高中數(shù)學人教A版2019必修第二冊 《復數(shù)的三角表示課時1》教學設計

14/14《復數(shù)的三角表示》教學設計課時1復數(shù)的三角表示式必備知識學科能力學科素養(yǎng)高考考向1.復數(shù)的三角表示式學習理解能力觀察記憶概括理解應用實踐能力分析計算遷移創(chuàng)新能力直觀想象數(shù)學運算邏輯推理【考查內容】復數(shù)的三角表示,復數(shù)乘、除運算的幾何意義,復數(shù)與代數(shù)、三角、向量、幾何之間的聯(lián)系【考查題型】選擇題、填空題2.復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義直觀想象數(shù)學運算邏輯推理一、本節(jié)內容分析本節(jié)內容從復數(shù)的向量表示出發(fā),結合三角函數(shù)知識,得到復數(shù)的另一種重要表示形式——三角表示,進而研究復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.復數(shù)乘、除運算的三角表示形式簡潔,在很多情況下可以簡化復數(shù)的乘、除運算;其幾何意義就是平面向量的旋轉、伸縮,因此,可以方便地解決很多平面向量與平面幾何問題.本節(jié)側重提升學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).本節(jié)雖然被定位為選學內容,但是建議還是應加強學習復數(shù)與代數(shù)、向量、三角、幾何的聯(lián)系,使得學生通過復數(shù)的三角表示的學習,在直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)方面得到提升.本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.復數(shù)的三角表示式2.復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義直觀想象數(shù)學運算邏輯推理核心素養(yǎng)二、學情整體分析學生掌握了復數(shù)的四則運算的基本要領,但是大部分學生缺乏用聯(lián)系的觀點看問題的思維習慣.將復數(shù)與向量、三角函數(shù)、幾何之間進行聯(lián)系,是一個理解上和運用上的難點,學生對復數(shù)的三角表示理解不清,復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉化不靈活,運用復數(shù)乘、除法的幾何意義解決綜合問題也是一個難點.而充分注意到復數(shù)本質上是一對有序實數(shù),從復數(shù)的向量表示出發(fā)理解,并突出復數(shù)與向量、三角函數(shù)、幾何之間的聯(lián)系,是突破這個難點的關鍵.學情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學活動準備【任務專題設計】1.復數(shù)的三角表示式2.復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義【教學目標設計】1.了解復數(shù)的三角表示式,理解復數(shù)與三角函數(shù)之間的關系.2.理解復數(shù)乘、除運算的幾何意義,會用三角表示其乘、除運算.【教學策略設計】復數(shù)的三角表示將復數(shù)、平面向量和三角函數(shù)三者緊密相連,從復數(shù)的運算看,復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義,就是相應平面向量的加、減運算.復數(shù)乘、除運算的三角形式的幾何意義,就是平面向量的旋轉、伸縮.復數(shù)的代數(shù)表示、三角表示及其運算都具有明顯的幾何意義,注重在關鍵點上強化數(shù)形結合,要注重引導,注重聯(lián)系,有助于學生深刻地認識、理解復數(shù)的表示與運算,提升學生的數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng).【教學方法建議】情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________【教學重點難點】重點1.復數(shù)的三角表示式.2.復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.難點1.復數(shù)與三角、向量、幾何相關知識間的聯(lián)系.2.利用乘、除的幾何意義解決問題.【教學材料準備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學活動設計教學導入師:前面我們研究了復數(shù)及其四則運算,同學們都了解到復數(shù)和平面向量的聯(lián)系很大,我們知道,復數(shù)可以用的形式來表示,復數(shù)與復平面內的點是一一對應的,與平面向量也是一一對應的.大家思考這樣一個問題:借助復數(shù)的幾何意義,復數(shù)還能不能用其他形式來表示呢？【學生回顧復習,交流討論】師:我們知道復平面內向量的坐標可以唯一確定一個復數(shù),而向量也可以由它的大小和方向唯一確定,那么能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數(shù)呢？如何表示？這將引出我們本節(jié)課重點:復數(shù)的三角表示.【設計意圖】以向量和復數(shù)做對比,引出課程主題,讓學生形成數(shù)學系統(tǒng),并引出復數(shù)的另一種表示方式教學精講師:同學們,向量的大小可以用模來刻畫,那么向量的方向如何刻畫?聯(lián)系一下《三角函數(shù)》一章中的任意角表示,我們可以借助以軸的非負半軸為始邊,以向量所在射線(射線)為終邊的角來刻畫的方向.【要點知識】復數(shù)的三角表示式記向量的模,由圖可以得到,【以學定教】從學生的角度出發(fā),以向量和三角作知識鋪墊,引入復數(shù)的三角形式相關概念,有助于學生對概念最初的把握師:設復數(shù),大家試著將和以這種形式代回到復數(shù)的代數(shù)形式中,寫出表達式.【學生思考問題,展開計算、討論】生:得到.師:正確!我們再進行一下簡化.【歸納總結】復數(shù)的三角表示式的推導,其中,.【觀察記憶能力】學生通過完成思考題目,形成完整的思路,通過觀察圖形可以建立對復數(shù)三角形式的認識,培養(yǎng)觀察記憶能力師:當點在實軸或虛軸上時,這個結論還成立嗎?生:成立,當點在實軸上時,;當點在虛軸上時,.師:正確!這樣,我們就可以用刻畫向量大小的模和刻畫向量方向的角表示了復數(shù).【要點知識】復數(shù)的三角表示式一般地,任何一個復數(shù)都可以表示成的形式.其中,是復數(shù)的模;是以軸的非負半軸為始邊,向量所在射線(射線)為終邊的角,叫做復數(shù)的輻角;叫做復數(shù)的三角表示式,簡稱三角形式.叫做復數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.師:顯然,任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值,聯(lián)系前面所學任意角的概念,這些角相差為哪個數(shù)的整數(shù)倍?例如復數(shù)的輻角怎么表示?復數(shù)呢?【學生積極思考,教師指定一名同學回答】生:相差的整數(shù)倍,復數(shù)的輻角是,復數(shù)的輻角是.師:非常好!那么復數(shù)0呢?因為復數(shù)0對應著零向量,而零向量的方向是任意的,所以復數(shù)0的輻角也是任意的.【以學論教】從學生的角度出發(fā),以學生熟悉的任意角的概念引入,把復數(shù)的輻角概念展示出來,有助于后面對輻角主值的理解【要點知識】復數(shù)的輻角主值我們規(guī)定在范圍內的輻角的值為輻角的主值,通常記作.注意:(1)任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值,且這些值相差的整數(shù)倍.(2)復數(shù)0的輻角是任意的.(3).師:所以我們在表示時這樣書寫:.師:同學們,我們明白了復數(shù)的三角表示式后,來通過幾個題目練習一下,加深印象.【典型例題】復數(shù)的三角表示式例1畫出下列復數(shù)對應的向量,并把這些復數(shù)表示成三角形式:(1);(2)1-i.【情境學習】學生在具體問題情境中,鞏固所學概念,深入理解復數(shù)的三角表示式師:同學們注意,只需要確定復數(shù)的模和一個輻角,就能將復數(shù)的代數(shù)形式轉化為三角形式.同學們認真思考,稍后請兩位同學到黑板上書寫.【學生積極思考、練習計算,教師指定學生在黑板上完成作答并予以肯定和點評】師:很好,同學們完成得都非常好！我們配合圖示可以更清晰地、直觀地了解它的幾何意義.【典例解析】復數(shù)的三角表示式解:(1)(2)【概括理解能力】學生通過獨立完成練習題目,再結合形象的圖示,可以建立對復數(shù)三角形式的認識,培養(yǎng)概括理解能力師:注意到第(1)題中,.因為與對應的點在第一象限,所以,所以.而第題中,.但與對應的點在第四象限,所以.所以.師:以上是將復數(shù)的代數(shù)形式轉化為三角形式,概括一下步驟,可以總結為.【歸納總結】復數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟復數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟:(1)先求復數(shù)的模.(2)決定輻角所在的象限.(3)根據象限求出輻角.(4)復數(shù)的三角形式.【分析計算能力】通過不斷練習之后,教師總結做題步驟,更有助于學生提升自己的分析計算能力師:但是同學們要注意:把一個復數(shù)表示成三角形式時,輻角不一定取主值,例如:也是的三角形式.接下來,我們再練習幾道由三角形式轉化為代數(shù)形式的題目.【典型例題】復數(shù)的代數(shù)表示式例2分別指出下列復數(shù)的模和一個輻角,畫出它們對應的向量,并把這些復數(shù)表示成代數(shù)形式:(1);(2).師:由三角形式轉化為代數(shù)形式,那也就是上述步驟逆過程了.請另外兩名同學到黑板上作答.【教師指定學生回答,并予以肯定,教師展示解答】【少教精教】教師在教授相關知識方法之后,讓學生先自主完成典型題目,使學生在獨立計算中,加深對這一部分概念的理解程度,教師少教,達到精教的目的【典例解析】復數(shù)的代數(shù)表示式解:(1)復數(shù)的模,一個輻角,對應的向量如圖①所示.所以.(2)復數(shù)的模,一個輻角,對應的向量如圖②所示.所以.師:同學們再思考這樣一個問題:兩個用三角形式表示的復數(shù)在什么條件下相等?【學生積極思考,同學間互相交流討論,教師總結并展示】【自主學習】教師在具體的問題情境中啟發(fā)學生主動思考,學生進行了自主思考之后,對這一部分的知識理解會更加深入【歸納總結】三角形式的復數(shù)相等條件每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.師:好了,同學們,理解了復數(shù)的這種表示方式后,我們進行一下練習,來看一下這幾道題.【鞏固練習】復數(shù)的三角表示1.把下列復數(shù)表示成三角形式,并且畫出與它們對應的向量:(1)4;(2)-i;(3);(4).2.下列復數(shù)是不是三角形式?如果不是,把它們表示成三角形式:(1);(2);(3);(4);(5).3.把下列復數(shù)表示成代數(shù)形式:(1);(2).【分析計算能力】在具體的問題中,不斷加強練習復數(shù)的三角形式與代數(shù)形式,加深對概念的理解,培養(yǎng)分析計算能力師:同學們,現(xiàn)在梳理一下本節(jié)主要內容,請同學們分組討論,梳理出本節(jié)的幾個核心知識點以及做題方法.【學生分組交流,查閱課本、筆記,總結重要知識點】【課堂小結】復數(shù)的三角表示式1.復數(shù)的三角表示式2.復數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟3.三角形式的復數(shù)相等條件每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等【設計意圖】通過本節(jié)課的學習,學生理解復數(shù)的三角表示式、會進行復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化、掌握三角形式的復數(shù)相等條件等知識,通過課堂小結,鍛煉了學生的歸納總結能力【課后作業(yè)】教材P89習題7.3第1~2題師:本節(jié)課我們主要學習了復數(shù)的三角表示式,注意復數(shù)和向量、三角函數(shù)、幾何之間的密切聯(lián)系,在不同的問題情境中可以選用恰當?shù)男问竭M行化簡、計算,必要時畫出復平面坐標系中的向量圖示,方便理解.教學評價本節(jié)課主要學習復數(shù)的三角形式,屬于復數(shù)一章的選學部分,但是對于理解復數(shù)與其他知識間的關系意義重大,也很重要,本節(jié)深入研究了復數(shù)與實數(shù)、向量、三角函數(shù)、幾何之間的關系,除了復數(shù)的代數(shù)形式,在有些問題情境下,其三角形式會更加直觀、簡便.通過復數(shù)的三角形式,可以賦予其乘、除運算的幾何意義,即是平面向量在復平面內的旋轉、伸縮.應用所學知識,完成下題:復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化:(1);(2).解析:,因為對應的點在第一象限,所以,即,所以.(2)復數(shù)的模,輻角的主值為..【設計意圖】教師引導學生思考,使學生體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點的演練,鍛煉自己的學科能力（觀察記憶、概括理解、分析計算）,從而達到數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)目標要求【以學定教】教師要讓學生理解復數(shù)的三角表示式,并能夠通過其幾何意義進行一些題目的簡化,并能在不同的具體情境中合理應用教學反思本節(jié)課內容分為2課時,本節(jié)雖然屬于復數(shù)一章的選學部分,但是對于理解復數(shù)與其他知識間的關系意義重大,在