【階段測驗四】線性代數(shù)

單選題其他1.λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當（）時，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

A、k1=0且k2=0

B、k1≠0且k2≠0

C、k1·k2=0

D、k1≠0而k2=0

【正確答案】：D

【答案解析】：A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同時為零，所以A、C不對；x1、x2是兩個不同的方程組的解，兩個方程的兩個非零向量解之和不再是其中一個方程的解，所以A的特征向量不選B。選D是因為k2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A的特征向量。2.0，-1，則f（A）的特征值為（）。

A、3，1，1

B、2，-1，-2

C、3，1，-1

D、3，0，1

【正確答案】：A

【答案解析】：設(shè)A的特征值是λ，則f（A）的特征值就是f（λ），把1，0，-1依次代入，得到3，1，1。3.（）。

A、1/12

B、1/7

C、7

D、12

【正確答案】：A

【答案解析】：A1.A為三階矩陣，0，-1，1為它的三個特征值。其對應(yīng)的特征向量為。設(shè)，則下列等式錯誤的是（）。

A、

B、

C、

D、Ap1=0

【正確答案】：C

【答案解析】：B1.二次型f(x,y)=x2-6xy+y2對應(yīng)的對稱矩陣為（）．

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：B

【答案解析】：f(x,y)=x2-6xy+y2對應(yīng)的矩陣為，因此可知選擇B，參見教材P163.（2014年7月真題）D1.對稱矩陣是（）.

A、負定矩陣

B、正定矩陣

C、半正定矩陣

D、不定矩陣

【正確答案】：B

【答案解析】：本題考查實二次型的分類.用順序主子式方法判定：2＞0，，所以A正定，故選擇B.參見教材P172.（2013年1月真題）E1.二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3的矩陣是（）．

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：本題考查二次型的矩陣，因此可知答案為C，參見教材P163.（2014年4月真題）2.二次型的矩陣為（）。

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：D

【答案解析】：二次型的矩陣的定義。3.二次型的矩陣為（）。

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：4.二次型f（x1，x2，x3）=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說法正確的是（）。

A、是正定的

B、其矩陣可逆

C、其秩為1

D、其秩為2

【正確答案】：C

【答案解析】：二次型的矩陣

所以r（A）=1，故選項C正確，選項A，B，D都不正確。5.二次型f=xTAx經(jīng)過滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy，則矩陣A與B（）。

A、一定合同

B、一定相似

C、即相似又合同

D、即不相似也不合同

【正確答案】：A

【答案解析】：f=xTAx=（Py）TA（Py）=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩陣A與B一定合同。只有當P是正交矩陣時，由于PT=P-1，所以A與B即相似又合同。6.二次型的正慣性指數(shù)為（）．

A、0

B、1

C、2

D、3

【正確答案】：C

【答案解析】：，因此正慣性指數(shù)為2，因此選擇C.（2014年10月真題）7.二次型的矩陣為（）。

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：8.二次型f（x1,x2）=x12+6x1x2+3x22的矩陣是（）.

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：A

【答案解析】：本題考查二次型相關(guān)概念。二次型與矩陣的對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該選A.9.二次型f(x,y)=x2-6xy+y2對應(yīng)的對稱矩陣為（）．

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：B

【答案解析】：f(x,y)=x2-6xy+y2對應(yīng)的矩陣為，F(xiàn)1.f（x1，x2，x3）=x12-2x1x2+4x32對應(yīng)的矩陣是（）。

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：x1，x2，x3平方項系數(shù)對應(yīng)主對角線元素：1，0，4。x1x2系數(shù)-2，對應(yīng)a12和a21系數(shù)的和，a12=-1，a21=-1。J1.矩陣有一個特征值為（）.

A、-3

B、-2

C、1

D、2

【正確答案】：B

【答案解析】：本題考查特征值與特征向量的定義。，λ=-2或λ=-4，選B.參見教材P129.（2015年4月真題）2.矩陣的特征值為（）。

A、1，1

B、2，2

C、1，2

D、0，0

【正確答案】：A

【答案解析】：

得到特征值是1，1。N1.n元實二次型正定的充分必要條件是（）。

A、該二次型的秩＝n

B、該二次型的負慣性指數(shù)＝n

C、該二次型的正慣性指數(shù)＝它的秩

D、該二次型的正慣性指數(shù)＝n

【正確答案】：D

【答案解析】：二次型正定的充分必要條件是二次型的正慣性指數(shù)＝n。R1.若f（x1,x2,x3）=kx12+（k-1）x22+（k-2）x33正定，則（）.

A、k>0

B、k>1

C、k>2

D、k≥2

【正確答案】：C

【答案解析】：本題考查正定的概念?！?/p>

∴A正定k>0，k-1>0，k-2>0k>2

選（C）2.若3階方陣A與對角陣相似，則下列說法錯誤的是（）.

A、|A|＝0

B、|A＋E|＝0

C、A有三個線性無關(guān)特征向量

D、R(A)＝2

【正確答案】：B

【答案解析】：本題考查相似標準形的結(jié)論.選項A，D等價，即秩（A）＝2＜3|A|＝0；選項C：因為A的三個特征值不同，所以三個特征向量線性無關(guān)；選項B：|A＋E|＝|－(－E－A)|＝(－1)3|(－1)E－A|＝0，即特征值為－1，而對角陣Λ的主對角線上三個特征值為2，0，3，所以B為錯誤選項.參見教材P142.（2013年1月真題）3.若f（x1，x2）=x12+2ax1x2+4x22正定，則有（）.

A、a>2

B、a<2

C、-2<a<2

D、0<a<2

【正確答案】：C

【答案解析】：本題考查正定的概念。

4.若，則一定有特征值（）．

A、-5

B、

C、

D、5

【正確答案】：A

【答案解析】：因為，故，因此一定有特征值為-5，選擇A，參見教材P128.（2014年7月真題）5.若3階方陣A與對角陣相似，則下列說法錯誤的是（）.

(A)＝2

【正確答案】：B

【答案解析】：本題考查相似標準形的結(jié)論.選項A，D等價，即秩（A）＝2＜3|A|＝0；選項C：因為A的三個特征值不同，所以三個特征向量線性無關(guān)；選項B：|A＋E|＝|－(－E－A)|＝(－1)3|(－1)E－A|＝0，即特征值為－1，而對角陣Λ的主對角線上三個特征值為2，0，3，所以B為錯誤選項.參見教材P142.（2013年1月真題）6.若α＝（1,1，t）與β＝（1,1,1）正交，則t＝（）.

A、－2

B、－1

C、0

D、1

【正確答案】：A

【答案解析】：本題考查向量內(nèi)積.因為α⊥β，所以（α，β）＝0，即1×1＋1×1＋t×1＝0，t＝－2.故選擇A.參見教材P148.（2013年1月真題）S1.設(shè)矩陣，則的特征值為（）.

A、1，1，0

B、

C、1，1，1

D、

【正確答案】：B

【答案解析】：故的特征值為.2.設(shè)3階矩陣，則下列向量中是的屬于特征值-2的特征向量為（）．

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：B

【答案解析】：A選項中，C選項中，D選項中，而B選項中，因此選擇B．（2014年10月真題）3.設(shè)1維3階實對稱矩陣A的2重特征值，則A的屬于1的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)為（）.

A、0

B、1

C、2

D、3

【正確答案】：C

【答案解析】：本題考查實對稱矩陣的性質(zhì)，因為1是2重根，因此一定有2個線性無關(guān)的特征向量，參見教材P154.（2013年10月真題）4.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CTAC，則下述結(jié)論（）不成立。

A、A與B相似

B、A與B等價

C、A與B有相同的特征值

D、A與B有相同的特征向量

【正確答案】：D

【答案解析】：∵C是正交陣，所以CT=C-1，B=C-1AC，因此A與B相似，A對。

C是正交陣|C|不等于0，CTAC相當對A實行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價，B對。

兩個相似矩陣A、B有相同的特征值，C對。

（λE-A）X=0，（λE-B）X=0是兩個不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個方程的非零解常常不同，所以只有D不對，選D。5.設(shè)A，B為正定陣，則（）。

A、AB，A+B都正定

B、AB正定，A+B非正定

C、AB非正定，A+B正定

D、AB不一定正定，A+B正定

【正確答案】：D

【答案解析】：∵A、B正定

∴對任何元素不全為零的向量X永遠有XTAX＞0；同時XTBX＞0。

因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是對稱陣。6.設(shè)f=XTAX，g=XTBX是兩個n元正定二次型，則（）未必是正定二次型。

A、XT（A+B）X

B、XTA-1X

C、XTB-1X

D、XTABX

【正確答案】：D

【答案解析】：因為f是正定二次型，A是n階正定陣，

所以A的n個特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，

|A|＞0，設(shè)APj=λjPj，則A-1Pj=Pj，A-1的n個特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，

這說明A-1為正定陣，XTA-1X為正定二定型，同理，XTB-1X為正定二次型，

對任意n維非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。

這說明XT（A+B）X為正定二次型，

由于兩個同階對稱陣的乘積未必為對稱陣，所以XTABX未必為正定二次型。7.設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2，2，3，則（）。

A、1/12

B、1/7

C、7

D、12

【正確答案】：A

【答案解析】：8.設(shè)α是矩陣A對應(yīng)于特征值λ的特征向量，P為可逆矩陣，則下列向量中（）是P-1AP對應(yīng)于λ的特征向量。

A、α

B、Pα

C、P-1αP

D、P-1α

【正確答案】：D

【答案解析】：∵設(shè)P-1AP=B∴A=PBP-1

又∵Aα=λ0α∴PBP-1α=λ0α

∴B（P-1α）=λ0(P-1α)9.設(shè)A的特征值為1，-1，向量α是屬于1的特征向量，β是屬于-1的特征向量，則下列論斷正確的是（）。

A、α和β線性無關(guān)

B、α+β是A的特征向量

C、α與β線性相關(guān)

D、α與β必正交

【正確答案】：A

【答案解析】：屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)，因此選擇A。10.實對稱矩陣A的秩等于r，又它有t個正特征值，則它的符號差為（）。

A、r

B、t-r

C、2t-r

D、r-t

【正確答案】：C

【答案解析】：A的正慣性指數(shù)為t，負慣性指數(shù)為r-t，因此符號差等于2t-r。11.設(shè)矩陣，則的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是（）.

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：當時，，故的基礎(chǔ)解系只含一個解，即只有一個屬于特征值的特征向量，故的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是.12.設(shè)矩陣，則的特征值為（）.

A、1，1，0

B、

C、1，1，1

D、

【正確答案】：B

【答案解析】：故的特征值為.13.設(shè)矩陣A與B相似，則下列結(jié)論錯誤的是（）。

A、A與B有相同的特征值

B、A與B有相同的特征向量

C、|A|=|B|

D、Ak與Bk也相似

【正確答案】：B

【答案解析】：根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)判斷B錯誤。14.設(shè)，則以矩陣A為對應(yīng)的二次型是（）。

A、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32

B、f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32

C、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x3

D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3

【正確答案】：C

【答案解析】：主對角線元素對應(yīng)x1，x2，x3平方項系數(shù)：1，1，1。a13和a31系數(shù)的和對應(yīng)x1x3的系數(shù)2。15.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CTAC，則下述結(jié)論（）不成立。

【正確答案】：D

【答案解析】：∵C是正交陣，所以CT=C-1，B=C-1AC，因此A與B相似，A對。

C是正交陣|C|不等于0，CTAC相當對A實行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價，B對。

兩個相似矩陣A、B有相同的特征值，C對。

（λE-A）X=0，（λE-B）X=0是兩個不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個方程的非零解常常不同，所以只有D不對，選D。16.設(shè)A為3階矩陣，且已知|3A+2E|=0，則A必有一個特征值為（）。

A、-3/2

B、-2/3

C、2/3

D、3/2

【正確答案】：B

【答案解析】：17.設(shè)（）。

A、線性無關(guān)

B、線性相關(guān)

C、對應(yīng)分量成比例

D、可能有零向量

【正確答案】：A

【答案解析】：A屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。18.設(shè)－2是3階矩陣A的一個特征值，則A2必有一個特征值為（）.

A、－8

B、－4

C、4

D、8

【正確答案】：C

【答案解析】：本題考查特征值與特征向量的若干結(jié)論.由定理5.1.3，A2的特征值為（－2）2＝4，故選擇C.參見教材P133.（2013年4月真題）19.設(shè)（）。

A、線性無關(guān)

B、線性相關(guān)

C、對應(yīng)分量成比例

D、可能有零向量

【正確答案】：A

【答案解析】：A屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。W1.為。設(shè)，則下列等式錯誤的是（）。

A、

B、

C、

D、Ap1=0

【正確答案】：C

【答案解析】：X1.下列矩陣中必相似于對角陣的有（）

A、實對稱陣

B、上三角陣

C、非異陣

D、正交陣

【正確答案】：A

【答案解析】：本題考查相似的概念。對稱矩陣必正交相似于對角陣，因此選A。2.下列矩陣必相似于對角矩陣的是（）。

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：C是對稱陣，必相似于對角陣，故選C。3.下列條件不能保證n階實對稱陣A為正定的是（）。

A、A-1正定

B、A沒有負的特征值

C、A的正慣性指數(shù)等于n

D、A合同于單位陣

【正確答案】：B

【答案解析】：A-1正定表明存在可逆矩陣C使CTA-1C=En，兩邊求逆得到

C-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=En

即A合同于En，A正定，因此不應(yīng)選A。

C是A正定的定義，也不是正確的選擇。

D表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣，于是只能B。

事實上，一個矩陣沒有負的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。4.下列矩陣中不是二次型的矩陣的是（）.

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：本題考查二次型的概念。

因為C不是對稱陣,故它不可能是二次型的矩陣.5.下列矩陣中不是二次型矩陣的是（）。

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：6.下列矩陣中不是二次型矩陣的是（）。

A、

B、

C、

D、

【正確答案】：C

【答案解析】：7.下列命題錯誤的是（）。

A、屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)

B、屬于同一特征值的特征向量必線性相關(guān)

C、相似矩陣必有相同的特征值

D、特征值相同的矩陣未必相似

【正確答案】：B

【答案解析】：屬于同一特征值的特征向量未必線性相關(guān)，比如單位陣的特征值全是1，但它有n個線性無關(guān)的特征向量，因此應(yīng)選擇B。Y1.已知f（x）=x2+x+1方陣A的特征值1，0，-1，則f（A）的特征值為（）。

A、3，1，1

B、2，-1，-2

C、3，1，-1

D、3，0，1

【