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2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)1卷(理科)一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},則A∩B=()A.(﹣3,﹣)2.設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實(shí)數(shù),則|x+yi|=()A.1B.C.D.23.已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=()A.100B.99C.98D.97B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)4.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A.B.C.D.5.已知方程﹣=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)6.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是()A.17πB.18πC.20πD.28π7.函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的圖象大致為()A.B.C.D.8.若a>b>1,0<c<1,則()A.a(chǎn)c<bcB.a(chǎn)bc<bacC.a(chǎn)logbc<blogacD.logac<logbc9.執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的x=0,y=1,n=1,則輸出x,y的值滿足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2B.4C.6D.811.平面α過(guò)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m、n所成角的正弦值為()A.B.C.D.12.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣為f(x)的零點(diǎn),x=為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸,且f(x)在()上單調(diào),則ω的最大值為(),A.11B.9C.7D.5二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.設(shè)向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,則m=.14.(2x+)5的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)15.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.16.某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).18.(12分)如圖,在以A,B,C,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°.(Ⅰ)證明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.19.(12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(Ⅲ)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?20.(12分)設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(Ⅰ)求a的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-1:幾何證明選講]22.(10分)如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓.(Ⅰ)證明:直線AB與⊙O相切;(Ⅱ)點(diǎn)C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明:AB∥CD.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)說(shuō)明C1是哪種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.[選修4-5:不等式選講]24.已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在圖中畫(huà)出y=f(x)的圖象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)1卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),B={x|2x﹣3>0}=(,+∞),∴A∩B=(,3),故選:D2.【解答】解:∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,即故選:B.,解得,即|x+yi|=|1+i|=,3.【解答】解:∵等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,S9===9a5.∴9a5=27,a5=3,又∵a10=8,∴d=1,∴a100=a5+95d=98,故選:C4.【解答】解:設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為y,當(dāng)y在7:50至8:00,或8:20至8:30時(shí),小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘,故P==,故選:B5.【解答】解:∵雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,∴c=2,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,∵方程﹣=1表示雙曲線,∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,解得:﹣1<n<3,即n的取值范圍是:(﹣1,3).當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,無(wú)解.故選:A.6.【解答】解:由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)球去掉后的幾何體,如圖:可得:=,R=2.它的表面積是:×4π?22+=17π.故選:A.7.【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|,∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|,故函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)x=±2時(shí),y=8﹣e2∈(0,1),故排除A,B;當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=y=2x2﹣ex,∴f′(x)=4x﹣ex=0有解,故函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是單調(diào)的,故排除C,故選:D8.【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,∴函數(shù)f(x)=xc在(0,+∞)上為增函數(shù),故ac>bc,故A錯(cuò)誤;函數(shù)f(x)=xc﹣1在(0,+∞)上為減函數(shù),故ac﹣1<bc﹣1,故bac<abc,即abc>bac;故B錯(cuò)誤;logac<0,且logbc<0,logab<1,即=<1,即logac>logbc.故D錯(cuò)誤;0<﹣logac<﹣logbc,故﹣blogac<﹣alogbc,即blogac>alogbc,即alogbc<blogac,故C正確;故選:C9.【解答】解:輸入x=0,y=1,n=1,則x=0,y=1,不滿足x2+y2≥36,故n=2,則x=,y=2,不滿足x2+y2≥36,故n=3,則x=,y=6,滿足x2+y2≥36,故y=4x,故選:C10.【解答】解:設(shè)拋物線為y2=2px,如圖:|AB|=4,|AM|=2,|DE|=2,|DN|=,|ON|=,xA==,|OD|=|OA|,=+5,解得:p=4.C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為:4.故選:B.11.【解答】解:如圖:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°.則m、n所成角的正弦值為:.故選:A.12.【解答】解:∵x=﹣為f(x)的零點(diǎn),x=為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸,∴,即,,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω為正奇數(shù),∵f(x)在()上單調(diào),則﹣=≤,即T=+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=﹣,)不單調(diào),不滿足題意;當(dāng)ω=9時(shí),﹣≥,解得:ω≤12,當(dāng)ω=11時(shí),﹣,此時(shí)f(x)在(+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=,此時(shí)f(x)在(故ω的最大值為9,故選:B,)單調(diào),滿足題意;二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共25分.13.【解答】解:|+|2=||2+||2,可得?=0.向量=(m,1),=(1,2),可得m+2=0,解得m=﹣2.故答案為:﹣2.14.【解答】解:(2x+)5的展開(kāi)式中,通項(xiàng)公式為:Tr+1=令5﹣=3,解得r=4∴x3的系數(shù)2=10.故答案為:10.=25﹣r,15.【解答】解:等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+a3)=5,解得q=.a(chǎn)1+q2a1=10,解得a1=8.則a1a2…an=a1n?q1+2+3+…+(n﹣1)=8n?=26=64.==,當(dāng)n=3或4時(shí),表達(dá)式取得最大值:故答案為:64.16.【解答】解:(1)設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件,獲利為z元.由題意,得,z=2100x+900y.不等式組表示的可行域如圖:由題意可得,解得:,A(60,100),目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y.經(jīng)過(guò)A時(shí),直線的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值:2100×60+900×100=216000元.故答案為:216000.三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=,∴C=;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S=absinC=2﹣18=7,ab=,∴ab=6,∴(a+b)∴a+b=5,∴△ABC的周長(zhǎng)為5+.18.【解答】(Ⅰ)證明:∵ABEF為正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,∵DF∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF?平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角;由ABEF為正方形,AF⊥平面EFDC,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角.可得∠DFE=∠CEF=60°.∵AB∥EF,AB?平面EFDC,EF?平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB?平面ABCD,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四邊形EFDC為等腰梯形.以E為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)FD=a,則E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),∴=(0,2a,0),=(,﹣2a,a),=(﹣2a,0,0)設(shè)平面BEC的法向量為=(x1,y1,z1),則﹣1).,則,則,取=(,0,設(shè)平面ABC的法向量為=(x2,y2,z2),則4).,取=(0,,設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ,則cosθ===﹣,則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣.19.【解答】解:(Ⅰ)由已知得X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,P(X=16)=(P(X=17)=)2=,,P(X=18)=()2+2()2=,P(X=19)=P(X=20)=P(X=21)==,==,=,P(X=22)=,∴X的分布列為:XP16171819202122(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)==.P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值為19.(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.買19個(gè)所需費(fèi)用期望:EX1=200×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040,買20個(gè)所需費(fèi)用期望:EX2=+(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080,∵EX1<EX2,∴買19個(gè)更合適.解法二:購(gòu)買零件所用費(fèi)用含兩部分,一部分為購(gòu)買零件的費(fèi)用,另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用,當(dāng)n=19時(shí),費(fèi)用的期望為:19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040,當(dāng)n=20時(shí),費(fèi)用的期望為:20×200+500×0.08+1000×0.4=4080,∴買19個(gè)更合適.20.【解答】解:(Ⅰ)證明:圓x2+y2+2x﹣15=0即為(x+1)2+y2=16,可得圓心A(﹣1,0),半徑r=4,由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,由AC=AD,可得∠D=∠C,即為∠D=∠EBD,即有EB=ED,則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,故E的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的橢圓,且有2a=4,即a=2,c=1,b==,則點(diǎn)E的軌跡方程為+=1(y≠0);(Ⅱ)橢圓C1:+=1,設(shè)直線l:x=my+1,由PQ⊥l,設(shè)PQ:y=﹣m(x﹣1),由可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,則|MN|=?|y1﹣y2|=?=?=12?,A到PQ的距離為d==,|PQ|=2=2=,則四邊形MPNQ面積為S=|PQ|?|MN|=??12?=24?=24,當(dāng)m=0時(shí),S取得最小值12,又>0,可得S<24?=8,即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12,8).21.【解答】解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,∴f′(x)=(x﹣1)ex+2a(x﹣1)=(x﹣1)(ex+2a),①若a=0,那么f(x)=0?(x﹣2)ex=0?x=2,函數(shù)f(x)只有唯一的零點(diǎn)2,不合題意;②若a>0,那么ex+2a>0恒成立,當(dāng)x<1時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù);此時(shí)當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取極小值﹣e,由f(2)=a>0,可得:函數(shù)f(x)在x>1存在一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x<1時(shí),ex<e,x﹣2<﹣1<0,∴f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2>(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0的兩根為t1,t2,且t1<t2,則當(dāng)x<t1,或x>t2時(shí),f(x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函數(shù)f(x)在x<1存在一個(gè)零點(diǎn);即函數(shù)f(x)在R是存在兩個(gè)零點(diǎn),滿足題意;③若﹣<a<0,則ln(﹣2a)<lne=1,當(dāng)x<ln(﹣2a)時(shí),x﹣1<ln(﹣2a)﹣1<lne﹣1=0,ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)ln(﹣2a)<x<1時(shí),x﹣1<0,ex+2a>eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)<0恒成立,故f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時(shí),x﹣1>0,ex+2a>eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=ln(﹣2a)時(shí),函數(shù)取極大值,由f(ln(﹣2a))=[ln(﹣2a)﹣2](﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a{[ln(﹣2a)﹣2]2+1}<0得:函數(shù)f(x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn),不合題意;④若a=﹣,則ln(﹣2a)=1,當(dāng)x<1=ln(﹣2a)時(shí),x﹣1<0,ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時(shí),x﹣1>0,ex+2a>eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn),不合題意;⑤若a<﹣,則ln(﹣2a)>lne=1,當(dāng)x<1時(shí),x﹣1<0,ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)1<x<ln(﹣2a)時(shí),x﹣1>0,ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)<0恒成立,故f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>ln(﹣2a)時(shí),x﹣1>0,ex+2a>eln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取極大值,由f(1)=﹣e<0得:函數(shù)f(x)在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn),不合題意;綜上所述,a的取值范圍為(0,+∞)證明:(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),∴f(x1)=f(x2)=0,且x1≠1,且x2≠1,∴﹣a==,令g(x)=,則g(x1)=g(x2)=﹣a,∵g′(x)=,∴當(dāng)x<1時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;設(shè)m>0,則g(1+m)﹣g(1﹣m)=﹣=,設(shè)h(m)=,m>0,則h′(m)=>0恒成立,即h(m)在(0,+∞)上為增函數(shù),h(m)>h(0)=0恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,則g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)?g(2/
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