地球流體動力學(xué)-地流課件第二章

第二章無粘淺水理論

InviscidShallow-WaterTheory§2.1引言

Introduction這一章主要研究淺水、均質(zhì)不可壓縮和無粘的旋轉(zhuǎn)流體的一些性質(zhì)。主要有兩方面原因：（1）足夠簡單，不需要考慮復(fù)雜的熱力學(xué)問題；（2）實踐證明淺水模式能反映大氣和海洋運動的一些重要特性§2.2淺水模型

TheShallow-WaterModel淺水模式符合正壓、無摩擦條件，再找一個就可湊出守恒的位渦?！?.3淺水方程組

TheShallow-WaterEquations直角坐標(biāo)系下的動量方程：連續(xù)方程量綱分析：若u,v初始與z無關(guān)，則總是與z無關(guān)。方程(2.1a)、(2.1b)及(2.2)成為積分方程(2.4)流體柱體積守恒積分方程(2.4)：再結(jié)合式(2.6)：水柱比高在運動中不變由淺水模式的假設(shè)條件，淺水運動中位渦應(yīng)該守恒。§2.4位渦守恒:淺水理論

Potential-VorticityConservation:Shallow-WaterTheory由方程(2.3)可以推得渦度方程再結(jié)合式(2.6)：與上節(jié)的位渦表達式((2.8)式)比較，(2.10)式中的因變量只差一個常量所以(2.10)式就是位渦守恒的表達式?！?.5積分約束IntegralConstrain

積分得：在無窮遠速度為零的邊界上積分也可以得到以上結(jié)果?！?.6小振幅運動Small-Amplitudemotions

(線性化

linearization)小振幅的假設(shè)限制了所描述運動的范圍，但是極大化簡了由于非線性導(dǎo)致的運動的復(fù)雜性，并且能夠反映復(fù)雜運動中的一些基本特性。首先考慮定常運動，由(2.11)和(2.12)這是位渦守恒的結(jié)果，因為定常、線性化的位渦守恒式為：所以，對于定常、線性運動，等H0不能與固體邊界相交?！?.7等深層中的平面波PlaneWavesinaLayerofConstantDepth等深無限平面，邊界遠大于振蕩的波長。常系數(shù)方程，且水平方向無邊界，所以可以設(shè)平面波解：在給定時刻,當(dāng)相速不符合矢量加法將平面波解代入方程(2.17):稱Rossby變形半徑為高頻波由(2.18)解得：或雙向波經(jīng)典淺水波稱慣性重力波增大則波速加快慣性振蕩由(2.16)求得：速度矢尖端在一個振蕩周期內(nèi)順時針繞橢圓一周。解釋:所以運動主要是從高壓向低壓運動，而平行于等壓線的運動是次要的,運動是非地轉(zhuǎn)的。t增加渦管拉伸，產(chǎn)生正的相對渦度。渦管拉伸，水平輻合。水平輻合大于相對渦度。線性化的位渦：則變化部分僅是運動本身的，沒有“環(huán)境”的變化部分?！?.8Poincare波和Kelvin波PoincareandKelvinWaves設(shè)渠道形式是因為實際上

平面只能在一定南北范圍內(nèi)成立將波解代入(2.19)得:將通解(2.21)代如邊界條件(2.23)中后，得關(guān)于A和B的系數(shù)行列式。若有非零解則有:稱為Poincare波沿x軸正負傳播與慣性重力波的頻散關(guān)系相比，不同的是這里y方向的波數(shù)是離散的。顯然不能滿足邊界條件。PoincareWave稱為Kelvin波沿x軸正負傳播波速與淺水重力波相同，但是旋轉(zhuǎn)流體中的一種具有獨特結(jié)構(gòu)的波。解有兩類：若c>0(c<0)則第二(一)項將使振幅隨y增大(減小)指數(shù)增大，不符合小振幅假設(shè)，所以不是物理解。速度滿足地轉(zhuǎn)關(guān)系必需有邊界，在邊界處，波振幅最大。V處處為0。e折度距離為Rossby變形半徑：不失一般性，設(shè)c>0Kelvin波實際上是單向的！KelvinWave也可以直接用描述Kelvin波的動力方程組求解：其中F和G是任意函數(shù)當(dāng)c>0時，G不是物理解。赤道Kelvin波赤道附近因此赤道β平面上Kelvin波只能東傳可以證明此解已包含在Kelvin波解之中此時算子所以回到原始方程(2.11a)、(2.11b)和(2.12)將波解代入到方程中，并利用利用前頁積分公式得解：可見此解與對應(yīng)波長的Kelvin波解無區(qū)別概括講，等深渠道中的完整譜包括Poincare波、Kelvin波和σ=0的地轉(zhuǎn)流?！?.9Rossby波RossbyWaves依然是在渠道里，但是還考慮有地形變化：代入(2.15)得：其通解為:其中:將通解代入邊條件：得本征值關(guān)系:所以精確到s的最低階，小的底面坡度并不改變Kelvin波。關(guān)于σ的三次方程有兩類解：所以精確到s的最低階，Poinare波不受影響。稱為地形Rossby波（1）只有當(dāng)旋轉(zhuǎn)與地形坡度效應(yīng)同時存在,才會產(chǎn)生Rossby波。亦即旋轉(zhuǎn)效應(yīng)和地形坡度是Rossby波產(chǎn)生的必要條件。（2）地形Rossby波是單向傳播的，其相速為:

f>0(<0)，高地形位于波傳播方向的右(左)方。（3）地形Rossby波是低頻波，因為頻率小于f，當(dāng)（4）與Poincare波以及Kelvin波相反，地形Rossby波頻率隨波數(shù)增加而減小。Rossby波的動力場:但是這種地轉(zhuǎn)關(guān)系不是嚴(yán)格的，因為嚴(yán)格的地轉(zhuǎn)運動要求運動沿等地形線（等壓線），即v=0，這時可以推得無波動。實際上正是小的非地轉(zhuǎn)運動造成了波動。RossbyWave則利用地轉(zhuǎn)關(guān)系(2.41)即準(zhǔn)地轉(zhuǎn)近似下位渦守恒依然成立小振幅運動小結(jié)(1)定常運動：地轉(zhuǎn)、(2)等深、水平無界運動：慣性重力波高頻、雙向(3)等深無限長水渠運動：Poincare波：速矢橢圓Kelvin波：(4)斜底無限長水渠運動：多了一種低頻地形Rossby波實際上單向單向無限長渠道中的Poincare波，Kelvin波和地形Rossby波的頻散關(guān)系示意圖

§2.10淺水理論的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)尺度分析QuasigeostrophicscalinginShallow-WaterTheory這一節(jié)里運用尺度分析方法，建立一個更具普遍性的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)動力系統(tǒng)。量綱分析：將上面變量代入左邊方程組后略去撇號，經(jīng)簡單運算得：若則上面方程就近似為線性方程。以下假設(shè)：代入方程(2.46)、(2.47)中后，可以得到關(guān)于ε同次冪平衡的關(guān)系式。正是嚴(yán)格地轉(zhuǎn)運動必須沿等地形線進行的這一強約束關(guān)系則(2.47)并不能提供另外的信息，而這種情形是下面關(guān)注的。在高階情況下，才有運動的變化(包括輻散引起的流體厚度變化)，稱準(zhǔn)地轉(zhuǎn)近似。由(2.48a)、(2.48b)得渦度方程：將(2.49)代入得：1、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運動完全由表面起伏或壓強給出2、確定后，可由地轉(zhuǎn)關(guān)系給出3、4、是無量綱位渦有量綱位渦所以除了一個常數(shù)就是無量綱位渦。位渦由三項組成即：相對渦度、自由面起伏和環(huán)境位渦無量綱環(huán)境位渦可以視為有量綱環(huán)境位渦與相對渦度之比的量度。自由面起伏對位渦的貢獻取決于這里Rossby變形半徑可以解釋為一個特征距離。在此距離上，相對渦度和表面起伏對位渦有同等貢獻。回憶以前的Poincare波和Kelvin波，其中也有Rossby變形半徑，還有這樣的解釋：（1）在時間傳播的距離（2）重力波與慣性波同等重要的距離ambientpotentialvorticity環(huán)境位渦與運動本身無關(guān)§2.11準(zhǔn)地轉(zhuǎn)Rossby波QuasigeostrophicRossbyWaves

因為Rossby波在大尺度地球流體動力學(xué)中的重要性，再在剛建立的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)理論框架上討論其特性這時可以設(shè)波解：代入(2.52b)可見平面Rossby波是非線性方程的精確解，因此至少對于平面波解，小振幅的限制可以取消。Rossby波動力場：隨波峰前進的觀測者總是看到較大的環(huán)境位渦(較淺的流體層)位于其右側(cè)。因此由于環(huán)境位渦的存在使得空間對于Rossby波來說不再是動力學(xué)上各向同性了不失一般性，若將y軸放在環(huán)境位渦增加的方向上§2.12β-平面

TheBeta-Plane為緯度，則北(南)半球

向極變大(負)在一定的南北向范圍內(nèi)可以近似看作隨緯度線性變化參考緯度值地球半徑這時將稱作Coriolisparameter以上對的線性近似稱作平面；相對應(yīng)稱作平面。位渦這說明地形與β效應(yīng)具有動力學(xué)等價性。就是環(huán)境位渦的變化部分。故與其中是等價的，無量綱為無量綱的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)框架為：Rossby波：§2.13Rossby波機制

TheMechanismfortheRossbyWaves高壓中心輻合輻散設(shè)初始擾動為自由面隆起（高壓）并且壓強梯度均勻北由于隨緯度變大欲滿足地轉(zhuǎn)平衡需要高緯度的速度較小低緯度速度較大高壓中心向輻合區(qū)運動Rossby波西傳§2.14緯向流中的Rossby波

RossbyWavesinaZonalCurrent若設(shè)：即環(huán)境位渦只在y方向有梯度，并且是個常矢量。取簡單的緯向流為為無量綱數(shù)，在緯向流上疊加擾動后，流函數(shù)為代入方程(2.52b)設(shè)平面波解：x方向上的相速為（即對于西風(fēng)基本流）時波長較短的波向東傳播；波長較長的波向西傳播；駐波。（東風(fēng)基本流）時，對于任何波動都是向西傳播，不可能出現(xiàn)駐波。有量綱的Rossby駐波波長為與西風(fēng)帶中大型波動的特征尺度相當(dāng)基本流的存在對

Rossby波的作用表現(xiàn)為：（1）多普勒漂移效應(yīng)；（2）改變了環(huán)境位渦梯度。在沒有波動但有基本流動時，有量綱厚度H0為

自由面的傾斜使流體層在y方向的厚度梯度增大，因而隨波動所看到的環(huán)境位渦梯度增大。這種增大將通過β的有效值增加的方式而使波振蕩頻率增加。β效應(yīng)減弱，如果，那么β效應(yīng)甚至?xí)??；玖鲃邮棺杂杀砻鎯A斜。波長遠小于Rossby變形半徑，則基本流所引起的自由面傾斜在波動尺度上是難以察覺的。波長遠大于Rossby變形半徑，無多普勒效應(yīng)§2.15群速度GroupVelocity

波動的一個最重要的特性是它能將擾動的能量通過介質(zhì)傳到相對流體波動中的位移來說很遠的距離去。質(zhì)點在一個波周期的位移為即小振幅線性平面波的假定，同等于平面波對于探討小振幅波的機制和基本性質(zhì)來說是一個有用的工具，但是這種均勻的平面波在時空都是嚴(yán)格周期的，它以振幅不變的形式充滿了整個時域和空間。實際上常見的大多數(shù)是在時間和空間上都只占據(jù)有限范圍、由各種不同振幅（波長、波速等）的單色波疊加而成的波，即所謂波群（或群波）。最簡單的群波是由兩個振幅相同，但是波數(shù)和頻率均有微小差異的平面波疊加而成的合成波：即，假如波數(shù)（頻率）有差異的波合成后其振幅將隨時間變化。如果將一個相連的峰谷稱為一個波的話，則合成波由一系列波峰和波谷組成，這些個別的峰谷以相速傳播。合成波可看作是包跡（waveenvelope）A(x,t)所包圍的一大群波，因而稱為波包或群波（wavepacket）。當(dāng)A(x,t)滿足：時，稱之為緩變波包。A(x,t)的移動速度為稱為群速度所以當(dāng)即c與k有關(guān)時線性化：準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程：線性化的條件：代入（2.60）得：(2.61)對于Rossby波來說因為A在一個波內(nèi)可近似看作不變，而精確到最低階有：正是Rossby平面波的頻散關(guān)系精確到最低階有：只有當(dāng)c與k和l無關(guān)時(即與波數(shù)無關(guān))，群速與相速相等。波動為非頻散波波動為頻散波Rossby波是頻散波cgx達到最大正值

cgx達到最大負值

長波的群速一般比短波的群速大§2.16多時間尺度法TheMethodofMultipleTimeScales此方法是將整個波動場分成兩種尺度。在快變尺度上，對于觀察者來說波振幅可以近似看作不變。而在慢變尺度上，觀察者看到波振幅以波包的形式緩慢變化。代入線形方程（2.60）代入（2.63）0級近似：得平面Rossby波頻散關(guān)系：

級近似：等式左邊的自由振蕩解與的解一樣，而右邊的強迫項會使在尺度上共振增大，這樣就違背了的假設(shè)，為了確保展開的合理性，就要求等式右邊等于零?！?.17Rossby波的能量和能量通量EnergyandEnergyFluxinRossbyWaves線性Rossby波動方程：（以水平自由表面為參考面）(2.64)為能量守恒方程E

為總能量密度（單位面積）為總能量通量矢對Rossby波包：精確到最低階的能量：能量正比于波振幅的平方。在一個周期中的平均值：能量在其平均態(tài)周