高中總復習理科數(shù)學配人教A版-課后習題Word-考點規(guī)范練考點規(guī)范練39　空間幾何體的表面積與體積

考點規(guī)范練39空間幾何體的表面積與體積基礎鞏固1.圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成的.其表面積由一個矩形的面積、兩個半圓的面積、圓柱的側面積的一半及一個球的表面積的一半組成.故S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2=5πr2+4r2=16+20π2.已知某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2 B.4C.6 D.8答案:C解析:由三視圖可知該幾何體為直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,∴V=Sh=3×2=6.3.已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64π B.48π C.36π D.32π答案:A解析:由題意知☉O1的半徑r=2.由正弦定理知ABsinC=2∴OO1=AB=2rsin60°=23,∴球O的半徑R=r2+|∴球O的表面積為4πR2=64π.4.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖由矩形和等腰直角三角形組成,側視圖由半圓和等腰直角三角形組成,俯視圖的實線部分為正方形,則該幾何體的表面積為()A.3π+42 B.4(π+2+1) C.4(π+2) D.4(π+1)答案:A解析:由三視圖知幾何體的上半部分是半圓柱,圓柱的底面半徑為1,高為2,其表面積為S1=12×π×2×2+π×12=3π,下半部分為正四棱錐,底面棱長為2,斜高為2,其表面積S2=4×12×2×2=42,所以該幾何體的表面積為S=S15.已知底面邊長為1,側棱長為2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上,則該球的體積為()A.32π3 B.4π C.2π答案:D解析:因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半,所以半徑r=12×所以V球=4π3×13=46.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米有()(注:尺、斛均為非國際通用單位)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案:B解析:設底面圓半徑為R,米堆高為h.∵米堆底部弧長為8尺,∴14·2πR=8,∴體積V=14×13·πR2h=∵π≈3,∴V≈3209(立方尺∴堆放的米約有3209×1.7.(2021全國Ⅱ,理11)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點,且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為()A.212 B.3C.24 D.答案:A解析:如圖,設O1為AB的中點,連接CO1,OO1,因為AC⊥BC,AC=BC=1,所以CO1=22,由題意可知OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO12=22,則三棱錐O8.學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質量為g.

答案:118.8解析:由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4×6-4×12×2×3=12(cm2),點O到平面BB1C1C的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=13×12×3又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質量為0.9×132=118.8(g).9.已知棱長為4的正方體被一平面截成兩個幾何體,其中一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是.

答案:32解析:由三視圖,可得棱長為4的正方體被平面AJGI截成兩個幾何體,且J,I分別為BF,DH的中點,如圖,兩個幾何體的體積各占正方體的一半,則該幾何體的體積是12×43=10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形,設點M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點,則三棱錐P-A1MN的體積是.

答案:1解析:由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1,如圖所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點,∴MN=12,NP=1∴S△MNP=12×1∵點A1到平面MNP的距離為AM=12∴11.已知邊長為2的等邊三角形ABC的三個頂點A,B,C都在以O為球心的球面上,若球O的表面積為148π3,則三棱錐O-ABC的體積為答案:33解析:設球的半徑為R,則4πR2=148π3,解得R2設△ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r,則r=2故球心到△ABC所在平面的距離為d=R2-r2=所以VO-ABC=13S△ABCd=12.一個幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側視圖是一個長為3、寬為1的矩形,俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S.解:(1)由三視圖可知,該幾何體是一個平行六面體(如圖),其底面是邊長為1的正方形,高為3,所以V=1×1×(2)由三視圖可知,在該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,側面ABB1A1,CDD1C1均為矩形.S=2×(1×1+1×3+1×2)=6+2能力提升13.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為()A.23 B.33 C答案:A解析:如圖,分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=3所以S△AGD=S△BHC=12×2所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=13×24×114.芻薨(chuhong),中國古代算術中的一種幾何形體,《九章算術》中記載“芻薨者,下有褒有廣,而上有褒無廣.芻,草也.薨,屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱,芻薨字面意思為茅草屋頂”.一芻薨的三視圖如圖所示,其中正視圖為等腰梯形,側視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它,則覆蓋的面積至少為()A.65 B.75 C.85 D.95答案:C解析:茅草覆蓋面積即為幾何體的側面積.由題意可知,該幾何體的側面為兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底長為2,下底長為4,高為22+12=故側面積為S=2×12×(2+4)×5+2×1即需要茅草覆蓋面積至少為85,故選C.15.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為()A.86π B.46π C.26π答案:D解析:設PA=PB=PC=2x.∵E,F分別為PA,AB的中點,∴EF∥PB,且EF=12PB=x∵△ABC為邊長為2的等邊三角形,∴CF=3又∠CEF=90°,∴CE=3-x2,AE=在△AEC中,由余弦定理可知cos∠EAC=x如圖,作PD⊥AC于點D,∴D為AC的中點,cos∠EAC=AD∴∴2x2+1=2.∴x2=12,即x=∴PA=PB=PC=2又AB=BC=AC=2,∴PA⊥PB⊥PC.∴2R=2+2+2=6∴V=43πR3故選D.16.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.

答案:415解析:如圖所示,連接OD,交BC于點G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC.設OG=x,則BC=23x,DG=5-x,三棱錐的高h=D因為S△ABC=12×23x×3x=33x所以三棱錐的體積V=13S△ABC·h=3x2令f(x)=25x4-10x5,x∈0則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,則f(x)在區(qū)間(0,2)內單調遞增,在區(qū)間2,5所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=所以三棱錐體積的最大值為41517.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖.(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2AH=10,HB=6.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即9高考預測18.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為()A.33 B.23 C.3 D.答案:C解析:如圖,過點A作AD垂直SC于點D,連接BD.因為SC是球的直徑,所以∠SAC=