兩角和與差的三角函數(shù)

2.兩角和與差的三角函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)兩角和與差的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖同名兩**弦護(hù)相加相減逆用兩角和與差的F角函數(shù)公式式右用正切黑升甫公式積化和差公式和差化積公式倍角公式兩角和與差的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖同名兩**弦護(hù)相加相減逆用兩角和與差的F角函數(shù)公式式右用正切黑升甫公式積化和差公式和差化積公式倍角公式兩邊開(kāi)平方*半角公式畫(huà)龍點(diǎn)晴公式兩角和與差的余弦：cos(a+B)=cosacosB—sinasinB，cos(a—B)=cosacosB+sinasinp.證明：在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,并作出角a,卩與-卩，使角a的始邊為Ox,交圓O于點(diǎn)P]，終邊交圓O于點(diǎn)P2;角卩的始邊為OP2,終邊交圓O于點(diǎn)P3,角-卩的始邊為OP1,終邊交圓O于點(diǎn)P4,這時(shí)點(diǎn)P],P2,P3,P4的坐標(biāo)分另U是P1(1,0),P2(cosa,sina),P3(cos(a+卩),sin(a+卩)),P4(cos(—卩),sin(—卩)).由|P1P3I=|P2P4I及兩點(diǎn)間距離公式，得[cos(a+P)一1]2+sin2(a+P)二[cos(—P)一cosa]2+[sin(—P)一sina]2.展開(kāi)并整理，得2-2cos(a+P)=2—2(cosacosP—sinasinP),所以cos(a+P)=cosacosP—sinasinp.這個(gè)公式對(duì)于任意的角幺,卩都成立.在公式中用-卩代替p,就得到cos(a-P)=cosacos(-P)—sinasin(-P),即cos(a—P)=cosacosP+sinasinP.[活用實(shí)例]［例1］計(jì)算：⑴cos65°cosll5°-cos25°sinll5°;(2)—cos70°cos20°+sinll0°sin20°.［題解］(l)原式=cos65°cosll5?！猻in65°sinll5°=cos(65°+ll5°)=cosl80°=—l;(2)原式=—cos70°cos20°+sin70°sin20°=—cos(70°+20°)=0.3l2［例2］已知sina=-，cosp=一求cos(a—p)的值.5l3［題解］Vsina=3>0,cosp=>0a可能在一、二象限，p在一、四象限5l3若a、p均在第一象限，貝9cosa=4，sinp=—cos(a—p)=4-丄+3■—=63;5l35l35l365若a在第一象限，p在四象限，貝9cosa=4，sinp=-—cos(a—p)=4-丄+3-(―巴)=33;5l35l35l365若a在第二象限，p在一象限，貝9cosa=—-，sinp=—cos(a—p)=(—―)-咚+3-—=—33;5l35l35l365若a在第二象限，p在四象限，則cosa=—-，sinp=——cos(a—p)=(—4).更+3.(—A)=—魚(yú).5l35l35l36535［例3］已知銳角a,p滿(mǎn)足cosa=-cos(a+p)=-一求cosp.5l3［題解］?.?cosa=5???航=4又???噸+p)=-滬???a+卩為鈍角???罰+卩弋,53l2-33?.cosp=cos［(a+p)—a］=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina=一?-+-l35l3565兩角和與差的正弦:sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,sin(a—p)=sinacosp—cosasinp.證明:在兩角和的余弦公式中,利用誘導(dǎo)公式,可得到sin(a+p)=cos［乞—(a+p)］=cos［(乞—a)—p］=cos(-—a)cosp+sin(-—a)sinp=sinacosB+cosasin卩,2222即sin(a+p)=sinacosp+cosasinp.用-p代替上面公式中的p，可得到sin(a-p)=sinacos(-p)+cosasin(-p),即sin(a—p)=sinacosp—cosasinp.［活用實(shí)例］3-［例4］已知sina+cosp=5①，cosa+sinp二5②，求sin(a+p).［題解］①2：sin2a+2sinacosp+cos2p二2③l6②2：cos2a+2cosasinp+sin2p二--④③+④：2+2(sinacosp+cosasinp)=l即：sin(a+p)=-—.2［例5］已知sin(a+p)=—,sin(a—p)=-求tana的值.35tanp［題解］..、誠(chéng)口+直匸2sinacosp+cosasinp=—①3322sin(a—p)=52?:sinacosp—cosasinp=5①+②：sinacosp=15①—②:2cosasinp=15=tana=sinacosp_15tanpcosasinp_2=415=［［例6］已知專(zhuān)＜卩“＜丁,123cos(a-卩)=石，sin(a邛)=-5'求sin2a的值.冬冬＜卩＜a＜込2419［題解］???cos(a-p)=13>0???。<a—卩*???sin(a-p)=I3???K<a+P<號(hào)又：sin(a+P)=—3??cos(a+p)=—sin2a=sin［Q+p)+(a—p)］=sin?+p)cos?—p)+c0s(a+p)sin?—p)=—3x12513兩角和與差的正切：tana+tanptana—tanptan(a+p)=,tan(a—p)=.1—tanatanp1+tanatanp45556x=—?1365tana+tana+tanp1—tanatanp用-卩代替上面公式中的卩，得到tan(a—p)=tana—tanp1+tanatanp變形：tana+tanp=tan(a+p)(1-tanatanp).證明：?cos(a+p)=cosacosp—sinasinp,sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,當(dāng)cos(a+p)豐0時(shí),將兩式的兩邊分別相除，即tan(a+p)=［活用實(shí)例］［例7］［例7］已知tana=—tanp=—2求cot(a—p)，并求a+p的值，其中0。＜口＜90。,90o<p<180o.11+tanatanp［題解］cot(a—p)=臥市=tana-tanptan(a+p)=tana+tan咒1一tanatanp411—3x(—2)—1,且?.?0°vav90°,90°vp<180。???90°va+p<270。/.a+p=135°.［例8］求下列各式的值：(1)1+tan75。；(2)tan17o+tan28o+tan17otan28o.1一tan75。［題解］(1)原式=tan45°+tan75°=tan(45。+75。)=tan120。=—3.1一tan45。tan75。(2)?tan(17。+28。)=(2)?tan(17。+28。)=1—tan17。tan28。?tan17o+tan28o=tan(17o+28o)(1—tan17otan28o)=1—tan17otan28o,

原式=1一tanl7°tan28°+tanl7°tan28°=l.［例9］求(1+tanl°)(l+tan2°)(l+tan3。)(1+tan44。).［題解］(1+tanlo)(1+tan44°)=1+tan1o+tan44o+tan1otan44o=1+tan45°(1—tan1°tan44°)+tan1°tan44°=2同理：(1+tan2o)(1+tan43o)=2,(1+tan3o)(1+tan42o)=2,……???原式=222.二倍角的正弦、余弦、正切、余切：sin2a=2sinacosa,cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1一2sin2a_2tana-cot2a—1tan2a=,cot2a=.1—tan2a2cota一-,1+cos2a1—cos2a降冪升角公式：cos2a=-,sin2a=2a宀?a升幕縮角公式：1+cosa=2cos2—,1-cosa=2sin2—.三倍角的正弦、余弦、正切：sin3a=3sina一sin3a=3sina一4sin3a,cos3a=4cos3a—3cosa,tan3a=1—tan2a［活用實(shí)例］［例10］/.5k5k、［例10］/.5k5k、/?5兀5兀、(1)(sin+cos)(sin—cos);12121212112)aacos4—sin4；22'(3)—；1—tana1+tana4)1+2cos29一cos20⑴(sin—+cos—)(sin——cos—)=sin25一cos2=—cos=-12121212121262［例11］aa［例11］aaaaaa2)cos4-sin4=(cos2+sin2)(cos2—sin2)=cosa；22222211=2tana=_;1—tana1+tana1一tan2a=tana‘1+2cos20—cos20=1+2cos20—2cos20+1=2.kksin2a+cosacos(+a)—sm2(—a)的值是與a無(wú)關(guān)的定值。363)4)求證：11kk［題解］原式=j一心2^一尹-cos(3-2a)］+cosacos(3+a)12TOC\o"1-5"\h\z冗冗12-2a)-cos2a］+cosa(cos3cosa—sin3sina)=^(coscos2a+sinsin2a—cos2a)+-^cos2a-上3cosasina)233221-311i'31=—cos2a+sin2a—cos2a+—(1+cos2a)一sin2a)=422444?:sin2a+cosacos(3+a)—sin2(6—a)的值與a無(wú)關(guān).22［例［例12］化簡(jiǎn)：［題解］原式=1+cos0-sin01一cos0-sin0+1-cos0-sin01+cos0-sin02202?002?202?00TOC\o"1-5"\h\z2coS2-2sincos2sin2-2sinco-222+222c?0c?00c0c?002sin2-2sincos2cos2-2sincos—22222220(0?0)2?0(?00)2cos—(cos—-sin)2sin(sin一cos—)222|222=+—2.0(.00)20(0.0)2sin(sin一cos—)2cos—(cossin)222222=-(cot0+tan0)=-(22sin01+cos01一cos0+sin0)=一忌=-2csc0半角的正弦、余弦、正切:.a1-cosaa1+cosasin=±,cos=±.L'222a,tan=土2.1-cosa\1+cosaa1-cosasina另有：tan==—2sina1+cosa萬(wàn)能公式：aa2tan1一tan2—22sina=,cosa=,tana=aaa1+tan21+tan21一tan2—222a不論a角的哪一種三角函數(shù)，都可用這幾個(gè)公式把它化為tan-的有理式，這樣就可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以atan-為變量的一元有理函數(shù)，從而有助于問(wèn)題的解決，因此把這組公式叫做萬(wàn)能公式.［活用實(shí)例］［例13］已知sin0=-3,3兀<0<孚,求tan2.［題解1］因?yàn)閟in0=一3,3k<0<—,所以cos0=-1-sin2?二52一4一5,一3,咅=-3.21+cos041+(一5)0sin0tan—=—1［題解2］cos0=—：1_.043k07兀sin2二一一,且<—<,25224卜(-5)=-3丫1+cos0「+(-1)?0|'1-cos0tan=—22［題解3］由萬(wàn)能公式，有-52tan299=n3tan2+10tan+3=09221+tan229ntan=23兀19一一,或tan—3297?！?.9但由已知<—<—4-,得tan—<-1,所以tan—=—3.b[例14]已知tan9=—,求證:acos29+bsin29=a.a2tan91+tan291+tan291—tan29[題解1]由萬(wàn)能公式，有acos29+bsin29=a-+b-1—冬2xba27aa(a2—b2)+2a2b2a2+b2=a-+b-==a-=a.b2b2a2+b2a2+b21+1+a2a2［題解2］因?yàn)閠an9=-,由半角的正切公式，得a1_cosj9=2nbsin29=a(1—cos29)nacos29+bsin29=a.sin29a三角函數(shù)的積化和差公式:2[sin(a+P)+sin(a—P)]2[sin(a+P)—sin(a—P)]論卻=孰心卩)+cos(a一卩)]sinasinP=—2[cos(a+P)一cos(a一卩)].sinacosP=cosasinP=三角函數(shù)的和差化積公式:9+申9—申sin9+sinQ=2smcos—229+Q?9—Qsin9—sinQ=2cossin—229+Q9—Qcos9+cosQ=2coscos—22cos9—cosQ=—2sin°+Qsin°Q2［活用實(shí)例］sin7o+cosl5o-sin8o[例15]求cos7o—sin15o-sin8o的值.[題解1]sin70+cos??sin80=Si(15-8)+cos】50?Sins。=sin】5。?cosS。=ta?i50=2=3cos7o一sin15o?sin8。cos(15一8)。一sin15o?sin8ocos15o?cos8osin7。+cos15o?sin8osin7o+2(sin23o一sin7o)sin23o+sin7o[題解2]cos7。一si"5。?sin8。=cos7o+2(cos23o-cos7o)=cos23。-歸。2sin15ocos82sin15ocos8o2cos15ocos8o=tan15o1-cos3。。sin3。。［例16］［例16］已知△ABC的三個(gè)角A,B,C滿(mǎn)足A+C=2B,丄A+丄二一，求cos筈：的值.cosAcosAcosB2［題解1］由題設(shè)條件知B=6o°,A+C=12o