上海市教育學(xué)院實驗中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

上海市教育學(xué)院實驗中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點P在曲線y=上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是

（

）A.[0,)

B.

C.

D.參考答案：D2.已知點，點Q在直線x-y+1=0上，若直線PQ垂直于直線x+2y-5=0，則點Q的坐標(biāo)是（

）.

A．（－2，1）

B．（2，1）

C．（2，3）

D．（－2，－1）參考答案：C3.已知，下列所給出的不能表示點的坐標(biāo)的是(

)A、

B、

C、

D、參考答案：A4.將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，可以是（）A、B、C、D、參考答案：D5.定義在上的函數(shù)滿足.當(dāng)時，，當(dāng)時，。則（

）A．335

B．338

C．1678

D．2012

參考答案：B6.已知F是雙曲線的右焦點，點M在C的右支上，坐標(biāo)原點為O，若，且，則C的離心率為（

）A. B. C.2 D.參考答案：D【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為運用余弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，即為，運用離心率公式計算即可得到所求值．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為由題意可得，，即有，即有，由雙曲線的定義可得，即為，即有，可得．故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用余弦定理和雙曲線的定義，考查運算能力，屬于中檔題．7.圓x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置關(guān)系是（） A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切參考答案：C【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定． 【專題】計算題． 【分析】把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點間的距離公式，求出兩圓心的距離d，然后求出R﹣r和R+r的值，判斷d與R﹣r及R+r的大小關(guān)系即可得到兩圓的位置關(guān)系． 【解答】解：把圓x2+y2﹣2x=0與圓x2+y2+4y=0分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程得： （x﹣1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4， 故圓心坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，﹣2），半徑分別為R=2和r=1， ∵圓心之間的距離d=，R+r=3，R﹣r=1， ∴R﹣r＜d＜R+r， 則兩圓的位置關(guān)系是相交． 故選C 【點評】圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別是：當(dāng)0≤d＜R﹣r時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=R﹣r時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R﹣r＜d＜R+r時，兩圓相交；當(dāng)d=R+r時，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時，兩圓外離（其中d表示兩圓心間的距離，R，r分別表示兩圓的半徑）． 8.與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是(

)

A．8

B.4

C.2

D.1參考答案：A略9.若，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D10.用反證法證明命題：“若能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”時，假設(shè)應(yīng)為（

）A.a，b都能被3整除 B.a，b都不能被3整除C.a，b不都能被3整除 D.a能被3整除參考答案：B【分析】根據(jù)反證法的步驟和命題的否定，直接對“中至少有一個能被3整除”的進行否定即可.【詳解】因為“至少有n個”的否定為“至多有n-1個”.“中至少有一個能被3整除”的否定是：“都不能被3整除”，故應(yīng)假設(shè)都不能被3整除.故本題答案為B.【點睛】反證法即首先假設(shè)命題反面成立，即否定結(jié)論，再從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得到矛盾，得出假設(shè)命題不成立是錯誤的，即所求證命題成立.故用反證法證明命題時，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立.反證法的適用范圍是：（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層?？?，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為表示5位乘客在20層下電梯的人數(shù)，則隨機變量=

；參考答案：略12.在極坐標(biāo)系中，O是極點，設(shè)點，，則△OAB的面積是

．參考答案：513.若圓錐的側(cè)面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為

．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題．【分析】求出圓錐的底面周長，然后利用側(cè)面積求出圓錐的母線，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的底面面積為π，則其底面半徑是1，底面周長為2π，又，∴圓錐的母線為2，則圓錐的高，所以圓錐的體積××π=．故答案為．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的有關(guān)計算，圓錐的側(cè)面積，體積的求法，考查計算能力．14.在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，D1到B1C的距離為．參考答案：略15.直線y=kx交曲線y=于點P、Q兩點，O是坐標(biāo)原點，P在O、Q之間，若|OP|=2|PQ|，那么k=

。參考答案：16.設(shè)拋物線y2=4x上一點P到直線x+2=0的距離是6，則點P到拋物線焦點F的距離為

．參考答案：5【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)點P到直線x+2=0的距離求得點到準(zhǔn)線的距離，進而利用拋物線的定義可知點到準(zhǔn)線的距離與點到焦點的距離相等，從而求得答案．【解答】解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=﹣1，∵點P到直線x+2=0的距離為6，∴點p到準(zhǔn)線x=﹣1的距離是6﹣1=5，根據(jù)拋物線的定義可知，點P到該拋物線焦點的距離是5，故答案為：5．【點評】本題主要考查了拋物線的定義．充分利用了拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離與點到焦點的距離相等這一特性．17.三角形的一邊長為，這條邊所對的角為，另兩邊之比為8：5，則這個三角形的面積為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某同學(xué)參加北大、清華、科大三所學(xué)校的自主命題招生考試，其被錄取的概率分別為（各學(xué)校是否錄取他相互獨立，允許他可以被多個學(xué)校同時錄?。?（1）求此同學(xué)沒有被任何學(xué)校錄取的概率；（2）求此同學(xué)至少被兩所學(xué)校錄取的概率.參考答案：解：（1）

（2）略19.（本小題滿分14分）.數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．參考答案：解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)．(2)證明：當(dāng)n＝1時，a1＝1，猜想成立．假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N*)時，猜想成立，即ak＝，那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N*)時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，這表明n＝k＋1時，猜想成立．∴an＝(n∈N*)．20.已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過點和點.（1）求圓C的方程；（2）過點(3,0)的直線l截圓所得弦長為2，求直線l的方程.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求出圓心即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為即，由點到直線的距離公式求出值，求出直線的方程，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，此時弦長為2符合題意，綜上即可求出直線的方程.【詳解】（1）由題意可知，設(shè)圓心為，則圓為：，圓經(jīng)過點和點，，解得，則圓的方程為：；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，過點的直線截圓所得弦長為2，，解得，直線的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，此時弦長為2符合題意.綜上，直線的方程為或.【點睛】本題考查了圓方程，根據(jù)弦長求直線方程，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.21.（12分）某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個A型零件和1個B型零件配套組成．每個工人每小時能加工5個A型零件或者3個B型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時工作（分組后人數(shù)不再進行調(diào)整），每組加工同一中型號的零件．設(shè)加工A型零件的工人人數(shù)為x名（x∈N*）（1）設(shè)完成A型零件加工所需時間為小時，寫出的解析式；（2）為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？

參考答案：解：(1)生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需時間（其中,且）……2分(2)生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個，則完成B型零件加工所需時間（其中,且）；……4分ks5u設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時間小時，則為與中的較大者，令，則，解得所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，故……7分當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為（小時）；……9分當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，則在的最小值為（小時）；……11分，在上的最小值為，為所求，所以，為了在最短時間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取32……12分略22.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，側(cè)面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F(xiàn)為SD的中點．（1）求三棱錐S﹣FAC的體積；（2）求直線BD與平面FAC所成角的正弦值．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面所成的角．【分析】（1）由題意，三棱錐S﹣FAC的體積=三棱錐S﹣DAC的體積的一半，取AB的中點O，連接SA，利用體積公式求三棱錐S﹣FAC的體積；（2）求出D到平面AFC的距離，即可求直線BD與平面FAC所成角的正弦值．【解答】解：（1）由題意，三棱錐S﹣FAC的體積=三棱錐S﹣DAC的體積的一半．取AB的中點O，連接SO，則SO⊥底面ABCD，SO=，∵S△DAC==，∴三棱錐S﹣FAC的