2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題含答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題1.【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖1，在△4BC中,AB^AC,點尸為邊BC上的任一點，過點P作PDL4B,PELAC,垂足分別為。、E,過點C作垂足為兄求證：PD+PE=CF.圖① 圖②小軍的證明思路是：如圖2,連接力尸，由△ZBP與尸面積之和等于△Z8C的面積可以證得：PD+PE=CF.小俊的證明思路是：如圖2,過點尸作尸GJ_CF,垂足為G,可以證得：PD=GF,PE=CG,則尸。+PE=C廠.【變式探究】如圖3,當(dāng)點尸在8c延長線上時，其余條件不變，求證：PD-PE=CF；請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：【結(jié)論運用】如圖4,將矩形48CQ沿EF折疊，使點。落在點3上，點C落在點C'處，點尸為折痕E尸上的任一點，過點P作PGLBE、PH1BC,垂足分別為G、H,若“。=8,CF=3,求PG+PH的值：【遷移拓展】圖5是一個航模的截面示意圖.在四邊形48。中，E為48邊上的一點，EDLAD,ECLCB,垂足分別為。、C,且AD?CE=DE?BC,AB=2V13dm,AD=3dm,BD=V37dm.M、N分別為/E、BE的中點，連接。M、CN,求與△CEN的周長之和.圖④ 圖⑤解：【問題情境】證明：（小軍的方法）連接4尸，如圖②'：PD1.AB,PE工AC,CFL4B,且Saabc=Saabp+S"CP，：?%B?CF=%B?PD+3c?PE.'：AB=AC,:,CF=PD+PE.(小俊的方法)過點尸作尸GJ_CR垂足為G,如圖②.9：PDLAB,CF.LAB,PG工FC,:?/CFD=/FDP=/FGP=9G°.???四邊形PDFG是矩形.:?DP=FG,NDPG=900.AZCGP=90°.VPE1AC,???NC￡P(guān)=90°.:?/PGC=/CEP.?：NBDP=NDPG=90°.：.PG//AB.:"GPC=/B.u：AB=ACf:,/B=/ACB.:?/GPC=/ECP.在△PGC和△(?￡尸中，(LPGC=乙CEP\z.GPC=^lECP(PC=CP:.△PG8/\CEP.：.CG=PE.:,CF=CG+FG=PE+PD.【變式探究】證明：連接《尸，如圖③.?：PD_LAB,PEL4C,CFUB,且S^ABC=S^ABP-S"CP，111:?一AB?CF=3AB/PD-Yc?PE.2 2 2*：AB=AC,：.CF=PD-PE.【結(jié)論運用】過點E作垂足為。，如圖④,??,四邊形/8CO是矩形，:?AD=BC,ZC=ZJDC=90°.VJD=8,CF=3,：.BF=BC-CF=AD-CF=5.由折疊可得：DF=BF,/BEF=/DEF.：.DF=5.VZC=90°,：.DC=a/DF2-CF2=V52~32=4.:EQLBC,ZC=ZJDC=90°,???N￡QC=90°=ZC=ZJDC.??四邊形E0c。是矩形.；?EQ=DC=4.:AD//BC,:./DEF=/EFB.,/ABEF=NDEF,:?NBEF=/EFB.：.BE=BF.由問題情境中的結(jié)論可得：PG+PH=EQ.:?PG+PH=4.??PG+P〃的值為4.【遷移拓展】延長40、BC交于點F,作凡垂足為〃，如圖⑤.:AD-CE=DE?BC,,ADBCDE-EC'■:EDLAD,ECLCB,:?/ADE=NBCE=90°.，"DEsABCE.：.NA=NCBE.:?FA=FB.由問題情境中的結(jié)論可得：ED+EC=BH.設(shè)DH=xdm,則力〃=40+0〃=(3+x)dm.〈BHLAF,：.ZBHA=90°.：.BH1=BD1-DH2=AB2-AH2.9：AB=2y/13t40=3,BD=V37,/.(V37)2-/=(2g)2-(3+x)2.解得：X=l.：.BH2=BD2-DH2=37-1=36.**BH=Z6dm.：.ED+EC=6.ZADE=ZBCE=90°,且A/、N分別為力E、BE的中點，：.DM=AM=EM=CN=BN=EN=^BE.??△OEM與△CEN的周長之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC

=DE+EC+AB=6+2V13....△OEM與△CEN的周長之和為(6+2V13)dm.A圖②2.如圖，在。。的內(nèi)接△48C中，ZJC5=90°,AC=2BC,過C作48的垂線/交。0于另一點D,垂足為E.設(shè)P是配上異于4C的一個動點，射線/尸交/于點凡連接PC與PD,PD交4B于點、G.(1)求證：APACsAPDF；

(2)若48=5,AP=BP,求尸￡)的長：(3)在點尸運動過程中，設(shè)翌=x,tanZAFD—y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍)B(1)證明：VZ/4C5=90°,：.AB是直徑，又"：AC=AD,二尸=180°-N/尸。=180°—而所對的圓周角=180°—公所對的圓周角=加所對的圓周角尸C.在△巴(7和△2￡)尸中，(/.APC=4DPFl^.PAC=/.PDF'：.4PACs?PDF.(2)解：如圖1,連接PO,則由Q=豆，有尸O_L48,且/A48=45°,△ZP。、△/E尸都為等腰直角三角形.圖1 A在RtZ\/8C中,

:AC=2BC,：.AB2=BC2+AC2=5BC2,*8=5,：.BC=V5,AC=2y[5,BCr.V5.?.C￡=/C?sinN3/C=/U—=2V5?—=2,AB5AC「2V5AE=AC9cosZBAC=AC9—=2V5-——=4,A85???△ZE尸為等腰直角三角形，：.EF=AE=4,:?FD=FC+CD=QEF-CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.1 c,.,△4PO為等腰直角三角形，4。=%8=會..D5渡?AP-—2—?:APDFsAPAC,竺PA? =,FDCA5V2PD亍=玄’：.PD=(3)解：如圖2,過點G作G//L48,交4c于〃，連接“8,以，8為直徑作圓，連接CG并延長交CG并延長交。。于Q,圖2:HCLCB,GHLGB,：.C.G都在以為直徑的圓上，，NHBG=Z.ACQ,VC,。關(guān)于48對稱，G在48上，二2、尸關(guān)于48對稱，：.AP=AQ,：.ZPCA=ZACQ,:.NHBG=NPCA.■:APACsAPDF,NPCA=ZPFD=NAFD,：.y=tanZAFD=tanZPCA=tanZHBG=匿."：HG=tanZHAG'AG=tanZBAC-AG=會?AG=5?4G,. 1AG1?-.y=2BG=2x-.如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,以斜邊上的中線C￡＞為直徑作。。，與BC交于點M,與48的另一個交點為E,過M作A/NL48,垂足為N.(1)求證：是。。的切線：(2)右。。的直徑為5,sin8=可，求E￡)的長.?：OC=OM,：?4OCM=4OMC,在RtZXXBC中，C。是斜邊48上的中線,：.CD=^AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.4OMC=NDBC,：.OM//BD,■:MNLBD,：.OMLMN,過O,...MN是。。的切線；(2)解：連接。M,CE, 圖2是。。的直徑，：.ZCED=90Q,NDMC=90°,即DM1.BC,CEYAB,由(1)知：BD=CD=5,二〃為8C的中點，Vsin5=4.?.cos8=耳,在RtA^A/D中，BM=BD,cos^=4,:?BC=2BM=8,在RtZ\CE3中，BE=BC?cosB=*532 7：.ED=BE-80=學(xué)一5=g..已知NMPN的兩邊分別與OO相切于點4B,OO的半徑為八(1)如圖1,點C在點4,8之間的優(yōu)弧上，/MPN=80°,求N4C8的度數(shù);

（2）如圖2,點C在圓上運動，當(dāng)PC最大時，要使四邊形4尸8c為菱形，N4尸8的度數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由；（3）若尸C交。。于點。，求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含/?的式子表示）.圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接。/,OB,圖1,：PA,尸8為0。的切線，；.NPAO=NPBO=90°,*/ZAPB+ZPACh-ZPBO+ZAOB=360°,4尸8+408=180°,VZJP5=80°,.,.408=100°,/.ZACB=50°；(2)如圖2,當(dāng)4P8=60°時，四邊形ZP8c是菱形,連接。1,OB,由(1)可知，NAOB+NAPB=180°,VZJP5=60°,.?.408=120°,AZJC5=60°=NAPB,?.?點c運動到尸c距離最大，...PC經(jīng)過圓心，'：PA,尸8為。。的切線，：.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APgtXBPC(SAS),：.^ACP=ZBCP=3>0°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,四邊形ZP8C是菱形；(3);。。的半徑為r,：.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,的長度=6睛?=圻，陰影部分的周長=口+2。+麗=+$=(V3+1+J)r..如圖，叫為。。的切線，尸8c為。。的割線，尸于點O,△/￡>(7的外接圓與8C的另一個交點為E.證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接。4,OB,OC,BD.'：OALAP,ADLOP,，由射影定理可得：PAi=PD'PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割線定理可得PA'PB^PC,.PB?PC=PD'PO,.D、B、C、。四點共圓，…（10分）.NPDB=NPCO=乙OBC=NOOC,4PBD=NCOD,.△PBDsACOD,PDBD布=而’…（15分）.BD'CD=PD'OD=AD1,.BDAD=CD又NBDA=NBDP+9Q°=ZODC+90°=ZADC,:ABDAsAADC,：.NBAD=NACD,：.AB是△/￡>C的外接圓的切線,.如圖，點/為歹軸正半軸上一點,4,8兩點關(guān)于x軸對稱，過點4任作直線交拋物線y=1x2于尸，。兩點.(1)求證：NABP=NABQ；（2）若點4的坐標(biāo)為（0,1）,且NP80=6O°,試求所有滿足條件的直線尸0的函數(shù)解析式.【解答】（1）證明：如圖，分別過點尸，。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設(shè)點4的坐標(biāo)為（0,1）,則點8的坐標(biāo)為（0,-/）.設(shè)直線尸0的函數(shù)解析式為》=京+3并設(shè)P,。的坐標(biāo)分別為（xp,yp）f（X0，?0）.由（y=kx+t=27'3,27得石公—kx—t=0,于是XpX。=—13EPt=—^xpXq.十口BC于是 =yp+t=舞2+t2o-lXp2~lXpXQ—2 922, 、-Xp(Xp-XQ)-2=_生BD%+t3XQi+t3XQ^~XPXQ/q(xqF)XQ,PC又因為777；XpBC所以77_PCQDXQBDQD因為N8CP=N8O0=9O°,所以ABCPsABD。,故N48尸=N4B0；(2)解：設(shè)PC=a,DQ=b,不妨設(shè)a》b>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=V3b,所以