剖析應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的十種題型

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成金德

機(jī)械能守恒定律是高中物理中最重要的力學(xué)規(guī)律之一，是歷年高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容.

在實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)械能守恒定律往往與線、桿、彈簧等模型相聯(lián)系，再結(jié)合有關(guān)運(yùn)動(dòng)的合成與分解、平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)等相關(guān)知識(shí)，其綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)點(diǎn)多，難度較大的特點(diǎn)十分顯明.

為了更好地理解和把握機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，幫助大家做好復(fù)習(xí)備考工作，本文就熟練應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的十種題型作詳盡的分析和探討.

1.

機(jī)械能守恒條件的判定.

機(jī)械能是否守恒，可以通過下面?zhèn)€方面進(jìn)行判定：其一，對(duì)某一系統(tǒng)，假如只有重力和彈簧的彈力做功，其它的力不做功，或者做功的代數(shù)和等于零，則該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒;

其二，對(duì)某一系統(tǒng)，假如系統(tǒng)內(nèi)的物體間只有動(dòng)能和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化，沒有其它形式的能的轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

如圖1所示，一輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，將小球從與懸點(diǎn)O在同一水平面且使彈簧保持原長(zhǎng)的A點(diǎn)無初速釋放，讓小球自由擺下，不計(jì)空氣阻力.

在小球由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過程中，以下說法中正確的是（）

A.

小球的機(jī)械能守恒

B.

小球的機(jī)械能減少

C.

小球的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和不變

D.

小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

分析：對(duì)小球而言，重力和彈簧的彈力均做功，在小球自由擺下的過程中，小球的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能，小球的機(jī)械能不守恒，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確;若取小球和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力和彈簧的彈力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評(píng)：此題中，假如只取小球作為研究對(duì)象，則由于彈簧對(duì)小球做功，則小球的機(jī)械不守恒.

若取小球和彈簧組成的系統(tǒng)，由于只有重力和彈簧的彈力做功，則機(jī)械能守恒.

在判斷某一系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒時(shí)，必需弄清守恒的條件.

2.

單個(gè)物體的機(jī)械能守恒.

對(duì)單個(gè)物體（實(shí)際上包含地球，但在尋常狀況下，可以不提地球），機(jī)械能守恒條件是只有重力和彈簧的彈力做功.

（2022年海南卷）如圖2所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng).

已知小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為N1，在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為N2.

重力加速度大小為g，則N1-N2的值為（）

A.

3mgB.

4mg

C.

5mgD.

6mg

分析：小球在最低點(diǎn)時(shí)受到重力mg和軌道對(duì)小球的彈力的作用，設(shè)小球此時(shí)的速度為v1，根據(jù)牛頓其次定律可知：

-mg=m

根據(jù)牛頓第三定律可知：=N1

小球在最高點(diǎn)時(shí)受到重力mg和軌道對(duì)小球的彈力的作用，設(shè)小球此時(shí)的速度為v2，根據(jù)牛頓其次定律可知：

mg+=m

根據(jù)牛頓第三定律可知：=N2

小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，則機(jī)械能守恒.

取最低點(diǎn)處的重力勢(shì)能為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

m=mg·2R+m

解以上幾式得：N1-N2=6mg，則選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評(píng)：小球在光滑圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，由于只有重力做功，則此過程中小球的機(jī)械能守恒，這是解決此題的關(guān)鍵所在.

3.

多個(gè)物體的機(jī)械能守恒.

對(duì)涉及多個(gè)物體的問題，必需明確兩點(diǎn)：其一，涉及多個(gè)物體的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒的條件是只有系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈簧的彈力做功，其他力不做功或者做功的代數(shù)和等于零.

或者系統(tǒng)內(nèi)只允許勢(shì)能與動(dòng)能間的轉(zhuǎn)化，不允許系統(tǒng)內(nèi)機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化，更不允許系統(tǒng)內(nèi)與系統(tǒng)外間的能量轉(zhuǎn)化;其二，要弄清選取哪些物體作為系統(tǒng)時(shí)，機(jī)械能是守恒的.

選取哪些物體作為系統(tǒng)時(shí)，機(jī)械能是不守恒的.

如圖3所示，10個(gè)質(zhì)量均為m、半徑均為r的均勻剛性球，在施加于1號(hào)球的水平外力F的作用下均靜止，力F與圓槽在同一豎直面內(nèi)，此時(shí)1號(hào)球球心與它在水平槽運(yùn)動(dòng)時(shí)的球心高度差為h.

現(xiàn)撤去力F使小球開始運(yùn)動(dòng)，直到所有小球均運(yùn)動(dòng)到水平槽內(nèi).

重力加速度為g.

求：

（1）1號(hào)球剛運(yùn)動(dòng)到水平槽時(shí)的速度;

（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，2號(hào)球?qū)?號(hào)球所做的功.

分析：（1）1號(hào)球在下滑過程中，受到重力和圓槽的彈力作用，由于圓槽的彈力不做功，則1號(hào)球下滑過程中機(jī)械能守恒，則：

mgh=m

即1號(hào)球剛運(yùn)動(dòng)到水平槽時(shí)的速度為：v1=.

（2）取10個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，10個(gè)小球在下滑過程中只有重力做功，運(yùn)動(dòng)到水平槽上后，由于相互作用，最終以同一速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其間由于小球間的彈力作用，雖然有動(dòng)能與動(dòng)能間的轉(zhuǎn)移，但機(jī)械能守恒.

設(shè)10個(gè)小球的最終速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

10mg（h+9r·sin？茲）=·10m·v2

解得：v=

由動(dòng)能定理可求得2號(hào)球?qū)?號(hào)球所做的功為：

W=mv2-m=9mgrsin？茲

點(diǎn)評(píng)：1號(hào)球在下滑過程中，只有重力做功，此過程1號(hào)球的機(jī)械能守恒.

從開始到10個(gè)小球都運(yùn)動(dòng)到水平槽內(nèi)并做勻速運(yùn)動(dòng)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，由于小球間有相互作用力，而且，相互作用力做了功，實(shí)現(xiàn)小球間動(dòng)能的轉(zhuǎn)移，但10個(gè)小球的機(jī)械能依舊守恒.

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)于任何一個(gè)小球來說，由于相互作用力做了功，因此機(jī)械能都不守恒.

因此，在解題時(shí)，一定要弄明了機(jī)械能守恒的條件.

4.

多過程的機(jī)械能守恒.

求解多過程問題，關(guān)鍵在于弄清各個(gè)小過程中是否滿足機(jī)械能守恒的條件，假如系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈簧的彈力做功，則機(jī)械能守恒，可以應(yīng)用機(jī)械能守恒定律建立方程.

如圖4所示，質(zhì)量分別為3m、2m、m的三個(gè)小球A、B、C，用兩根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩相連，置于傾角為30°、高為L(zhǎng)的固定光滑斜面上，A球恰能從斜面頂端處豎直落下，弧形擋板使小球只能豎直向下運(yùn)動(dòng)，碰撞過程中沒有動(dòng)能損失，小球落地后均不再反彈，現(xiàn)由靜止開始釋放它們，不計(jì)所有摩擦.

求：

（1）A球剛要落地時(shí)的速度大小;

（2）C球剛要落地時(shí)的速度大小.

分析：（1）此題可分為三個(gè)小過程：小球A下落的過程;小球B從斜面頂端下落的過程;小球C從斜面頂端下落的過程.

在小球A下落的過程中，取三個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，只有重力做功，則機(jī)械能守恒.

取地面為零勢(shì)能處，設(shè)小球A下落到地面時(shí)的速度為v1，由機(jī)械能守恒定律得：

2mgLsin30°+3mg·2Lsin30°

=mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·6m·

解得：v1=

（2）在小球B下落的過程中，取B、C兩個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于只有重力做功，則機(jī)械能守恒.

設(shè)小球B下落到地面時(shí)的速度為v2，由機(jī)械能守恒定律得：

mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·3m·

=mg·2Lsin30°+·3m·

解得：v2=

在小球C下落的過程中，由于只有重力做功，則機(jī)械能守恒.

設(shè)小球C下落到地面時(shí)的速度為v3，由機(jī)械能守恒定律得：

mg·2Lsin30°+·m·=m

解得：v3=.

點(diǎn)評(píng)：此題中，從小球A開始下落到小球C下落到地面上的過程中，可以分為三個(gè)小過程.

在小球A下落過程中，只有取三個(gè)小球?yàn)橄到y(tǒng)時(shí)機(jī)械能才守恒;在小球B下落過程中，只有取B、C兩個(gè)小球?yàn)橄到y(tǒng)時(shí)機(jī)械能才守恒;在小球C下落過程中，只有取小球C為研究對(duì)象時(shí)機(jī)械能才守恒.

因此，在求解多過程問題時(shí)，必需弄清各個(gè)過程機(jī)械能是否守恒，選取哪些物體作為系統(tǒng)時(shí)機(jī)械能才守恒.

5.

繩子牽連的物體系的機(jī)械能守恒.

求解通過繩子牽連的物體構(gòu)成的系統(tǒng)問題，必需注意兩點(diǎn)：其一，要弄清機(jī)械能守恒的條件;其二，對(duì)于不可伸長(zhǎng)的繩子模型，繩子兩端的物體在沿著繩子方向的分速度大小一定相等.

有一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，用一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩連接的A、B兩球懸掛在圓柱面邊緣一側(cè)，A球質(zhì)量為B球質(zhì)量的2倍，現(xiàn)將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖5所示.

已知A球始終不離開圓柱內(nèi)表面，且細(xì)繩足夠長(zhǎng)，若不計(jì)一切摩擦阻力，求：

（1）A球沿圓柱內(nèi)表面滑至最低點(diǎn)時(shí)速度的大小;

（2）A球沿圓柱內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)的最大位移.

分析：（1）在A下滑至圓柱內(nèi)表面最低點(diǎn)的過程中，取A球、B球和繩子組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，除了重力做功外，繩子對(duì)A球做負(fù)功，繩子對(duì)B球做正功，其代數(shù)和等于零，可見，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

設(shè)A球滑至最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為vA，此時(shí)B球的速度為vB.

設(shè)B球的質(zhì)量為m，則A球的質(zhì)量為2m，由機(jī)械能守恒定律得：

2mgR-mgR=·2m·+m

由于兩個(gè)球沿著繩子方向的速度大小相等，將A球的速度vA分解為vA1和vA2，如圖6所示，則有：vB=vA1=vA

cos

45°

解以上兩式得：vA=2

（2）當(dāng)A球沿圓柱內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)的位移最大時(shí)，如圖7所示，此時(shí)A球的速度為0.

設(shè)A球最大位移為x，由幾何關(guān)系可求出A球下降的高度h：

h=

由機(jī)械能守恒定律得：2mgh-mgx=0

解得：x=R

點(diǎn)評(píng)：A球和B球通過繩子牽連，由于繩子的不可伸縮，則兩個(gè)球沿著繩子方向的速度大小相等.

此題中，在A球下滑的過程中，雖然繩子分別對(duì)兩個(gè)球做功，但做功的代數(shù)和等于零，所以，在A球下滑的過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

6.

輕桿牽連的物體系的機(jī)械能守恒.

通過輕桿連接的物體系，由于輕桿的不可伸縮性，在輕桿方向上，輕桿兩端的物體的分速度大小相等.

輕桿通過做功可以起到傳遞機(jī)械能的作用，但系統(tǒng)的機(jī)械能總量不變.

如圖8所示，有一光滑軌道ABC，AB部分是半徑為R的圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長(zhǎng)為R，忽視小球的大小.

開始時(shí)a球處在圓弧上端的A點(diǎn)，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑，以下說法正確的是（）

A.

a球下滑過程中機(jī)械能守恒

B.

a、b兩球和輕桿組成的系統(tǒng)在下滑過程中機(jī)械守恒

C.

a、b滑到水平軌道上時(shí)速度大小為

D.

從釋放到a、b滑到水平軌道上，整個(gè)過程中輕桿對(duì)a球做的功為mgR

分析：對(duì)a球來說，重力和輕桿對(duì)它的彈力都做正功，因此，a球的機(jī)械能增加，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)a、b兩球和輕桿組成的系統(tǒng)，在下滑過程中除了重力做功外，輕桿對(duì)a球做正功，對(duì)b球做負(fù)功，且代數(shù)和等于零，因此，a、b兩球和輕桿組成的系統(tǒng)總機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B正確;

對(duì)a、b系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得：

mgR+mg·2R=·2m·v2

解得：v=，可見，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)a應(yīng)用動(dòng)能定理得：mgR+W=mv2，解得W=mgR，所以，選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評(píng)：此題中，由a球、b球和輕桿組成的系統(tǒng)，雖然輕桿分別對(duì)兩球做了功，但代數(shù)和等于零，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

但對(duì)于其中的任一個(gè)球，機(jī)械能都不守恒.

在兩個(gè)球下滑過程中，它們的速度并不相等，但沿著輕桿方向的分速度大小一定相等.

7.

彈簧牽連的物體系的機(jī)械能守恒.

由彈簧和通過彈簧相牽連的兩個(gè)物體所組成的系統(tǒng)，假如只有彈簧的彈力和重力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

在相互作用過程中，當(dāng)彈簧拉伸至最長(zhǎng)（或壓縮至最短）時(shí)，彈簧兩端的物體具有一致的速度.

假如彈簧和通過彈簧相牽連的兩個(gè)物體所組成的系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，則當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度為自然長(zhǎng)度時(shí)（無形變），系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度.

假如彈簧與其兩端的物體不相連，彈簧的作用是將其儲(chǔ)存的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能.

如圖9所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道與高為10R的光滑斜軌道放在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡.

在水平軌道上，輕質(zhì)彈簧被a、b兩個(gè)小球擠壓但不與兩球連接，處于靜止?fàn)顟B(tài).

同時(shí)釋放兩個(gè)小球，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點(diǎn)A，b球恰好能到達(dá)斜軌道的最高點(diǎn)B.

已知a球質(zhì)量為m1，b球質(zhì)量為m2，重力加速度為g.

求：

（1）a球離開彈簧時(shí)的速度大小va;

（2）b球離開彈簧時(shí)的速度大小vb;

（3）釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能Ep

.

分析：（1）由于a球恰好能通過圓弧軌道的最高點(diǎn)A，由牛頓其次定律可知：

m1g=m1

a球被彈簧推出至運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，即：

m1=m1+m1g·2R

所以，a球離開彈簧時(shí)的速度大小為：va=.

（2）b球從被彈簧推出至運(yùn)動(dòng)到斜軌道的最高點(diǎn)B的過程中，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，即：

m2=m2g·10R

則b球離開彈簧時(shí)的速度大小vb為：vb=2

（3）在釋放小球的過程中，取彈簧和兩個(gè)小球?yàn)橄到y(tǒng)，由于系統(tǒng)只有彈簧的彈力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，設(shè)彈簧在釋放小球前具有的彈性勢(shì)能為Ep，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：Ep=m1+m2

解得：Ep=（m1+10m2）Rg

點(diǎn)評(píng)：此題中的彈簧與其兩端的小球并不相連，所以，彈簧通過彈力將其勢(shì)能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)小球的動(dòng)能.

就其中的一個(gè)小球而言，由于彈簧的彈力做功，其機(jī)械能不守恒，但假如取兩個(gè)小球和彈簧組成的系統(tǒng)，則在相互作用過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

8.

勻質(zhì)鏈條的機(jī)械能守恒.

對(duì)于勻質(zhì)鏈條類問題，由于在運(yùn)動(dòng)過程中，鏈條的重心位置相對(duì)鏈條要發(fā)生變化，因此，求解鏈條類問題時(shí)，不能簡(jiǎn)單地將鏈條當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理.

假如鏈條只在重力做功的狀況下，則可以應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解.

求解時(shí)，往往將鏈條分段進(jìn)行處理.

如圖10所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長(zhǎng)的光滑斜面，斜面體固定不動(dòng)，AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻柔和鏈條開始時(shí)靜止地放在ABC面上，其一端D至B的距離為L(zhǎng)-a，其中a未知，現(xiàn)自由釋放鏈條，當(dāng)鏈條的D端滑到B點(diǎn)時(shí)鏈條的速率為v，求a.

分析：在鏈條下滑的過程中，由于只有重力做功，則機(jī)械能守恒.

取光滑水平面AB處為零勢(shì)能位置，設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m，則鏈條開始時(shí)的機(jī)械能為：

E1=-am·g·asinα

當(dāng)鏈條的D端滑到B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)鏈條的機(jī)械能為：

E2=-Lm·g·Lsinα+Lmv2

由機(jī)械能守恒定律知：E1=E2

解以上方程得：a=

點(diǎn)評(píng)：由于鏈條下滑的過程中只有重力做功，所以，鏈條的機(jī)械能守恒.

開始時(shí)，在確定重力勢(shì)能時(shí)，可以將鏈條分為兩段進(jìn)行處理，這樣就很簡(jiǎn)單求出鏈條的重力勢(shì)能，從而使問題得到順利解答.

9.

流體的機(jī)械能守恒.

對(duì)于流體，在狀態(tài)變化的過程中，由于流體的重力勢(shì)能的變化與過程無關(guān)，只與始末狀態(tài)有關(guān)，因此，求解流體問題，尋常采用等效法.

求解時(shí)要注意整段液柱的重力勢(shì)能的變化相當(dāng)于某一部分液柱的重力勢(shì)能的變化.

如圖11所示，一粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有同種液體豎直放置，右管口用蓋板A密閉一部分氣體，左管口開口，兩液面高度差為h，U形管中液柱總長(zhǎng)為4h，現(xiàn)取走蓋板，液柱開始滾動(dòng).

當(dāng)兩側(cè)液面恰好相齊時(shí)右側(cè)液面下降的速度大小為多大？

分析：取走蓋板，在液體滾動(dòng)的過程中，由于只有液體的重力做功，所以，液體的機(jī)械能守恒.

當(dāng)兩側(cè)液面恰好相齊時(shí)，設(shè)此時(shí)右側(cè)液面下降的速度為v，高為h/2的液體的質(zhì)量為m.

在此過程中，整段液體重力勢(shì)能的減少量相當(dāng)于將如圖12所示的高為h/2的液柱1移到位置2時(shí)減少的重力勢(shì)能，即：

△Ep=-mg·

顯然，此過程減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為整段液體的動(dòng)能，由機(jī)械能守恒定律得：

mg·=·8m·v2

解得：v=

點(diǎn)評(píng)：此題中，在液體滾動(dòng)過程中，液體重力勢(shì)能減少，轉(zhuǎn)化為液體的動(dòng)能.

求解此題的關(guān)鍵在于如何確定液體重力勢(shì)能的減少量，這里采用了等效法，即把整段液體重力勢(shì)能的減少量等效為高為h/2的液柱下降h/2高度所減少的重力勢(shì)能.

這樣，就可以順利地找到了解題的突破口.

10.

綜合問題的機(jī)械能守恒.

在求解綜合問題時(shí)，只有那些只有重力做功和彈簧的彈力做功的狀況下，才能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律.

尋常狀況下，對(duì)一個(gè)綜合性的力學(xué)問題，往往要綜合應(yīng)用不同的力學(xué)規(guī)律，在求解時(shí)，務(wù)必正確分析物理過程和特點(diǎn)，確切選取物理規(guī)律.

2022年新年伊始，人們懷著對(duì)新一年的美好祝愿和期盼，在廣場(chǎng)的水平地面上樹立了2022數(shù)字模型，如圖13所示，該模型是由較細(xì)的光滑管道制造而成，每個(gè)數(shù)字高度相等，數(shù)字2上半部分是半徑R1=1m的圓形管道，數(shù)字0是半徑R2=1.5m的圓形管道，2與0之間分別由導(dǎo)軌EF和HM連接，最右側(cè)數(shù)字0管道出口處與四分之一圓軌道MN連接.

從軌道AB上某處由靜止釋放質(zhì)量為m=1kg的小球，若釋放點(diǎn)足夠高，小球可以順著軌道連續(xù)通過2022管道并且可以再次返回2022管道