2016年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)1卷,附答案

2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)1卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A．（﹣3，﹣）2．設(shè)（1+i）x=1+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，則a100=（）A．100B．99C．98D．97B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）4．某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（）A．B．C．D．5．已知方程﹣=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大致為（）A．B．C．D．8．若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A．a(chǎn)c＜bcB．a(chǎn)bc＜bacC．a(chǎn)logbc＜blogacD．logac＜logbc9．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x10．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn)．已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A．2B．4C．6D．811．平面α過(guò)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A．B．C．D．12．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣為f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（）上單調(diào)，則ω的最大值為（），A．11B．9C．7D．5二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，則m=．14．（2x+）5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）15．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．16．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元．三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．18．（12分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；（Ⅲ）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？20．（12分）設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有兩個(gè)零點(diǎn)．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2．請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-1：幾何證明選講]22．（10分）如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）說(shuō)明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a．[選修4-5：不等式選講]24．已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫(huà)出y=f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)1卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故選：D2．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即故選：B．，解得，即|x+yi|=|1+i|=，3．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故選：C4．【解答】解：設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時(shí)，小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘，故P==，故選：B5．【解答】解：∵雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，∴c=2，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示雙曲線，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范圍是：（﹣1，3）．當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，無(wú)解．故選：A．6．【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)球去掉后的幾何體，如圖：可得：=，R=2．它的表面積是：×4π?22+=17π．故選：A．7．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x=±2時(shí)，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是單調(diào)的，故排除C，故選：D8．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函數(shù)f（x）=xc在（0，+∞）上為增函數(shù)，故ac＞bc，故A錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上為減函數(shù)，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B錯(cuò)誤；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D錯(cuò)誤；0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正確；故選：C9．【解答】解：輸入x=0，y=1，n=1，則x=0，y=1，不滿足x2+y2≥36，故n=2，則x=，y=2，不滿足x2+y2≥36，故n=3，則x=，y=6，滿足x2+y2≥36，故y=4x，故選：C10．【解答】解：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4．故選：B．11．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．12．【解答】解：∵x=﹣為f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，∴，即，，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω為正奇數(shù)，∵f（x）在（）上單調(diào)，則﹣=≤，即T=+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，）不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)ω=9時(shí)，﹣≥，解得：ω≤12，當(dāng)ω=11時(shí)，﹣，此時(shí)f（x）在（+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此時(shí)f（x）在（故ω的最大值為9，故選：B，）單調(diào)，滿足題意；二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共25分.13．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得?=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案為：﹣2．14．【解答】解：（2x+）5的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為：Tr+1=令5﹣=3，解得r=4∴x3的系數(shù)2=10．故答案為：10．=25﹣r，15．【解答】解：等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a(chǎn)1+q2a1=10，解得a1=8．則a1a2…an=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n?=26=64．==，當(dāng)n=3或4時(shí)，表達(dá)式取得最大值：故答案為：64．16．【解答】解：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元．由題意，得，z=2100x+900y．不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y．經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案為：216000．三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=2﹣18=7，ab=，∴ab=6，∴（a+b）∴a+b=5，∴△ABC的周長(zhǎng)為5+．18．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）設(shè)平面BEC的法向量為=（x1，y1，z1），則﹣1）．，則，則，取=（，0，設(shè)平面ABC的法向量為=（x2，y2，z2），則4）．，取=（0，，設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，則cosθ===﹣，則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（P（X=17）=）2=，，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）=P（X=20）=P（X=21）==，==，=，P（X=22）=，∴X的分布列為：XP16171819202122（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．買19個(gè)所需費(fèi)用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，買20個(gè)所需費(fèi)用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴買19個(gè)更合適．解法二：購(gòu)買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用，當(dāng)n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴買19個(gè)更合適．20．【解答】解：（Ⅰ）證明：圓x2+y2+2x﹣15=0即為（x+1）2+y2=16，可得圓心A（﹣1，0），半徑r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即為∠D=∠EBD，即有EB=ED，則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，則點(diǎn)E的軌跡方程為+=1（y≠0）；（Ⅱ）橢圓C1：+=1，設(shè)直線l：x=my+1，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，則|MN|=?|y1﹣y2|=?=?=12?，A到PQ的距離為d==，|PQ|=2=2=，則四邊形MPNQ面積為S=|PQ|?|MN|=??12?=24?=24，當(dāng)m=0時(shí)，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24?=8，即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8）．21．【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①若a=0，那么f（x）=0?（x﹣2）ex=0?x=2，函數(shù)f（x）只有唯一的零點(diǎn)2，不合題意；②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函數(shù)f（x）在x＞1存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＜1時(shí)，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的兩根為t1，t2，且t1＜t2，則當(dāng)x＜t1，或x＞t2時(shí)，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函數(shù)f（x）在x＜1存在一個(gè)零點(diǎn)；即函數(shù)f（x）在R是存在兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；③若﹣＜a＜0，則ln（﹣2a）＜lne=1，當(dāng)x＜ln（﹣2a）時(shí)，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)ln（﹣2a）＜x＜1時(shí)，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=ln（﹣2a）時(shí)，函數(shù)取極大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；④若a=﹣，則ln（﹣2a）=1，當(dāng)x＜1=ln（﹣2a）時(shí)，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；⑤若a＜﹣，則ln（﹣2a）＞lne=1，當(dāng)x＜1時(shí)，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x＜ln（﹣2a）時(shí)，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞ln（﹣2a）時(shí)，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極大值，由f（1）=﹣e＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）證明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；設(shè)m＞0，則g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，設(shè)h（m）=，m＞0，則h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上為增函數(shù)，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，則g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）?g（2/