空間解析幾何與向量代數(shù)-76直線

一、空間曲線的一般方程曲線C的一般方程：曲線的一般方程不唯一二、空間曲線的參數(shù)方程

指參數(shù)方程化為一般方程：消去參數(shù)t，寫成x,y,z的兩方程聯(lián)立的方程組。三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為

(5)

1.投影柱面：柱面稱為過曲線C的投影柱面。2.投影曲線：投影柱面與坐標(biāo)面xoy

的交線稱為C在xoy面上的投影曲線。3.投影曲線方程：同理,C在yOz面或xOz面上的投影曲線方程:或

四、平面的點(diǎn)法式方程五、平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0.1、一般方程：2、特殊平面：(1)當(dāng)D=0時,(2)當(dāng)A=0時，(3)當(dāng)A=D=0時，(4)當(dāng)A=B=0時，(5)當(dāng)A=B=D=0時，平面過原點(diǎn)平面平行于x軸平面過x軸平面平行于xoy面平面為xoy面，z=0六、兩平面的夾角1、夾角：兩平面的法線向量的夾角(指銳角)稱為兩平面的夾角.2、計算公式：3、結(jié)論：四、距離第六節(jié)空間直線及其方程

一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角

五、雜例一、空間直線的一般方程

空間直線L可以看作是兩個平面II1和II2的交線(圖7－55).

如果兩個相交的平面II1

和II2

的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0，那么直線L上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個平面的方程，即應(yīng)滿足方程組(1)

二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程1.方向向量:設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)時直線l上的任一點(diǎn)，那么向量

所以兩向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例，(2)

2.對稱式方程:方程(2)叫做直線的對稱式方程或點(diǎn)向式方程.注意:2.對稱式方程:直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù)，向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦.2.對稱式方程:3.參數(shù)方程:(3)例2

用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線得即(1,-1,0)是直線上一點(diǎn).

解先找出這直線上一點(diǎn)(x0,y0,z0).取，代入方程組，得z0=0

因此，所給直線的對稱式方程為

參數(shù)方程為:三、兩直線的夾角兩直線L1、L2互相垂直相當(dāng)于m1m2+n1n2+p1p2=0；

兩直線L1、L2互相平行或重合相當(dāng)于

1、夾角：兩直線的方向向量的夾角)稱為兩直線的夾角.2、計算公式：3、結(jié)論：例3

求直線L1：

和L2：

的夾角.

解

直線L1的方向向量為s1=(1,-4,1)；直線L2的方向向量為s2=(2,-2,-1).

設(shè)直線L1和L2的夾角為

，那么由公式(5)有

=

所以

四、直線與平面的夾角

2、計算公式：3、結(jié)論：

例4求通過點(diǎn)(2,-1,3)且與兩條直線和平行的平面方程。

解:由平面的點(diǎn)法式知所求平面為代入所求平面方程得即例4求過點(diǎn)(1,2,-3)且與平面2x-3y+5z-6=0垂直的直線方程.解:五、直線外一點(diǎn)到直線的距離

例5求點(diǎn)M(2,－1,3)與直線的距離。解求點(diǎn)作一平面垂直于已知直線（如圖所示）則此平面的方程為或把已給直線方程化為參數(shù)式代入平面的方程得解得代入直線的參數(shù)式得交點(diǎn)坐標(biāo)為于是M與已知直線的距離7.7.4兩條直線共面的條件設(shè)有兩條直線和其中點(diǎn)M1(x1,y1,z1)在L上，點(diǎn)M2(x2,y2,z2)在L2上。作向量（如圖所示）。兩條直線的方向向量分別為和

容易看出，這兩條直線共線共面就是三個向量、s1、s2共面，而三個向量共面的充分必有條件是它們的混合積等于零：即這就是兩條直線L1和L2共面的充分必有條件。7.7.5兩條直線間的距離例7求兩條直線和之間的距離解由式(8)可知兩條直線為異面。因點(diǎn)M