幾何與代數(shù)：4-4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)

§4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組二、非齊次線性方程組1一、齊次線性方程組即

AX=0平凡解：X=0(零解)設(shè)

A=(1,2,…,n),則下列命題等價：1o

1,2,…,n線性相關(guān);2o

AX=0有非零解;3o（無關(guān)）（

AX=0僅有零解）2解的性質(zhì)：AX=0的解向量的線性組合仍為AX=0的解.證

設(shè)1,2,…,s

為AX=0的解向量，則A(k11+k22+…+kss

)=A(k11)+A(k22)+…+A(kss

)=k1A1+k2

A2+…+ksAs

=k1

0+k20+…+ks0=0.

所以，k11+k22+…+kss

仍為AX=0的解.3對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，所以，一個齊次方程組的全體解向量所組成的集合：W={XRn

|AX=0}因此為Rn的子空間定義W稱為

AX=0的解空間W的一組基稱為

AX=0的基礎(chǔ)解系1,2,…,s是AX=0的基礎(chǔ)解系的充要條件是3o

AX=0的任一解向量均可由1,2,…,s線性表出1o

1,2,…,s是AX=0的一組解;2o

1,2,…,s線性無關(guān);4即齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的通解5例

求齊次線性方程組解由此即得的基礎(chǔ)解系與通解.6是齊次方程組的解且線性無關(guān)7任意解是基礎(chǔ)解系8線性方程組基礎(chǔ)解系的求法設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，于是A可化為并不妨設(shè)A的前r個列向量線性無關(guān)．R(A)=r

，910現(xiàn)對

取下列

組數(shù)：11得12從而求得原方程組的個解：則是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．13１．解空間的基礎(chǔ)解系不是唯一的.

2．若是的基礎(chǔ)解系，則其通解為

所以：方程組的基礎(chǔ)解系含有n-r個向量．3.當(dāng)R(A)=r=n時，所以：解空間為n-r維的向量空間．方程組只有零解，此時解空間只含一個零向量，為0維向量空間故沒有基礎(chǔ)解系n是未知量的個數(shù)，注14解線性方程組解例15基礎(chǔ)解系含有3個解，16為基礎(chǔ)解系故原方程組的通解為得17解解練一練18得同解方程組(x3為自由未知量)基礎(chǔ)解系為方程組通解為19例

設(shè)分析求一個4×2的矩陣B,使AB=0,且R(B)=2.問題轉(zhuǎn)為求齊次方程的2個線性無關(guān)的解20解解齊次方程21令即為2個線性無關(guān)的解，為基礎(chǔ)解系即滿足要求22

證明與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系．分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示．(1)該向量組的向量都是方程組的解；(2)該向量組線性無關(guān)；

要證明某一向量組是方程組

的基礎(chǔ)解系，需要證明三個結(jié)論:證例2324證明：練一練25矩陣形式二、非齊次線性方程組26向量形式27何時無解?何時有唯一解?何時有無窮多解?

定理

問題28線性方程組有解非齊次線性方程組有解的等價命題29解的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)1,2為AX=b

的解,證

A(1-2)所以，

1-2為AX=0的解.則1-2為其導(dǎo)出組的解.=A1-A2=b–b=0定義

稱AX=0為AX=b

的導(dǎo)出組。30

性質(zhì)2

設(shè)

為AX=b

的解,

為AX=0的解，證A(

+)所以，

+為AX=b的解.則+為AX=b的解.=A

+A=b+0=b非齊次方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算不是封閉的，因此不是一個向量空間注31AX=b

的任一解稱為AX=b

的特解性質(zhì)3

設(shè)0為AX=b

的一個特解,證明

=0+(-0)為AX=0的解，設(shè)為則AX=b

的任一解

可表為定義

=0+,(為AX=0的一個解)32(b)為導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系非齊次方程組的通解則非齊次方程組AX=b的任意解X有(a)設(shè)為非齊次方程組AX=b的任意一個特解所以非齊次方程組的解的結(jié)構(gòu)為：導(dǎo)出組的通解+非齊次方程組的一個特解33（3）則非齊次線性方程組AX=b的通解為：34求解方程組解例353637解求下述方程組的解練一練38并有39求特解40求基礎(chǔ)解系令得41所以方程組的通解為42例

設(shè)有線性方程組解43其通解為44這時又分兩種情形：4546練一練47非齊次方程的特解導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系48特解基礎(chǔ)解系49例系數(shù)矩陣A的秩等于

的秩，證明上述方程組有解.

證50的行向量組是B的行向量組的部分組，所以的行向量組可由B的行向量組線性表出,的行向量組的秩

≤B的行向量組的秩又故所以方程組有解。已知511.證練一練52已知四元齊次方程組另一四元齊次方程組的通解為2.

，解53543.

解方法155同理56方法2（更簡單）：為AX=0的解且線性無關(guān)，為AX