=0.42，即X的分布列為X﹣224P0.040.540.42∴X的數(shù)學(xué)期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820．〔12分〕〔2023?新課標(biāo)〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A〔0，﹣1〕，B點(diǎn)在直線y=﹣3上，M點(diǎn)滿足∥，=?，M點(diǎn)的軌跡為曲線C．〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕P為C上的動點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．【分析】〔Ⅰ〕設(shè)M〔x，y〕，由得B〔x，﹣3〕，A〔0，﹣1〕并代入∥，=?，即可求得M點(diǎn)的軌跡C的方程；〔Ⅱ〕設(shè)P〔x0，y0〕為C上的點(diǎn)，求導(dǎo)，寫出C在P點(diǎn)處的切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得O點(diǎn)到l距離，然后利用根本不等式求出其最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕設(shè)M〔x，y〕，由得B〔x，﹣3〕，A〔0，﹣1〕．所=〔﹣x，﹣1﹣y〕，=〔0，﹣3﹣y〕，=〔x，﹣2〕．再由題意可知〔〕?=0，即〔﹣x，﹣4﹣2y〕?〔x，﹣2〕=0．所以曲線C的方程式為y=﹣2．〔Ⅱ〕設(shè)P〔x0，y0〕為曲線C：y=﹣2上一點(diǎn)，因?yàn)閥′=x，所以l的斜率為x0，因此直線l的方程為y﹣y0=x0〔x﹣x0〕，即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．那么o點(diǎn)到l的距離d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0時取等號，所以O(shè)點(diǎn)到l距離的最小值為2．21．〔12分〕〔2023?新課標(biāo)〕函數(shù)f〔x〕=+，曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔1，f〔1〕〕處的切線方程為x+2y﹣3=0．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕如果當(dāng)x＞0，且x≠1時，f〔x〕＞+，求k的取值范圍．【分析】〔I〕求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn)；利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上，列出方程組，求出a，b值．〔II〕將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)k分類討論，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出參數(shù)k的范圍．【解答】解：由題意f〔1〕=1，即切點(diǎn)坐標(biāo)是〔1，1〕〔Ⅰ〕由于直線x+2y﹣3=0的斜率為，且過點(diǎn)〔1，1〕，故即解得a=1，b=1．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，所以〕．考慮函數(shù)〔x＞0〕，那么．〔i〕設(shè)k≤0，由知，當(dāng)x≠1時，h′〔x〕＜0．而h〔1〕=0，故當(dāng)x∈〔0，1〕時，h′〔x〕＜0，可得；當(dāng)x∈〔1，+∞〕時，h′〔x〕＜0，可得h〔x〕＞0從而當(dāng)x＞0，且x≠1時，f〔x〕﹣〔+〕＞0，即f〔x〕＞+．〔ii〕設(shè)0＜k＜1．由于當(dāng)x∈〔1，〕時，〔k﹣1〕〔x2+1〕+2x＞0，故h′〔x〕＞0，而h〔1〕=0，故當(dāng)x∈〔1，〕時，h〔x〕＞0，可得h〔x〕＜0，與題設(shè)矛盾．〔iii〕設(shè)k≥1．此時h′〔x〕＞0，而h〔1〕=0，故當(dāng)x∈〔1，+∞〕時，h〔x〕＞0，可得h〔x〕＜0，與題設(shè)矛盾．綜合得，k的取值范圍為〔﹣∞，0]．22．〔10分〕〔2023?新課標(biāo)〕如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根．〔Ⅰ〕證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；〔Ⅱ〕假設(shè)∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．【分析】〔I〕做出輔助線，根據(jù)所給的AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根，得到比例式，根據(jù)比例式得到三角形相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，得到結(jié)論．〔II〕根據(jù)所給的條件做出方程的兩個根，