2022年秋高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課件新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用第四章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.能夠根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).2.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)

可以將兩項(xiàng)的乘積進(jìn)行轉(zhuǎn)化

名師點(diǎn)睛

等比數(shù)列{an}的增減性(1)當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時(shí),{an}是遞增數(shù)列.(2)當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時(shí),{an}是遞減數(shù)列.(3)當(dāng)q=1時(shí),{an}是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí),{an}是擺動(dòng)數(shù)列.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)知道等比數(shù)列的某一項(xiàng)和公比,可以計(jì)算等比數(shù)列的任意一項(xiàng).(

)(2)若{an}為等比數(shù)列,且m+n=p(m,n,p∈N*),則am·an=ap.(

)(3)若{an},{bn}都是等比數(shù)列,則{an+bn}是等比數(shù)列.(

)(4)若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列,且公比相同,則{an}是等比數(shù)列.(

)√×××2.(1)若{an}為等比數(shù)列,則m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要條件嗎?如果不是,則是什么條件?(2)將公比為q的等比數(shù)列{an}依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2,a2a3,a3a4,…,則此數(shù)列是等比數(shù)列嗎?其公比是什么?提示

不是.在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則一定有aman=apaq,反之則不一定,如{an}是常數(shù)列.故是充分不必要條件.提示

由于

,n≥2且n∈N*,所以{anan+1}是以q2為公比的等比數(shù)列.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例1】

已知{an}為等比數(shù)列.(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.規(guī)律方法應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的解題策略(1)等比數(shù)列的性質(zhì)是等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形,熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等比數(shù)列問(wèn)題.(2)應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中涉及的數(shù)列各項(xiàng)的下標(biāo)之間的關(guān)系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),則aman=進(jìn)行求解.變式探究1在例1(1)中,添加條件a1a7=4,其他條件不變,求an.解

由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a5=a1a7=4,又由例1(1)知a3+a5=5,解得a3=1,a5=4或a3=4,a5=1,若a3=1,a5=4,則q=2,an=2n-3;若a3=4,a5=1,則q=,an=25-n.變式探究2把例1(2)的條件改為“公比q為3,a1a2a3…a30=3300”,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.解

∵a1a2a3…a30=(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)=q300(a1a2a3…a10)3=3300,∴a1a2a3…a10=1,則log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log31=0.探究點(diǎn)二等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【例2】有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的和是16,中間兩個(gè)數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).分析用兩個(gè)未知數(shù)表示這四個(gè)數(shù),結(jié)合已知條件列方程組.所以,當(dāng)a=4,d=4時(shí),所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16;當(dāng)a=9,d=-6時(shí),所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.規(guī)律方法等比數(shù)列的項(xiàng)的巧妙設(shè)法

變式探究

1將本例中的條件改為“有四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是-8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,它們的積為-80”,再求這四個(gè)數(shù).探究點(diǎn)三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】2020年12月17日凌晨1時(shí)59分,嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品成功著陸,這是我國(guó)首次實(shí)現(xiàn)了地外天體采樣返回,標(biāo)志著中國(guó)航天向前又邁出了一大步.月球距離地球約38萬(wàn)千米,有人說(shuō):在理想狀態(tài)下,若將一張厚度約為0.1毫米的紙對(duì)折n次其厚度就可以超過(guò)地球到月球的距離,那么至少對(duì)折的次數(shù)n是(

)(lg2≈0.3,lg3.8≈0.6)A.40 B.41 C.42 D.43答案

C解析

設(shè)對(duì)折n次時(shí),紙的厚度為an,每次對(duì)折厚度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,由題意知{an}是以a1=0.1×2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,所以an=0.1×2×2n-1=0.1×2n,令an=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg

2n≥lg

3.8+12,即0.3n≥0.6+12,解得n≥42,所以至少對(duì)折的次數(shù)n是42,故選C.規(guī)律方法等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的求解策略(1)一般地,產(chǎn)值增長(zhǎng)率問(wèn)題、銀行利息問(wèn)題、細(xì)胞繁殖等實(shí)際問(wèn)題,往往與等比數(shù)列有關(guān),可建立等比數(shù)列模型進(jìn)行求解.(2)建立等比數(shù)列模型進(jìn)行運(yùn)算時(shí),往往涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)方程或不等式的問(wèn)題,要注意運(yùn)算的正確性,還要善于進(jìn)行估算,對(duì)于近似計(jì)算問(wèn)題,答案要符合實(shí)際問(wèn)題的需要.變式訓(xùn)練

1一種專門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開(kāi)始時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍,那么開(kāi)機(jī)后

分鐘,該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB=210KB).

答案

45解析

由題意,得每3分鐘病毒占的內(nèi)存容量構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,設(shè)病毒占據(jù)64

MB時(shí)自身復(fù)制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,從而復(fù)制的時(shí)間為15×3=45(分鐘).變式訓(xùn)練

2某工廠2019年年底制訂生產(chǎn)計(jì)劃,要使工廠的總產(chǎn)值到2027年年底在原有基礎(chǔ)上翻兩番,則總產(chǎn)值年平均增長(zhǎng)率為(

)答案

A解析

設(shè)2019年年底總產(chǎn)值為a,年平均增長(zhǎng)率為x,則a(1+x)8=4a,得x=-1,故選A.

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.(2)等比數(shù)列中項(xiàng)的設(shè)解技巧.(3)等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納:定義法、類比、分類討論.3.常見(jiàn)誤區(qū):四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)設(shè)成

aq,aq3,未考慮公比為負(fù)的情況.

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.(2021河南百?gòu)?qiáng)?！邦I(lǐng)軍考試”高二聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a2a9=8,a5=2,則公比q為(

)答案

B2.(2021天津高二期末)在等比數(shù)列{an}中,a4=24,a6=6,則a5=(

)A.12 B.-12 C.±12 D.15答案

C解析

由等比數(shù)列{an},可知

=a4a6=24×6=144,解得a5=±12.3.在等比數(shù)列{an}中,若a2=8,a5=64,則公比q為(

)A.2 B.3 C.4 D.8答案

A解析

由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2.4.對(duì)任意等比數(shù)列{an},下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.a1,a3,a9成等比數(shù)列 B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列 D.a3,a6,a9成等比數(shù)列答案

D解析

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=2k(m,n,k∈N*),則am,ak,an成等比數(shù)列.即a3,a6,a9成等比數(shù)列.5.在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,