向量的投影課件

一、向量的投影及其性質(zhì)

定義6

一、向量的投影及其性質(zhì)

定義6向量的投影課件證于是證于是類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.定義7設(shè)有兩個非零向量α，β，任取空間一點O，作OA=α,OB=β，規(guī)定不超過π的∠AOB(設(shè)φ=∠AOB，O≤φ≤π)稱為向量α與β的夾角.αβoAB記作

類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量л空間一點在軸上的投影定義8

設(shè)已知空間一點A以及一軸l，通過點A作軸l

的垂直平面π，那么平面π與軸l的交點A′叫做點A在軸l上的投影.

л空間一點在軸上的投影定義8設(shè)已知空間一點A空間一向量在軸上的投影或，軸l叫做投影軸

定義9已知向量AB的起點A和終點B在軸l上的投影分別為A’和B’，那末軸l上的有向線段A’B’的值A(chǔ)’B’叫做向量AB在軸l上的投影.

=A’B’即空間一向量在軸上的投影或，軸l叫做投影軸定義9證性質(zhì)1(投影定理)

向量的投影具有下列性質(zhì)：證性質(zhì)1(投影定理)向量的投影具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；性質(zhì)1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量性質(zhì)2由下面圖形很容易證明該性質(zhì).推廣：性質(zhì)2由下面圖形很容易證明該性質(zhì).推廣：性質(zhì)3向量與數(shù)的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘積，即Prjlα=λPrjlα證設(shè)α與l軸的夾角為φ，

λ>0λαφ1

=

φφ1=π-

φλαα

λ<0λα與l軸的夾角為φ1，當(dāng)λ>0時，φ1=φ

=λPrjlα；

由性質(zhì)1，Prj(λα)=|λα|cos(φ1)=λ|α|cosφ性質(zhì)3向量與數(shù)的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影當(dāng)λ<0時φ1=π-φλ>0λαφ1

=

φφ1=π-

φλαα

λ<0=λPrjlα；

Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1)=-λ|α|(-cosφ)當(dāng)λ=0時=λPrjlα；

Prj(λα)=0當(dāng)λ<0時φ1=π-φλ>0λαφ1=φφ1=π-橫軸縱軸豎軸定點二、空間直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)這三條軸分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；過空間一個定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點，且一般具有相同的長度單位.橫軸縱軸豎軸定點二、空間直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)這三條軸橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.

即以右手握住軸，當(dāng)右手的四個手指從正向軸以角度轉(zhuǎn)向軸正向時，大拇指的指向就是軸的正向.

這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系.點O叫做坐標(biāo)原點(或原點).橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標(biāo)系的八個卦限Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標(biāo)系的八個卦限空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點空間兩點間的距離空間兩點間的距離空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為三、向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)

我們把起點在坐標(biāo)原點的向量r=OM稱為點M的向徑.MABC向量OM在坐標(biāo)軸上的投影向量分別為OA、OB、OC,它們稱為向量OM

在x軸、y軸和z軸上的分向量.三、向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)我們把起點在坐在坐標(biāo)軸ox、oy、oz上，以O(shè)為起點分別取三個單位向量i、j、k,其方向與三坐標(biāo)軸的正向相同，稱它們?yōu)榛締挝幌蛄?

顯然，

OM=xi+yi+zk，

其中x,y,z是向徑OM在坐標(biāo)軸上的投影，也就是終點M的坐標(biāo).

MABCijk在坐標(biāo)軸ox、oy、oz上，以O(shè)為起點分別取三個單位

定義10

設(shè)空間直角坐標(biāo)系中有向量α，把它平移，使起點移到坐標(biāo)原點，M為向量α的終點，則終點M的坐標(biāo)x、y、z也叫做向量α的坐標(biāo).記作α=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量的坐標(biāo)形式.

α=xi+yj+zk中xi,yj,zk分別叫做向量α在x軸、y軸、z軸上的分向量.xi+yj+zk的稱為α坐標(biāo)分解式。

MABCijk定義10設(shè)空間直角坐標(biāo)系中有向量α，把它平移，使起點向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量的坐標(biāo))有本質(zhì)的區(qū)別:注意向量α在坐標(biāo)軸上的投影是三個數(shù)x、y、z,

而向量α在坐標(biāo)軸上的分向量是三個向量：xi=(x,0,0),yj=(0,y,0),zk=(

0,0,z).向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量

利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法及向量與數(shù)的乘法的運算如下：

設(shè)α=x1i+y1j+z1k=(x1,y1

,z1),α+β=（x1+x2）i+（y1+y2）j+（z1+z2)k

=(x1+x2,y1+y2

,z1+z2

).

α-β=（x1-x2)i+(y1-y2)j+(z1-z2)k則有：=(x1-x2

,y1--y2

,z1-z2)

β=x2i+y2j+z2k=(x2,y2,z2).

λα=λ(x1+y1j+z1k)=(λx1,λy1,λz1)(λ為實數(shù))=λx1i+λy1j+λz1k利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法及向量與數(shù)的乘法的例6兩定點為M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，求向量M1M2的坐標(biāo).

解由向量的三角形法則可得M1M2=OM2-OM1，

而OM2=(x2,y2,z2),OM1=(x1,y1,z1)，

所以

M1M2

=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)例6兩定點為M1(x1,y1,z1）和M2(x向量M1M2的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達式：特殊地：由上例知：對于空間任意兩定點為M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，向量M1M2的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)設(shè)于是：當(dāng)x1,y1

,z1之一為0，當(dāng)x1

,y1

,z1有兩個為0，如x1=0,y1

,z

1時,平行應(yīng)理解為：如x1=y1=0,時，平行應(yīng)理解為：（x2,y2

,z2)=λ(x1

,y1,z1)時β∥α

設(shè)于是：當(dāng)x1,y1,z1之一為0，當(dāng)x1,y1解設(shè)為直線上的點，解設(shè)為直線上的點，由題意知：由題意知：四、向量的模、方向角和方向余弦

M(x,y,z)ABC向量的模與向量坐標(biāo)的關(guān)系

由兩點間距離公式可得向量的模和坐標(biāo)的關(guān)系.向徑OM的模為：|OM|四、向量的模、方向角和方向余弦

M(x,y,z)ABC向當(dāng)向量的起點不在原點時，設(shè)起點為M1(x1,y1,z1)終點為M2(x2,y2,z2)，則向量M1M2的模為：當(dāng)向量的起點不在原點時，設(shè)起點為M1(x1,非零向量的方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.Mx非零向量的方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.向量的方向余弦

向量α的方向角α、β、γ的余弦cosα、cosβ、cosγ叫做它的方向余弦.方向余弦通常用來表示向量的方向.M（x,y,z)x即顯然

x=|OM|cosα,y=|OM|cosβ,z=|OM|cosγ

向量的方向余弦向量α的方向角α、β、γ的余弦cos方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為則

例8設(shè)已知兩點和，計算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

所以方向余弦cosα=cosβ=方向角

cosγ=解：因M1M2=則例8設(shè)已知兩點和從而

例9設(shè)已知兩點A(4，0，5)和B(7，1，3)，求方向和AB一致的單位向量.

解

設(shè)與AB方向一致的單位向量為

而則所以從而例9設(shè)已知兩點A(4，0，5)和B(7，1，3)五、小結(jié)1.空間直角坐標(biāo)系2.空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（軸、面、卦限）五、小結(jié)1.空間直角坐標(biāo)系2.空間兩點間距離公式（注3.向量在軸上的投影與投影定理.4.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).5.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）3.向量在軸上的投影與投影定理.4.向量在坐標(biāo)軸上的分向思考題1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點在哪個卦限？思考題1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點在哪個卦限？思考題解答1.A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ;2.對角線的長為思考題解答1.A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ一、向量的投影及其性質(zhì)

定義6

一、向量的投影及其性質(zhì)

定義6向量的投影課件證于是證于是類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.定義7設(shè)有兩個非零向量α，β，任取空間一點O，作OA=α,OB=β，規(guī)定不超過π的∠AOB(設(shè)φ=∠AOB，O≤φ≤π)稱為向量α與β的夾角.αβoAB記作

類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量л空間一點在軸上的投影定義8

設(shè)已知空間一點A以及一軸l，通過點A作軸l

的垂直平面π，那么平面π與軸l的交點A′叫做點A在軸l上的投影.

л空間一點在軸上的投影定義8設(shè)已知空間一點A空間一向量在軸上的投影或，軸l叫做投影軸

定義9已知向量AB的起點A和終點B在軸l上的投影分別為A’和B’，那末軸l上的有向線段A’B’的值A(chǔ)’B’叫做向量AB在軸l上的投影.

=A’B’即空間一向量在軸上的投影或，軸l叫做投影軸定義9證性質(zhì)1(投影定理)

向量的投影具有下列性質(zhì)：證性質(zhì)1(投影定理)向量的投影具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；性質(zhì)1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量性質(zhì)2由下面圖形很容易證明該性質(zhì).推廣：性質(zhì)2由下面圖形很容易證明該性質(zhì).推廣：性質(zhì)3向量與數(shù)的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘積，即Prjlα=λPrjlα證設(shè)α與l軸的夾角為φ，

λ>0λαφ1

=

φφ1=π-

φλαα

λ<0λα與l軸的夾角為φ1，當(dāng)λ>0時，φ1=φ

=λPrjlα；

由性質(zhì)1，Prj(λα)=|λα|cos(φ1)=λ|α|cosφ性質(zhì)3向量與數(shù)的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影當(dāng)λ<0時φ1=π-φλ>0λαφ1

=

φφ1=π-

φλαα

λ<0=λPrjlα；

Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1)=-λ|α|(-cosφ)當(dāng)λ=0時=λPrjlα；

Prj(λα)=0當(dāng)λ<0時φ1=π-φλ>0λαφ1=φφ1=π-橫軸縱軸豎軸定點二、空間直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)這三條軸分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；過空間一個定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點，且一般具有相同的長度單位.橫軸縱軸豎軸定點二、空間直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)這三條軸橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.

即以右手握住軸，當(dāng)右手的四個手指從正向軸以角度轉(zhuǎn)向軸正向時，大拇指的指向就是軸的正向.

這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系.點O叫做坐標(biāo)原點(或原點).橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標(biāo)系的八個卦限Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標(biāo)系的八個卦限空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點空間兩點間的距離空間兩點間的距離空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為三、向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)

我們把起點在坐標(biāo)原點的向量r=OM稱為點M的向徑.MABC向量OM在坐標(biāo)軸上的投影向量分別為OA、OB、OC,它們稱為向量OM

在x軸、y軸和z軸上的分向量.三、向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)我們把起點在坐在坐標(biāo)軸ox、oy、oz上，以O(shè)為起點分別取三個單位向量i、j、k,其方向與三坐標(biāo)軸的正向相同，稱它們?yōu)榛締挝幌蛄?

顯然，

OM=xi+yi+zk，

其中x,y,z是向徑OM在坐標(biāo)軸上的投影，也就是終點M的坐標(biāo).

MABCijk在坐標(biāo)軸ox、oy、oz上，以O(shè)為起點分別取三個單位

定義10

設(shè)空間直角坐標(biāo)系中有向量α，把它平移，使起點移到坐標(biāo)原點，M為向量α的終點，則終點M的坐標(biāo)x、y、z也叫做向量α的坐標(biāo).記作α=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量的坐標(biāo)形式.

α=xi+yj+zk中xi,yj,zk分別叫做向量α在x軸、y軸、z軸上的分向量.xi+yj+zk的稱為α坐標(biāo)分解式。

MABCijk定義10設(shè)空間直角坐標(biāo)系中有向量α，把它平移，使起點向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量的坐標(biāo))有本質(zhì)的區(qū)別:注意向量α在坐標(biāo)軸上的投影是三個數(shù)x、y、z,

而向量α在坐標(biāo)軸上的分向量是三個向量：xi=(x,0,0),yj=(0,y,0),zk=(

0,0,z).向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量

利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法及向量與數(shù)的乘法的運算如下：

設(shè)α=x1i+y1j+z1k=(x1,y1

,z1),α+β=（x1+x2）i+（y1+y2）j+（z1+z2)k

=(x1+x2,y1+y2

,z1+z2

).

α-β=（x1-x2)i+(y1-y2)j+(z1-z2)k則有：=(x1-x2

,y1--y2

,z1-z2)

β=x2i+y2j+z2k=(x2,y2,z2).

λα=λ(x1+y1j+z1k)=(λx1,λy1,λz1)(λ為實數(shù))=λx1i+λy1j+λz1k利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法及向量與數(shù)的乘法的例6兩定點為M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，求向量M1M2的坐標(biāo).

解由向量的三角形法則可得M1M2=OM2-OM1，

而OM2=(x2,y2,z2),OM1=(x1,y1,z1)，

所以

M1M2

=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)例6兩定點為M1(x1,y1,z1）和M2(x向量M1M2的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達式：特殊地：由上例知：對于空間任意兩定點為M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，向量M1M2的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)設(shè)于是：當(dāng)x1,y1

,z1之一為0，當(dāng)x1

,y1

,z1有兩個為0，如x1=0,y1

,z

1時,平行應(yīng)理解為：如x1=y1=0,時，平行應(yīng)理解為：（x2,y2

,z2)=λ(x1

,y1,z1)時β∥α

設(shè)于是：當(dāng)x1,y1,z1之一為0，當(dāng)x1,y1解設(shè)為直線上的點，解設(shè)為直線上的點，由題意知：由題意知：四、向量的模、方向角和方向余弦

M(x,y,z)ABC向量的模與向量坐標(biāo)的關(guān)系

由兩點間距離公式可得向量的模和坐標(biāo)的關(guān)系.向徑OM的模為：|OM|四、向量的模、方向角和方向余弦

M(x,y,z)ABC向當(dāng)向量的起點不在原點時，設(shè)起點為M1(x1,y1,z1)終點為M2(