計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件

第3章地理學中的經典

統(tǒng)計分析方法第3章地理學中的經典

統(tǒng)計分析方法1本章主要內容相關分析回歸分析時間序列分析系統(tǒng)聚類分析主成分分析趨勢面分析方法馬爾可夫預測方法本章主要內容相關分析2第1節(jié)相關分析相關分析的任務，是揭示地理要素之間相互關系的密切程度。而地理要素之間相互關系密切程度的測定，主要是通過對相關系數(shù)的計算與檢驗來完成的。第1節(jié)相關分析相關分析的任務，是3本節(jié)主要內容：兩要素之間相關程度的測定多要素間相關程度的測定本節(jié)主要內容：兩要素之間相關程度的測定4一、兩要素之間相關程度的測定相關系數(shù)的計算與檢驗秩相關系數(shù)的計算與檢驗一、兩要素之間相關程度的測定相關系數(shù)的計算與檢驗5

相關系數(shù)的計算

①定義:

和為兩要素的平均值。（3.1.1）（一）相關系數(shù)的計算與檢驗

相關系數(shù)的計算（3.1.1）（一）相關系數(shù)的計算與檢驗6②說明：-1<=<=1，大于0時正相關，小于0時負相關。的絕對值越接近于1，兩要素的關系越密切；越接近于0，兩要素的關系越不密切。②說明：-1<=<=1，大于07

③簡化:

記

公式（3.1.1）可簡化為（3.1.2）③簡化:（3.1.2）8表3.1.1倫敦的月平均氣溫與降水量資料來源：.tw/V4/climate/wta_station/wta20.htm

相關分析實例表3.1.1倫敦的月平均氣溫與降水量資9(1)根據(jù)表3.1.1中的數(shù)據(jù)，我們可以利用公式（3.1.1），計算倫敦市月平均氣溫（t）與降水量(p)之間的相關系數(shù)(2)計算結果表明，倫敦市的月平均氣溫（t）與降水量(p)之間呈負相關，即異向相關。(1)根據(jù)表3.1.1中的數(shù)據(jù)，我們可以利用公式（310又如:根據(jù)甘肅省53個氣象臺站的多年平均數(shù)據(jù)（見教材表3.1.2），可以利用公式（3.1.1）對降水量（p）和緯度（y）之間的相關系數(shù)以及蒸發(fā)量（v）和緯度（y）之間的相關系數(shù)進行計算，結果如下

＝又如:根據(jù)甘肅省53個氣象臺站的多年平均數(shù)據(jù)（見教材11＝計算結果表明，降水量（p）和緯度（y）之間異向相關，而蒸發(fā)量（v）與緯度（y）之間同向相關。

＝計算結果表明，降水量（p）和緯度（y）之間異向相關12相關系數(shù)的檢驗

相關系數(shù)是根據(jù)要素之間的樣本值計算出來，它隨著樣本數(shù)的多少或取樣方式的不同而不同，因此它只是要素之間的樣本相關系數(shù)，只有通過檢驗，才能知道它的可信度。檢驗是通過在給定的置信水平下，查相關系數(shù)檢驗的臨界值表來實現(xiàn)的。相關系數(shù)的檢驗相關系數(shù)是根據(jù)要素之間的樣本值計算出13f

0.100.050.020.010.0011234567891011120.987690.900000.80540.72930.66940.62150.58220.54940.52140.49730.47620.45750.996920.950000.87830.81140.75450.70670.66640.63190.60210.57600.55290.5324

0.9995070.980000.934330.88220.83290.78870.74930.71550.68510.65810.63390.6120

0.9998770.990000.958730.917200.87450.83430.79770.76460.73480.70790.68350.66140.9999980.9990000.9911600.974060.950740.924930.89820.87210.84710.82330.80100.7800表3.1.3檢驗相關系數(shù)的臨界值（）表

f0.100.050.014在表3.1.3中，f稱為自由度，其數(shù)值為f=n-2，n為樣本數(shù)；上方的代表不同的置信水平；表內的數(shù)值代表不同的置信水平下相關系數(shù)的臨界值,即;公式的意思是當所計算的相關系數(shù)的絕對值大于在水平下的臨界值rα時，兩要素不相關（即）的可能性只有。

在表3.1.3中，f稱為自由度，其數(shù)值為15對倫敦市月平均氣溫（t）與降水量(p)之間的相關系數(shù)，f=12-2=10，在顯著性水平上，查表3.1.3，得知：。因為，所以，倫敦市月平均氣溫（t）與降水量(p)之間的相關性并不顯著。對倫敦市月平均氣溫（t）與降水量(p)之間的相關系數(shù)16對于甘肅省53個氣象臺站降水量（p）和緯度（y）之間的相關系數(shù)，以及蒸發(fā)量（v）和緯度（y）之間的相關系數(shù)，f=53-2=51，表中沒有給出相應樣本個數(shù)下的臨界值，但是我們發(fā)現(xiàn)，在同一顯著水平下，隨著樣本數(shù)的增大，臨界值

減少。在顯著性水平α=0.001上，取f=50，查表3.1.3得知：=0.4433。顯然,和

的絕對值都遠遠大于=0.4433，這說明甘肅省53個氣象臺站降水量（p）和緯度（y）之間，以及蒸發(fā)量（v）和緯度（y）之間都是高度相關的。對于甘肅省53個氣象臺站降水量（p）和緯度（17秩相關系數(shù)又稱等級相關系數(shù)，或順序相關系數(shù),是將兩要素的樣本值按數(shù)據(jù)的大小順序排列位次，以各要素樣本值的位次代替實際數(shù)據(jù)而求得的一種統(tǒng)計量。

（3.1.4）（二）秩相關系數(shù)的計算與檢驗秩相關系數(shù)（3.1.4）（二）秩相關系數(shù)的計算與檢驗18教材中表3.1.4給出了2003年中國大陸各?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）的GDP（x）和總人口（y）數(shù)據(jù)及其位次，將數(shù)據(jù)代入公式（3.1.4），就可以計算它們之間的秩相關系數(shù)即：GDP（x）與總人口（y

）之間的等級相關系數(shù)為0.7847。

示例：教材中表3.1.4給出了2003年中國大陸各?。ㄖ?9n顯著水平α

n顯著水平α

0.05

0.01

0.050.0141.000--

160.4250.60150.9001.000180.3990.56460.8290.943200.3770.53470.7140.893220.3590.50880.6430.833240.3430.48590.6000.783260.3290.465100.5640.746280.3170.448120.4560.712300.3060.432140.4560.645------注：n代表樣本個數(shù)，α代表不同的置信水平，也稱顯著水平，表中的數(shù)值為臨界值。

秩相關系數(shù)的檢驗

表3.1.5秩相關系數(shù)檢驗的臨界值顯著水平α顯著水平α20在上例中，n=31，表中沒有給出相應的樣本個數(shù)下的臨界值，但是同一顯著水平下，隨著樣本數(shù)的增大，臨界值減少。在n=30時，查表得:＝0.432，由于=0.7847>＝0.432，所以在α=0.01的置信水平上來看，中國大陸各?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）人口規(guī)模與GDP是等級相關的。在上例中，n=31，表中沒有給出相應的樣本個21二、多要素間相關程度的測定偏相關系數(shù)的計算與檢驗復相關系數(shù)的計算與檢驗二、多要素間相關程度的測定偏相關系數(shù)的計算與檢驗22（一）偏相關系數(shù)的計算與檢驗①定義：在多要素所構成的地理系統(tǒng)中，先不考慮其他要素的影響，而單獨研究兩個要素之間的相互關系的密切程度，這稱為偏相關。用以度量偏相關程度的統(tǒng)計量，稱為偏相關系數(shù)。偏相關系數(shù)的計算（一）偏相關系數(shù)的計算與檢驗偏相關系數(shù)的計算23②計算：3個要素的偏相關系數(shù)（3.1.5）

（3.1.6）

（3.1.7）

②計算：（3.1.5）（3.1.6）（3.1.7）244個要素的偏相關系數(shù)（3.1.8）

（3.1.9）

（3.1.10）

（3.1.11）

4個要素的偏相關系數(shù)（3.1.8）（3.1.9）（3.125例如：對于某4個地理要素x1，x2，x3，x4的23個樣本數(shù)據(jù)，經過計算得到了如下的單相關系數(shù)矩陣：

例如：對于某4個地理要素x1，x2，x3，x4的23個樣本數(shù)26利用公式計算一級偏向關系數(shù)，如表3.1.6所示：r12·34r13·24r14·23r23·14r24·13r34·12-0.1700.8020.635-0.1870.821-0.337r12·3r13·2r14·2r14·3r23·1r24·1r24·3r24·1r34·20.8210.8080.6470.895-0.8630.9560.945-0.8750.371利用公式計算二級偏相關系數(shù)，如表3.1.7所示：4個要素的一級偏相關系數(shù)有12個，這里給出了9個；二級偏相關系數(shù)有6個，這里全部給出來了。表3.1.6一級偏相關系數(shù)

表3.1.7二級偏相關系數(shù)

利用公式計算一級偏向關系數(shù)，如表3.1.6所示27偏相關系數(shù)的性質

①偏相關系數(shù)分布的范圍在-1到1之間；②偏相關系數(shù)的絕對值越大，表示其偏相關程度越大；③偏相關系數(shù)的絕對值必小于或最多等于由同一系列資料所求得的復相關系數(shù)，即R1·23≥|r12·3|。偏相關系數(shù)的性質

①偏相關系數(shù)28偏相關系數(shù)的顯著性檢驗

偏相關系數(shù)的顯著性檢驗，一般采用t檢驗法。其統(tǒng)計量計算公式為式中：為偏相關系數(shù);n為樣本數(shù)；m為自變量個數(shù)。

（3.1.14）

偏相關系數(shù)的顯著性檢驗偏相關系數(shù)的顯著性檢驗29

查t分布表，在自由度為23-3-1=19時，t0.001=3.883，顯然，這表明在置信度水平=0.001上，偏相關系數(shù)r24·13是顯著的。譬如，對于上例計算得到的偏相關系數(shù)

，由于n=23，m=3，故查t分布表，在自由度為23-3-1=19時，t030（二）復相關系數(shù)的計算與檢驗復相關系數(shù)：反映幾個要素與某一個要素之間的復相關程度。復相關系數(shù)的計算當有兩個自變量時當有三個自變量時（3.1.15）

（3.1.16）（二）復相關系數(shù)的計算與檢驗復相關系數(shù)：反映幾個31當有k個自變量時（3.1.17）復相關系數(shù)的性質

①復相關系數(shù)介于0到1之間，即當有k個自變量時（3.1.17）復相關系數(shù)的性質32

②復相關系數(shù)越大，則表明要素（變量）之間的相關程度越密切。復相關系數(shù)為1，表示完全相關；復相關系數(shù)為0，表示完全無關。

③復相關系數(shù)必大于或至少等于單相關系數(shù)的絕對值。復相關系數(shù)的顯著性檢驗F檢驗法。其統(tǒng)計量計算公式為（3.1.18）（3.1.18）33例題：在上例中，若以x4為因變量，x1，x2，x3為自變量，試計算x4與x1，x2，x3之間的復相關系數(shù)。解：按照公式（3.1.16）計算檢驗：，故復相關達到了極顯著水平。例題：在上例中，若以x4為因變量，x1，x2，x3為自變量，34第2節(jié)回歸分析一元線性回歸模型多元線性回歸模型非線性回歸模型第2節(jié)回歸分析一元線性回歸模型35一、一元線性回歸模型定義：假設有兩個地理要素（變量）x和y，x為自變量，y為因變量。則一元線性回歸模型的基本結構形式為式中：a和b為待定參數(shù)；為各組觀測數(shù)據(jù)的下標；為隨機變量。（3.2.1）

一、一元線性回歸模型定義：假設有兩個地理要素（變36記和分別為參數(shù)a與b的擬合值，則一元線性回歸模型為

（3.2.2）式代表x與y之間相關關系的擬合直線，稱為回歸直線；是y的估計值，亦稱回歸值。（3.2.2）

記和分別為參數(shù)a與b的擬合值，則一元線性37①參數(shù)a與b的最小二乘擬合原則要求yi與的誤差ei的平方和達到最小，即②根據(jù)取極值的必要條件，有

（3.2.4）

（一）參數(shù)a、b的最小二乘估計

（3.2.3）

①參數(shù)a與b的最小二乘擬合38（3.2.5）

（3.2.6）

③解上述正規(guī)方程組（3.2.4）式，得到參數(shù)a與b的擬合值（3.2.5）（3.2.6）③解上述正39（二）一元線性回歸模型的顯著性檢驗

①方法：F檢驗法。

②總的離差平方和：在回歸分析中，表示y的n次觀測值之間的差異，記為

可以證明（3.2.9）（3.2.8）（二）一元線性回歸模型的顯著性檢驗（3.2.9）40在式（3.2.9）中，Q稱為誤差平方和，或剩余平方和而

稱為回歸平方和。在式（3.2.9）中，Q稱為誤差平方和，或剩余平方和41

③統(tǒng)計量F

④

F越大，模型的效果越佳。統(tǒng)計量F～F（1，n-2）。在顯著水平α下，若F>Fα，則認為回歸方程效果在此水平下顯著。一般地，當F<F0.10(1,n-2)時，則認為方程效果不明顯。（3.2.10）③統(tǒng)計量F（3.2.10）42二、多元線性回歸模型回歸模型的建立

①多元線性回歸模型的結構形式為

（3.2.11）式中：為待定參數(shù)；為隨機變量。二、多元線性回歸模型回歸模型的建立（3.2.11）式43②回歸方程:如果分別為式（3.2.11）中的擬和值，則回歸方程為

在（3.2.12）式中，b0為常數(shù)，b1,b2,…bk稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)的意義是，當其他自變量都固定時，自變量每變化一個單位而使因變量平均改變的數(shù)值。（3.2.12）

②回歸方程:（3.2.12）44③偏回歸系數(shù)的推導過程:根據(jù)最小二乘法原理，的估計值應該使

由求極值的必要條件得

方程組（3.2.14）式經展開整理后得

（3.2.13）

（3.2.14）

③偏回歸系數(shù)的推導過程:根據(jù)最小二乘法原理，45方程組（3.2.15）式稱為正規(guī)方程組。

引入矩陣（3.2.15)

方程組（3.2.15）式稱為正規(guī)方程組。（3.2.146計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件47計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件48則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進一步寫成矩陣形式則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進一步寫成49求解得引入記號（3.2.16）

求解得（3.2.16）50正規(guī)方程組也可以寫成正規(guī)方程組也可以寫成51回歸模型的顯著性檢驗

①回歸平方和U與剩余平方和Q：②回歸平方和③剩余平方和為④

F統(tǒng)計量為計算出來F之后，可以查F分布表對模型進行顯著性檢驗?；貧w模型的顯著性檢驗①回歸平方和U與剩余平方和Q：52非線性關系線性化的幾種情況對于指數(shù)曲線，令,可以將其轉化為直線形式：，其中，；

對于對數(shù)曲線，令，，可以將其轉化為直線形式：；對于冪函數(shù)曲線，令，，可以將其轉化為直線形式：其中，；三、非線性回歸模型

非線性關系線性化的幾種情況三、非線性回歸模型53對于雙曲線，令，轉化為直線形式：；對于S型曲線，可轉化為直線形式：；對于冪乘積，只要令，就可以將其轉化為線性形式其中，；對于雙曲線，令54對于對數(shù)函數(shù)和只要令，就可以將其化為線性形式

例:表3.2.1給出了某地區(qū)林地景觀斑塊面積（area）與周長（perimeter）的數(shù)據(jù)。下面我們建立林地景觀斑塊面積A與周長P之間的非線性回歸模型。對于對數(shù)函數(shù)和55

序號面積A周長P序號面積A周長P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541600.391230.030146003.719459.467553867.586419.406表3.2.1某地區(qū)各個林地景觀斑塊面積（m2）與周長（m）

序號面積A周長P序號面積A周長P110447.370625615527620.2006545.291561946.184198.66116179686.2002960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.0705919271.8201011.1271971195.9401154.118608263.480680.710203064.242245.0496114697.1301234.11421469416.7008226.009624519.867326.317225738.953498.6566313157.6601172.916238359.465415.151646617.270609.801246205.016414.790654064.137437.3552560619.0201549.871665645.820432.3552614517.740791.943676993.355503.7842731020.1001700.965684304.281267.9512826447.1601246.977696336.383347.136297985.926918.312702651.414292.23515527620.2006545.291561946.57303638.766399.725712656.824298.47331585425.10011474.770721846.988179.8663235220.6401877.476731616.684172.8083310067.820497.394741730.563172.1433427422.5701934.5967511303.970881.0423543071.5501171.4137614019.790638.1763657585.9402275.389779277.172862.0883728254.1301322.7957813684.750712.78738497261.0009581.298791949.164228.4033924255.030994.906804846.016324.481401837.699229.40181521457.4007393.938411608.625225.84282564370.80012212.410303638.766399.725712656.824258解:（1）作變量替換，令：，，將表3.2.1中的原始數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，變換后得到的各新變量對應的觀測數(shù)據(jù)如表3.2.2所示。

序號y=lnAx=LnP序號y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438.3076225.667487310.340996.6537824410.336376.79791849.1530196.273258457.5084335.3236559.2927427.5528164610.176196.87529469.9773387.168551479.5159096.95184178.838076.0332264811.091187.71887988.2147895.4967894911.965727.78636497.72325.284414507.6432085.585528105.8121354.602457518.0420795.567651119.371536.326008527.6200275.769558表3.2.2經對數(shù)變換后的數(shù)據(jù)解:（1）作變量替換，令：，，59127.7715335.296653538.1409385.534711139.0348716.385013547.3780035.438211148.7001346.130066558.2603866.0388391513.176138.786501567.5736265.2915971612.098977.993105574.3477554.041328179.5607486.393579588.9844086.5733341810.034927.005852599.8663996.9188211911.173197.051092609.0196016.523136208.0275565.501457619.5954087.1181092113.059259.015056628.4162385.787871228.6550326.211917639.4847597.067248239.031156.028643648.7974386.413133248.7331136.027773658.3099576.0807442511.012367.345927668.6386716.069247269.5831276.67449678.8527166.222147127.7715335.296653538342397.438951688.3673655.5908062810.18297.128478698.7540635.849717298.9854366.822537707.8828485.67756308.19945.990776717.8848875.6986783113.280099.347906727.5213115.1922133210.469397.537684737.3881325.152181339.2170996.209381747.4562025.1483263410.219127.567654759.3329096.7811053510.670627.065966769.5482256.4586143610.961037.729906779.1353126.7593583710.248997.187502789.5240376.5691823813.116879.167568797.5751565.4311123910.096386.902648808.4859125.782227407.516275.4354718113.164388.908416417.3831355.4198378213.243479.4102082710.342397.438951688.3673661

（2）

以x為橫坐標、y為縱坐標，在平面直角坐標系中作出散點圖。很明顯，y與x呈線性關系。圖3.2.2林地景觀斑塊面積（A）與周長（P）之間的雙對數(shù)關系（2）以x為橫坐標、y為縱坐標，在平面直角坐標系62（3）根據(jù)所得表中的數(shù)據(jù)，運用建立線性回歸模型的方法，建立y與x之間的線性回歸模型，得到

對應于（3.2.19）式，x與y的相關系數(shù)高達=0.9665。

（4）將（3.2.19）還原成雙對數(shù)曲線，即

（3.2.19）（3.2.20）（3）根據(jù)所得表中的數(shù)據(jù)，運用建立線性回歸模型的方63第3節(jié)時間序列分析時間序列分析的基本原理趨勢擬合方法季節(jié)變動預測第3節(jié)時間序列分析時間序列分析的基本原理64一、時間序列分析的基本原理

（一）時間序列的組合成份

長期趨勢（T）是指時間序列隨時間的變化而逐漸增加或減少的長期變化的趨勢。季節(jié)變動（S）是指時間序列在一年中或固定時間內，呈現(xiàn)出的固定規(guī)則的變動。循環(huán)變動（C）是指沿著趨勢線如鐘擺般地循環(huán)變動，又稱景氣循環(huán)變動(businesscyclemovement)。不規(guī)則變動（I）是指在時間序列中由于隨機因素影響所引起的變動。

一、時間序列分析的基本原理（一）時間序列的組合成份65（二）時間序列的組合模型

加法模型假定時間序列是基于4種成份相加而成的。長期趨勢并不影響季節(jié)變動。若以Y表示時間序列，則加法模型為Y=T+S+C+I乘法模型假定時間序列是基于4種成份相乘而成的。假定季節(jié)變動與循環(huán)變動為長期趨勢的函數(shù)。該模型的方程式為（3.3.1）

（3.3.2）

（二）時間序列的組合模型（3.3.1）（3.3.2）66二、趨勢擬合方法時間序列分析的平滑法主要有三類：移動平均法設某一時間序列為y1，y2，…，yt，則t+1時刻的預測值為式中:為t點的移動平均值;n稱為移動時距。（一）平滑法（3.3.3）

二、趨勢擬合方法時間序列分析的平滑法主67

滑動平均法其計算公式為

式中:為t點的滑動平均值;l為單側平滑時距。若l=1，則（3.3.4）式稱為三點滑動平均，其計算公式為

若l=2，則（3.3.4）式稱為五點滑動平均，其計算公式為（3.3.4）

（3.3.5）

（3.3.6）

滑動平均法（3.3.4）（3.3.5）（3.368指數(shù)平滑法

①

一次指數(shù)平滑

α為平滑系數(shù)。一般時間序列較平穩(wěn)，α取值可小一些，一般取α∈（0.05,0.3）；若時間序列數(shù)據(jù)起伏波動比較大，則α應取較大的值，一般取α∈（0.7,0.95）。（3.3.7）

指數(shù)平滑法（3.3.7）69

②

高次指數(shù)平滑法二次指數(shù)平滑法的預測公式為

三次指數(shù)平滑法的預測公式為

（3.3.8）

（3.3.9）

②高次指數(shù)平滑法（3.3.8）（3.3.9）70三種最常用的趨勢線直線型趨勢線指數(shù)型趨勢線

拋物線型趨勢線

（二）趨勢線法三種最常用的趨勢線（二）趨勢線法71自相關性判斷

①時間序列的自相關，是指序列前后期數(shù)值之間的相關關系，對這種相關關系程度的測定便是自相關系數(shù)。

②測度:設y1，y2，…，yt，…，yn，共有n個觀察值。把前后相鄰兩期的觀察值一一成對，便有（n－1）對數(shù)據(jù)，即(y1，y2)，(y2，y3)，…，(yt，yt+1)，…，(yn-1，yn)。（三）自回歸模型自相關性判斷（三）自回歸模型72其一階自相關系數(shù)r1為二階自相關系數(shù)r2為其一階自相關系數(shù)r1為二階自相關系數(shù)r2為73k階自相關系數(shù)為

k階自相關系數(shù)為74自回歸模型的建立

常見的線性自回歸模型：①一階線性自回歸預測模型為②二階線性自回歸預測模型為③一般地，p階線性自回歸模型為在以上各式中，為待估計的參數(shù)值，它們可以通過最小二乘法估計獲得。自回歸模型的建立75基本步驟（1）對原時間序列求移動平均，以消除季節(jié)變動和不規(guī)則變動，保留長期趨勢；(2）將原序列y除以其對應的趨勢方程值（或平滑值），分離出季節(jié)變動（含不規(guī)則變動），即

三、季節(jié)性預測法季節(jié)系數(shù)=TSCI/趨勢方程值（TC或平滑值）=SI基本步驟三、季節(jié)性預測法季節(jié)系數(shù)=TSCI/趨勢方程值（T76

（3）將月度（或季度）的季節(jié)指標加總，以由計算誤差導致的值去除理論加總值，得到一個校正系數(shù)，并以該校正系數(shù)乘以季節(jié)性指標從而獲得調整后季節(jié)性指標。（4）求預測模型，若求下一年度的預測值，延長趨勢線即可；若求各月（季）的預測值，需以趨勢值乘以各月份（季度）的季節(jié)性指標。求季節(jié)變動預測的數(shù)學模型（以直線為例）為

式中：是t+k時的預測值;at、bt為方程系數(shù);為季節(jié)性指標。（3）將月度（或季度）的季節(jié)指標加總，以由計算誤77

例題：如表3.3.3所示，下面我們用上述步驟，預測該旅游景點2005年各季度的客流量。

表3.3.3某旅游景點2002—2004年各季度客流量例題：如表3.3.3所示，下面我們用上述步驟，預測該旅游78解題步驟：（1）求時間序列的三次滑動平均值，見表3.3.3第5列。（2）求季節(jié)性指標：將表3.3.3中第4列數(shù)據(jù)分別除以第5列各對應元素，得相應的季節(jié)系數(shù)。然后再把各季度的季節(jié)系數(shù)平均得到季節(jié)性指標，見表3.3.4。季節(jié)性指標之和理論上應等于4?，F(xiàn)等于3.9515，需要進行校正。校正方法是：先求校正系數(shù)：θ=4/3.9515=1.0123。然后將表中的第5行，分別乘以θ，即得校正后的季節(jié)性指標（見表3.3.4第6行）。解題步驟：79表3.3.4季節(jié)性指標及其校正值

表3.3.4季節(jié)性指標及其校正值80（3）用二次指數(shù)平滑法，求預測模型系數(shù)：取平滑指數(shù)，分別計算一次指數(shù)平滑值和二次指數(shù)平滑值，然后再分別計算趨勢預測模型的系數(shù)和，結果如表3.3.5所示。由表3.3.5可知，預測模型為式中：為校正后的季節(jié)性指標。

（3）用二次指數(shù)平滑法，求預測模型系數(shù)：取平滑指數(shù)81表3.3.5預測模型系數(shù)

表3.3.5預測模型系數(shù)82（4）求預測值。以2004年第4季度為基期，套用步驟（3）中所得預測模型，計算預測2005年各季度的客流量第1季度：=301.7746（104人次）第2季度：=400.27（104人次）第3季度：=371.07（104人次）第4季度：=283.17（104人次）由此可以計算出2005年全年度的客流量預測值為301.7746+400.27+371.07+283.17=1356.28（104人次）（4）求預測值。以2004年第4季度為基期，套用83第4節(jié)系統(tǒng)聚類分析聚類要素的數(shù)據(jù)處理距離的計算直接聚類法最短距離聚類法最遠距離聚類法系統(tǒng)聚類法計算類之間距離的統(tǒng)一公式系統(tǒng)聚類分析實例第4節(jié)系統(tǒng)聚類分析84一、聚類要素的數(shù)據(jù)處理

在聚類分析中，聚類要素的選擇是十分重要的，它直接影響分類結果的準確性和可靠性。在地理分類和分區(qū)研究中，被聚類的對象常常是多個要素構成的。不同要素的數(shù)據(jù)往往具有不同的單位和量綱，其數(shù)值的變異可能是很大的，這就會對分類結果產生影響。因此當分類要素的對象確定之后，在進行聚類分析之前，首先要對聚類要素進行數(shù)據(jù)處理。

一、聚類要素的數(shù)據(jù)處理在聚類分析中，聚類85假設有m個聚類的對象，每一個聚類對象都有n個要素構成。它們所對應的要素數(shù)據(jù)可用表3.4.1給出。

表3.4.1聚類對象與要素數(shù)據(jù)

假設有m個聚類的對象，每一個聚類對象都有n個要86在聚類分析中，常用的聚類要素的數(shù)據(jù)處理方法有如下幾種:

①

總和標準化。分別求出各聚類要素所對應的數(shù)據(jù)的總和，以各要素的數(shù)據(jù)除以該要素的數(shù)據(jù)的總和，即這種標準化方法所得到的新數(shù)據(jù)滿足（3.4.1）在聚類分析中，常用的聚類要素的數(shù)據(jù)處理方法有如下幾種87②

標準差標準化，即由這種標準化方法所得到的新數(shù)據(jù)，各要素的平均值為0，標準差為1，即有（3.4.2）

②標準差標準化，即（3.4.88

③極大值標準化，即經過這種標準化所得的新數(shù)據(jù)，各要素的極大值為1，其余各數(shù)值小于1。

④極差的標準化，即

經過這種標準化所得的新數(shù)據(jù)，各要素的極大值為1，極小值為0，其余的數(shù)值均在0與1之間。

（3.4.3）（3.4.4）③極大值標準化，即（3.4.89例題:表3.4.2給出了某地區(qū)9個農業(yè)區(qū)的7項指標，它們經過極差標準化處理后，如表3.4.3所示。表3.4.2某地區(qū)9個農業(yè)區(qū)的7項經濟指標數(shù)據(jù)

區(qū)代號人均耕地X1/（hm2·人-1）勞均耕地X2/（hm2·個-1）水田比重X3/%復種指數(shù)x4/%糧食單產x5/（kg·hm-2）人均糧食x6/（kg·人-1

）稻谷占糧食比重x7/%G10.2941.0935.63113.64510.51036.412.2G20.3150.9710.3995.12773.5683.70.85G30.1230.3165.28148.56934.5611.16.49G40.1790.5270.391114458632.60.92G50.0810.21272.04217.812249791.180.38G60.0820.21143.78179.68973636.548.17G70.0750.18165.15194.710689634.380.17G80.2930.6665.3594.93679.5771.77.8G90.1670.4142.994.84231.5574.61.17例題:表3.4.2給出了某地區(qū)9個農業(yè)區(qū)的7項指標，它們經過90表3.4.3極差標準化處理后的數(shù)據(jù)x1x2x3x4X5X6X7G10.911.000.070.150.181.000.14G21.000.870.000.000.000.240.00G30.200.150.070.440.440.080.07G40.440.380.000.130.180.130.00G50.030.031.001.001.000.451.00G60.030.030.610.690.650.130.59G70.000.000.900.810.840.131.00G80.910.530.070.000.100.430.09G90.380.260.040.000.150.000.00表3.4.3極差標準化處理后的數(shù)據(jù)x1x2x3x4X5X91二、距離的計算

常見的距離有

①絕對值距離

②歐氏距離

③明科夫斯基距離（3.4.5）

（3.4.6）

（3.4.7）

二、距離的計算常見的距離有（3.4.5）（3.4.92

④切比雪夫距離。當明科夫斯基距時，有據(jù)表3.4.3中的數(shù)據(jù)，用公式（3.4.5）式計算可得9個農業(yè)區(qū)之間的絕對值距離矩陣如下（3.4.8）

（3.4.9）

④切比雪夫距離。當明科夫斯基距93三、直接聚類法

原理先把各個分類對象單獨視為一類，然后根據(jù)距離最小的原則，依次選出一對分類對象，并成新類。如果其中一個分類對象已歸于一類，則把另一個也歸入該類；如果一對分類對象正好屬于已歸的兩類，則把這兩類并為一類。每一次歸并，都劃去該對象所在的列與列序相同的行。經過m-1次就可以把全部分類對象歸為一類，這樣就可以根據(jù)歸并的先后順序作出聚類譜系圖。三、直接聚類法原理94例題：根據(jù)距離矩陣式（3.4.9），用直接聚類法對某地區(qū)的9個農業(yè)區(qū)進行聚類分析,步驟如下:(1)在距離矩陣D中，除去對角線元素以外，d49=d94=0.51為最小者，故將第4區(qū)與第9區(qū)并為一類，劃去第9行和第9列；(2)在余下的元素中，除對角線元素以外，d75=d57=0.83為最小者，故將第5區(qū)與第7區(qū)并為一類，劃掉第7行和第7列；例題：根據(jù)距離矩陣式（3.4.9），用直接聚類法對某95(3)在第2步之后余下的元素之中，除對角線元素以外，d82=d28=0.88為最小者，故將第2區(qū)與第8區(qū)并為一類，劃去第8行和第8列；(4)在第3步之后余下的元素中，除對角線元素以外，d43=d34=1.23為最小者，故將第3區(qū)與第4區(qū)并為一類，劃去第4行和第4列，此時，第3、4、9區(qū)已歸并為一類；(3)在第2步之后余下的元素之中，除對96(5)在第4步之后余下的元素中，除對角線元素以外，d21=d12=1.52為最小者，故將第1區(qū)與第2區(qū)并為一類，劃去第2行和第2列，此時，第1、2、8區(qū)已歸并為一類；

(6)在第5步之后余下的元素中，除對角線元素以外，d65=d56=1.78為最小者，故將第5區(qū)與第6區(qū)并為一類，劃去第6行和第6列，此時，第5、6、7區(qū)已歸并為一類；計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件97(7)在第6步之后余下的元素中，除對角線元素以外，d31=d13=3.10為最小者，故將第1區(qū)與第3區(qū)并為一類，劃去第3行和第3列，此時，第1、2、3、4、8、9區(qū)已歸并為一類；

(8)在第7步之后余下的元素中，除去對角線元素以外，只有d51=d15=5.86，故將第1區(qū)與第5區(qū)并為一類，劃去第5行和第5列，此時，第1、2、3、4、5、6、7、8、9區(qū)均歸并為一類。

根據(jù)上述步驟，可以作出聚類過程的譜系圖3.4.1。(7)在第6步之后余下的元素中，除對98圖3.4.1直接聚類譜系圖

圖3.4.1直接聚類譜系圖99四、最短距離聚類法

原理最短距離聚類法，是在原來的m×m距離矩陣的非對角元素中找出，把分類對象Gp和Gq歸并為一新類Gr，然后按計算公式

計算原來各類與新類之間的距離，這樣就得到一個新的（m－1）階的距離矩陣；再從新的距離矩陣中選出最小者dij，把Gi和Gj歸并成新類；再計算各類與新類的距離，這樣一直下去，直至各分類對象被歸為一類為止。（3.4.10）

四、最短距離聚類法原理（3.4.10）100

例題:以下根據(jù)式（3.4.9）中的距離矩陣，用最短距離聚類法對某地區(qū)的9個農業(yè)區(qū)進行聚類分析。計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件101(1)在9×9階距離矩陣D中，非對角元素中最小者是d94=0.51，首先將第4區(qū)與第9區(qū)并為一類，記為G10=｛G4，G9｝。按照公式（3.4.10）式分別計算G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8與G10之間的距離得

d1，10=min｛d14，d19｝=min｛2.19，2.62｝=2.19d2，10=min｛d24，d29｝=min｛1.47，1.66｝=1.47d3，10=min｛d34，d39｝=min｛1.23，1.20｝=1.20(1)在9×9階距離矩陣D中，非對102d5，10=min｛d54，d59｝=min｛4.77，4.84｝=4.77d6，10=min｛d64，d69｝=min｛2.99，3.06｝=2.99d7，10=min｛d74，d79｝=min｛4.06，3.32｝=3.32d8，10=min｛d84，d89｝=min｛1.29，1.40｝=1.29(2)這樣就得到G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8，G10上的一個新的8×8階距離矩陣

d5，10=min｛d54，d59｝=min｛4.77，4103計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件104(3)在上一步驟中所得到的8×8階距離矩陣中，非對角元素中最小者為d57=0.83，故將G5與G7歸并為一類，記為G11，即G11=｛G5，G7｝。

按照公式（3.4.10）式分別計算G1，G2，G3，G6，G8，G10與G11之間的距離，可得到一個新的7×7階距離矩陣(3)在上一步驟中所得到的8×8階距105(4)在第2步所得到的7×7階距離矩陣中，非對角元素中最小者為d28=0.88，故將G2與G8歸并為一類，記為G12，即G12=｛G2，G8｝。再按照公式（3.4.10）分別計算G1，G3，G6，G10，G11與G12之間的距離，可得到一個新的6×6階距離矩陣(4)在第2步所得到的7×7階距離矩106(5)在第3步所得的6×6階距離矩陣中，非對角元素中最小者為d6，11=1.07，故將G6與G11歸并為一類，記為G13，即G13=｛G6，G11｝=｛G6，（G5，G7）｝。再按照公式（3.4.10）計算G1，G3，G10，G12與G13之間的距離，可得到一個新的5×5階距離矩陣

(5)在第3步所得的6×6階距離矩陣中107

(6)在第4步所得的5×5階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d3，10=1.20，故將G3與G10歸并為一類，記為G14，即G14=｛G3，G10｝=｛G3，（G4，G9）｝。再按照公式（3.4.10）計算G1，G12，G13與G14之間的距離，可得一個新的4×4階距離矩陣

(6)在第4步所得的5×5階距離矩陣中，非對角線元108(7)在第5步所得到的4×4階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d12，14=1.29，故將G12與G14歸并為一類，記為G15，即G15=｛G12，G14｝=｛（G2，G8），（G3，（G4，G9））｝。再按照公式（3.4.10）計算G1，G13與G15之間的距離，可得一個新的3×3階距離矩陣

(7)在第5步所得到的4×4階距離矩陣中，非對角109(8)在第6步所得的3×3階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d1，15=1.32，故將G1與G15歸并為一類，記為G16，即G16=｛G1，G15｝=｛（G1，（G2，G8），（G3，（G4，G9））｝。再按照公式（3.4.10）計算G13與G16之間的距離，可得一個新的2×2階距離矩陣(8)在第6步所得的3×3階距離矩110(9)將G13與G16歸并為一類。此時，所有分類對象均被歸并為一類。綜合上述聚類過程，可以作出最短距離聚類譜系圖（圖3.4.2）。

(9)將G13與G16歸并為一類。111圖3.4.2最短距離聚類譜系圖圖3.4.2最短距離聚類譜系圖112五、最遠距離聚類法

最遠距離聚類法與最短距離聚類法的區(qū)別在于計算原來的類與新類距離時采用的公式不同。最遠距離聚類法的計算公式是（3.4.11）

五、最遠距離聚類法最遠距離聚類法與最短距113例題:對于前面的例子，最遠距離聚類法的聚類過程如下：(1)在9×9階距離矩陣中，非對角元素中最小者是d94=0.51，將第4區(qū)與第9區(qū)并為一類，記為G10，即G10=｛G4，G9｝。按照公式（3.4.11）分別計算G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8與G10之間的距離，得到一個新的8×8階距離矩陣例題:對于前面的例子，最遠距離聚類法的聚類過程如下：114計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件115(2)在第1步所得到的8×8階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d57=0.83，故將G5與G7歸并為一類，記為G11，即G11=｛G5，G7｝。按照公式（3.4.11）式分別計算G1，G2，G3，G6，G8，G10與G11之間的距離，得到一個新的7×7階距離矩陣如下(2)在第1步所得到的8×8階距離116(3)在第2步所得到的7×7階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d28=0.88，故將G2與G8歸并為一類，記為G12，即G12=｛G2，G8｝。再按照公式（3.4.11）分別計算G1，G3，G6，G10，G11與G12之間的距離，得到一個新的6×6階距離矩陣如下(3)在第2步所得到的7×7階距離117(4)在第3步所得的6×6階距離矩陣中，非對角元素中最小者為d3，10=1.23，故將G3與G10歸并為一類，記為G13，即G13=｛G3，G10｝=｛G3，（G4，G9）｝。再按照公式（3.4.11）計算G1，G6，G11，G12與G13之間的距離，得到一個新的5×5階距離矩陣如下(4)在第3步所得的6×6階距離矩陣118(5)在第4步所得的5×5階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d1，12=1.52，故將G1與G12歸并為一類，記為G14，即G14=｛G1，G12｝=｛G1，（G2，G8）｝。再按照公式（3.4.11）分別計算G6，G11，G13與G14之間的距離，得到一個新的4×4階距離矩陣如下(5)在第4步所得的5×5階距離矩陣119(6)在第5步所得的4×4階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d6，11=1.78，故將G6與G11歸并為一類，記為G15，即G15=｛G6，G11｝=｛G6，（G5，G7）｝。再按照公式（3.4.11）分別計算G13，G14和G15之間的距離，得到一個新的3×3階距離矩陣如下(6)在第5步所得的4×4階距離矩陣120(7)在第6步所得的3×3階距離矩陣中，非對角線元素中最小者為d13，14=3.10，故將G13與G14歸并為一類，記為G16，即G16=｛G13，G14｝=｛（G3，（G4，G9）），（G1，（G2，G8））｝。再按照公式（3.4.11）計算G15與G16之間的距離，可得一個新的2×2階距離矩陣如下(7)在第6步所得的3×3階距離矩121(8)將G15與G16歸并為一類。此時，各個分類對象均已歸并為一類。綜合上述聚類過程，可以作出最遠距離聚類譜系圖（圖3.4.3）。

圖3.4.3最遠距離聚類譜系圖G1G2G8G3G4G9G5G7G6(8)將G15與G16歸并為一類。此時，各個分類122六、計算類之間距離的統(tǒng)一公式最短距離和最遠距離可以用一個公式表示

用圖3.4.4表示二者關系：（3.4.12）

最短距離最遠距離圖3.4.4兩種不同的空間距離a1Ab1b2Ba2六、計算類之間距離的統(tǒng)一公式最短距離和最遠距離（3.4.12123當α、β、γ三個參數(shù)取不同的值時，就形成了不同的聚類方法（表3.4.4），在表3.4.4中，np是p類中單元的個數(shù)，nq是q類中單元的個數(shù)，nr=np+nq；β一般取負值。

表3.4.48種系統(tǒng)聚類方法的距離參數(shù)值

系統(tǒng)聚類其他方法的公式（3.4.13）

當α、β、γ三個參數(shù)取不同的值時，就形成了不同的124方法名稱參數(shù)D矩陣要求空間性質apaq

βγ最短距離1/21/20-1/2各種D壓縮最遠距離1/21/201/2各種D擴張中線法1/21/2-1/4≤β≤00歐氏距離保持重心法0歐氏距離保持組平均法

00各種D保持距離平方和法0歐氏距離壓縮可變數(shù)平均法<10各種D不定可變法

<1

0各種D擴張方法參數(shù)D矩陣要求空間性質apaqβγ最短1/21/2125七、實例分析

表3.4.5給出了某農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)各個區(qū)域單元的有關數(shù)據(jù)，下面我們運用系統(tǒng)聚類法，對該農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)進行聚類分析，步驟如下：(1)用標準差標準化方法，對9項指標的原始數(shù)據(jù)進行處理；(2)采用歐氏距離測度21個區(qū)域單元之間的距離；(3)選用組平均法，計算類間的距離，依據(jù)不同的聚類標準（距離），對各樣本（各區(qū)域單元）進行聚類，并作出聚類譜系圖。七、實例分析表3.4.5給出了某農業(yè)生態(tài)經濟系126表3.4.5某農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關數(shù)據(jù)

表3.4.5某農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關數(shù)據(jù)127計量地理學中的經典統(tǒng)計分析方法課件128圖3.4.5某農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)區(qū)域單元的系統(tǒng)聚類（組平均法）譜系圖圖3.4.5某農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)區(qū)域單元的系統(tǒng)聚類（組平均129從聚類分析譜系圖（圖3.4.5）可以看出，在不同的聚類標準（距離）下，聚類結果不同，當距離標準逐漸放大時，21個區(qū)域單元被依次聚類。當距離為0時，每個樣本為單獨的一類；當距離為5，則21個區(qū)域單元被聚為16類；當距離為10，則21個區(qū)域單元被聚為9類；當距離為15，則21個區(qū)域單元被聚為5類；當距離為20，則21個區(qū)域單元被聚為3類；最終，當聚類標準（距離）擴大到25時，21個區(qū)域單元被聚為1類。從聚類分析譜系圖（圖3.4.5）可以130第5節(jié)主成分分析

主成分分析的基本原理主成分分析的計算步驟主成分分析方法應用實例第5節(jié)主成分分析主成分分析的基本原理131地理系統(tǒng)是多要素的復雜系統(tǒng)。在地理學研究中，多變量問題是經常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關關系的。因此，人們會很自然地想到，能否在相關分析的基礎上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？

問題的提出：地理系統(tǒng)是多要素的復雜系統(tǒng)。在地理學研究中，多變量問132事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的工具。主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標的一種統(tǒng)計分析方法。從數(shù)學角度來看，這是一種降維處理技術。

事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合133一、主成分分析的基本原理

假定有n個地理樣本，每個樣本共有p個變量，構成一個n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣（3.5.1）

一、主成分分析的基本原理假定有n個地理樣本，每134當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進行降維處理，即用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克135定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(3.5.2)

系數(shù)lij的確定原則：①

zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關；定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標，z136②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者;…;zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。

則新變量指