矩陣論試卷及答案A

南京航空航天大學(xué)2011級(jí)碩士研究生2011?2012學(xué)年第1學(xué)期《矩陣論》課程考試A卷考試日期：2012年1月9日，課程編號(hào)：A000003,命題教師：閱卷教師:學(xué)院 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 成績(jī)

工 l, , , 、r1|UAV||=[tr((UAV)hUAV)]2=[tr(VhAhUhUAV)]2F=[tr(VhAhAV)]2=[tr(V一1AhAV)]2=[tr(AhA)]2=||A||.5’(ii)因?yàn)閞ank(A)=r,則由奇異值分解定理知，存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣v，使得UHAV=工2二ii=1酉矩陣v，使得UHAV=工2二ii=1=||A||2=￡XIa|2ijiTj=15’

'2-10、四（20分）（1）設(shè)A=-13-3,判斷A是否是正定或半正定矩陣，并（0-32）說(shuō)明理由；（2）設(shè)A是n階Hermite正定矩陣，B是n階Hermite矩陣，證明：AB相似于實(shí)對(duì)角矩陣；（3）設(shè)A，B均為n階Hermite矩陣，并且AB=BA，九是AB的特征值，證明：存在A的特征值a和B的特征值p，使得X=aP。（1）因?yàn)锳的順序主子式\=2>0,A2=5>0,A3=-8<0，所以A不是正定的。4’一，， ，一， ,、3-3 一一，一一，一因?yàn)锳有一個(gè)主子式A3=-8<0或-32=-3<0，所以A也不是半正定的。4’（2）因?yàn)锳是n階Hermite正定矩陣，則存在可逆Hermite矩陣S，使得A=S2，TOC\o"1-5"\h\z從而AB相似于 S-1ABS=SBS=ShBS 。3,又因?yàn)锽是Hermite矩陣，則SHBS是Hermite矩陣。由Hermite矩陣的譜分解ShBS相似于實(shí)對(duì)角矩陣，再由相似的傳遞性知，AB相似于實(shí)對(duì)角矩陣。 3’(3)因?yàn)锳,B均為n階Hermite矩陣，并且AB二BA,則存在n階酉矩陣u,使得\o"CurrentDocument"UhAU-diag(a,L,a),UhBU-diag(B,L,P) 。3’從而UhABU-diag(aR,L,aP),即ab相似于對(duì)角矩陣diag(aR,L,ap)。因此，如果九是AB的特征值，則存在A的特征值a和B的特征值P，使得九-ap。3’

五(20分)設(shè)R[x]表示實(shí)數(shù)域R上次數(shù)小于3的多項(xiàng)式再添上零多項(xiàng)式構(gòu)成3的線性空間。(1)確定(1)確定R[x]的維數(shù)，并寫(xiě)出R[x]的一組基;(2)對(duì)f(x)=a°+aix+a『2gR[x]3，在r[x]3上定義線性變換T如下:(2)T(f(x))=(a-a)+(a-a)x+(a-a)x2，(1)中所取基下的矩陣表示;(3)求(2)中線性變換T的值域(3)求(2)中線性變換T的值域R(T)和核Ker(T)，并確定它們的維數(shù)