安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”2022-2023學年數(shù)學高三上期末達標測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”,該比例在設計和建筑領域有著廣泛的應用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺,塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比,第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”,若兩展望臺間高度差為100米,則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米2.《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據(jù)測驗結果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲3.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關4.已知,,,則()A. B.C. D.5.三棱柱中,底面邊長和側棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.若復數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.7.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.8.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.9.當時,函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.對于函數(shù),定義滿足的實數(shù)為的不動點,設,其中且,若有且僅有一個不動點,則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為,過作一條直線與雙曲線右支交于兩點,坐標原點為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中項的系數(shù)為_______.14.點到直線的距離為________15.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.16.在四面體中,與都是邊長為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.18.(12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下:抽獎者擲各面標有點數(shù)的正方體骰子次,若擲得點數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎;否則獲得三等獎,結束抽獎,已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球,抽獎者從箱中任意摸出個球,若個球均為紅球,則獲得一等獎,若個球為個紅球和個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;若一等獎可獲獎金元,二等獎可獲獎金元,三等獎可獲獎金元,記顧客一次抽獎所獲得的獎金為,若商場希望的數(shù)學期望不超過元,求的最小值.19.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點.(1)證明:平面;(2)求幾何體的體積.20.(12分)在中,內角的邊長分別為,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面積,求和的值.21.(12分)在中,,.已知分別是的中點.將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.22.(10分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何關系,結合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離,進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設第一展望臺到塔底的高度為米,塔的實際高度為米,幾何關系如下圖所示:由題意可得,解得;且滿足,故解得塔高米,即塔高約為480米.故選:B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應用,屬于基礎題.2、D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析,由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項,甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項錯誤.對于B選項,甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項錯誤.對于C選項,乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項錯誤.對于D選項,甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項正確.故選:D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎題.3、B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵,屬于基礎題.4、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系式,化簡可得,即可求得結果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.5、B【解析】

設,,,根據(jù)向量線性運算法則可表示出和;分別求解出和,,根據(jù)向量夾角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【詳解】設棱長為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項:【點睛】本題考查異面直線所成角的求解,關鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉化為向量夾角的求解問題.6、C【解析】

由復數(shù)的幾何意義可得表示復數(shù),對應的兩點間的距離,由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復數(shù)的幾何意義可得,復數(shù)對應的點為,復數(shù)對應的點為,所以,其中,故選C【點睛】本題主要考查復數(shù)的幾何意義,由復數(shù)的幾何意義,將轉化為兩復數(shù)所對應點的距離求值即可,屬于基礎題型.7、D【解析】

先判斷函數(shù)在時的單調性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質可以得到,比較三個數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時的單調性,比較出三個數(shù)的大小.【詳解】當時,,函數(shù)在時,是增函數(shù).因為,所以函數(shù)是奇函數(shù),所以有,因為,函數(shù)在時,是增函數(shù),所以,故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)值大小問題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調性是解題的關鍵.8、D【解析】

選取為基底,其他向量都用基底表示后進行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標明確,易于操作.9、B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個零點,,不正確,設,則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個極大值點,不成立,排除,故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調性,導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項一一排除.10、C【解析】

根據(jù)不動點的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構造函數(shù),并討論的單調性與最值,畫出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當時,,則在內單調遞增;當時,,則在內單調遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個不動點,可得得或,解得或.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的應用,由導數(shù)確定函數(shù)的單調性與最值,分離參數(shù)法與構造函數(shù)方法的應用,屬于中檔題.11、B【解析】

由題可知,,再結合雙曲線第一定義,可得,對有,即,解得,再對,由勾股定理可得,化簡即可求解【詳解】如圖,因為,所以.因為所以.在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質的應用,屬于中檔題12、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,平面向量夾角的求法,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、40【解析】

根據(jù)二項定理展開式,求得r的值,進而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項定理展開式的通項式得所以,解得所以系數(shù)【點睛】本題考查了二項式定理的簡單應用,屬于基礎題.14、2【解析】

直接根據(jù)點到直線的距離公式即可求出?!驹斀狻恳罁?jù)點到直線的距離公式,點到直線的距離為?!军c睛】本題主要考查點到直線的距離公式的應用。15、4【解析】

由題意結合代數(shù)式的特點和均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果.【詳解】.當且僅當時等號成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系,然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.16、【解析】

先確定球心的位置,結合勾股定理可求球的半徑,進而可得球的面積.【詳解】取的外心為,設為球心,連接,則平面,取的中點,連接,,過做于點,易知四邊形為矩形,連接,,設,.連接,則,,三點共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題,外接球的半徑的求解一般有兩個思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】

(1)求出導函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結合(1)的單調性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍;(ii)設,通過轉化,討論函數(shù)的單調性得證.【詳解】(1)因為,所以當時,在上恒成立,所以在上單調遞增,當時,的解集為,的解集為,所以的單調增區(qū)間為,的單調減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當時,在上單調遞增,至多一個零點,不符題意,當時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設,則,所以單調遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為,所以,因為,所以,設,則,所以,解得,所以,所以,設,則,設,則,所以單調遞增,所以,所以,即,所以單調遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點睛】此題考查利用導函數(shù)處理函數(shù)的單調性,根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過等價轉化證明與零點相關的命題.18、;.【解析】

設顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,求出;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,相應求出概率,求出期望,化簡得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,所以;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機變量的數(shù)學期望,,化簡得,由題意可知,,即,化簡得,因為,解得,即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.19、(1)見解析;(2)【解析】

(1)由題可知,根據(jù)三角形的中位線的性質,得出,根據(jù)矩形的性質得出,所以,再利用線面平行的判定定理即可證出平面;(2)由于平面平面,根據(jù)面面垂直的性質,得出平面,從而得出到平面的距離為,結合棱錐的體積公式,即可求得結果.【詳解】解:(1)∵,分別為,的中點,∴,∵四邊形是矩形,∴,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)取,的中點,,連接,,,,則,由于為三棱柱,為四棱錐,∵平面平面,∴平面,由已知可求得,∴到平面的距離為,因為四邊形是矩形,,,,設幾何體的體積為,則,∴,即:.【點睛】本題考查線面平行的判定、面面垂直的性質和棱錐的體積公式,考查邏輯推理和計算能力.20、(1);(2).【解析】

(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理計算即可得到所求值;

(2)運用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式,化簡可得sinA+sinB=5sinC,運用正弦定理和三角形的面積公式可得a,b的方程組,解方程即可得到所求值.【詳解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運用,以及三角函數(shù)的恒等變換,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.21、(1)證明見解析(2)45°【解析】

(1)設的中點為,連接,設的中點為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導出,從而平面,則,即,進而平面,推導四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點,在平面中過B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點,∴.設的中點為,連接.設的中點為,連接,

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