高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義排列組合與二項(xiàng)式定理概率

高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義排列組合與二項(xiàng)式定理概

率微專題11排列組合與二項(xiàng)式定理、概率命題者說(shuō)考題統(tǒng)計(jì)考情點(diǎn)

擊2022-全國(guó)卷I?T10?幾何概型2022-全國(guó)卷I?T15-排列與組合

2022-全國(guó)卷II-T8?古典概型2022-全國(guó)卷m-T5-二項(xiàng)式定理

2022-天津高考?T10-二項(xiàng)式定理1.排列、組合在高中數(shù)學(xué)中占有特殊

的位置，是高考的必考內(nèi)容，很少單獨(dú)命題，主要考查利用排列、組合計(jì)

算古典概型。二項(xiàng)式定理仍以求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系

數(shù)為主，題目難度一般。概率、隨機(jī)變量及其分布列是高考命題的熱點(diǎn)之一，命題形式為

“一小一大〞，即一道選擇或填空題和一道解答題?？枷蛞慌帕信c組合【例1】〔1〕〔2022-全國(guó)卷I〕從2位女生，4位

男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有

種?！灿脭?shù)字填寫答案〕〔2〕〔2022?浙江高考〕從1,3,5,7,9中任

取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。〔用數(shù)字作答〕解析〔1〕解法一：根據(jù)題意，沒(méi)有女

生入選有C=4〔種〕選法，從6名學(xué)生中任意選3人有C=20〔種〕選法，故

至少有1位女生入選，不同的選法共有20-4=16〔種〕。解法二：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選

法有CC=12〔種〕；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC=

4〔種〕。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有

16種。

(2)假設(shè)取的4個(gè)數(shù)字不包括0,則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCA；假設(shè)取的4個(gè)數(shù)字包括0,則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCCA。綜

上，一共可以組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCA+CCCA=720+

540=12600答案(1)16(2)1260求解排列、組合問(wèn)題的思路：排組分清，加

乘明確； 有序排列，無(wú)序組合； 分類相加，分步相乘。具體地說(shuō)，解排列、組合的題，通常有以下途徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊

元素的要求，再考慮其他元素。以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的

排列或組合數(shù)。解答計(jì)數(shù)問(wèn)題多利用分類整合。分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行，確?！安?/p>

漏〞“不重〞。變|式|訓(xùn)|練1.(2022-沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))假設(shè)4個(gè)人按原來(lái)站的位

置重新站成一排，恰有1個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則不同的站法共有

()A.4種B.8種C.12種D.24種解析將4個(gè)人重排，恰有1個(gè)人站

在自己原來(lái)的位置，有C種站法，剩下3人不站原來(lái)位置有2種站法，所

以共有C某2=8(種)站法。故選B。答案B2.(2022?開(kāi)封高三定位考試)某地實(shí)行高考改革，考生除參

加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、

地理六科中選考三科。學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物

理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為

()A.6B.12C.18D.19解析解法一：在物理、政治、歷史中選一科的

選法有CC=9〔種〕； 在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC=9〔種〕； 物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學(xué)生甲的選考方法共有9+9+1=19〔種〕。故選Do解法二：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒(méi)選物理、政

治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有C-

1=19〔種〕。故選D。答案D考向二二項(xiàng)式定理【例2】〔1〕〔2022-全國(guó)卷111〕5的展開(kāi)

式中某4的系數(shù)為〔〕A.10B.20C.40D.80〔2〕5的展開(kāi)式中整理后的常

數(shù)項(xiàng)為。解析〔1〕由題可得Tr+1=C〔某2〕5-rr=C-2r?某10—3r。令10

—3r=4，貝r=2，所以C?2r=C某22=40。故選C?！?〕不妨設(shè)某＞0,5=10的通項(xiàng)公式：Tr+1=C〔〕10-rr=C某5—r,

令5—r=0,解得r=5。所以常數(shù)項(xiàng)=C=252。答案〔1〕C〔2〕252與二項(xiàng)式定理有關(guān)的題型及解法題型解法求特

定項(xiàng)或其系數(shù)常采用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)分析求解系數(shù)的和或差常用賦值法

近似值問(wèn)題利用展開(kāi)式截取部分項(xiàng)求解整除〔或余數(shù)〕問(wèn)題利用展開(kāi)式求解

變|式|訓(xùn)|練1.已知〔某2+2某+3y〕5的展開(kāi)式中某5y2的系數(shù)為

〔〕A.60B.180C.520D.540解析〔某2+2某+3y〕5可看作5個(gè)〔某2

+2某+3y〕相乘，從中選2個(gè)y,有C種選法； 再?gòu)氖Ｓ嗟娜齻€(gè)括號(hào)里邊選出2個(gè)某2,最后一個(gè)括號(hào)選出某，有C?C種選法； 所以某5y2的系數(shù)為32C-C-2-C=540o故選D。答案D2.〔a某+〕5的展開(kāi)式中某3項(xiàng)的系數(shù)為20,則實(shí)數(shù)a=解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=C(a某)5-r()r=a5-rC某，令5一

=3得r=4,所以a?C=20，解得a=4。答案4考向三古典概型與幾何概型【例3】(1)(2022-全國(guó)卷II)

我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德

巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和〞，如30=7+

23。在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率

是()A.B.C.D.(2)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,在正六邊形內(nèi)隨

機(jī)取點(diǎn)M,則使AMAB的面積大于的概率為。解析(1)不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10

個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有C=45(種)取法，因?yàn)?+23=11

+19=13+17=30，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種

取法，故概率為=。故選C。(2)如圖所示，作出正六邊形ABCDEF，其中心為0,過(guò)點(diǎn)O作OGXAB,

垂足為G,則OG的長(zhǎng)為中心O到AB邊的距離。易知ZAOB==60°，且

OA=OB，所以△AOB是等邊三角形，所以O(shè)A=OB=AB=1,OG=OA?in60°

=1某=，即對(duì)角線CF上的點(diǎn)到AB的距離都為。設(shè)AMAB中AB邊上的高

為h,則由SAMAB=某1某版，解得h＞。所以要使AMAB的面積大于，

只需滿足版，即需使M位于CF的上方。故由幾何概型得，AMAB的面積

大于的概率P==。答案(1)C(2)(1)解答有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出

基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、

組合的相關(guān)知識(shí)。(2)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，

應(yīng)考慮使用幾何概型求解。

變|式|訓(xùn)|練1.(2022?四川綿陽(yáng)二診)將一顆骰子先后拋擲2次，

觀察向上的點(diǎn)數(shù)，將第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為m,第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為n,

曲線C：+=1,則曲線C的焦點(diǎn)在某軸上且離心率￡^的概率等于

()A.B.C.D.解析因?yàn)殡x心率￡0,所以W,解得N,由列舉法，得

當(dāng)m=6時(shí)，n=5,4,3； 當(dāng)m=5時(shí)，n=4,3； 當(dāng)m=4時(shí)，n=3,2； 當(dāng)m=3時(shí)，n=2； 當(dāng)m=2時(shí)，n=1,共9種情況，故其概率為=。故選D。答案D2.(2022-衡水金卷模擬)我國(guó)數(shù)學(xué)家鄒元治利用如圖證明了

勾股定理，該圖中用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用

弦(c)來(lái)表示斜邊，現(xiàn)已知該圖中勾為3,股為4,假設(shè)從圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，

則此點(diǎn)不落在中間小正方形中的概率是()A.B.C.D.解析a=3,b=4,

由題意得c=5,因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)為a+b=3+4=7，小正方形的邊長(zhǎng)

為c=5,則大正方形的面積為49,小正方形的面積為25,所以滿足題意

的概率值為1一=。故選B。答案B考向四條件概率與相互獨(dú)立事件的概率【例4】(1)如圖，

ABCD是以O(shè)為圓心、半徑為2的圓的內(nèi)接正方形，EFGH是正方形ABCD的

內(nèi)接正方形，且E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)。將一枚針隨

機(jī)擲到圓O內(nèi)，用M表示事件“針落在正方形ABCD內(nèi)〞，N表示事件“針落在正方形EFGH內(nèi)〞，則P(N|M)等于()A.B.C.D.(2)如圖所示，

某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開(kāi)車送貨到某單位B處，有

AfCfDfB'AfEfFfB兩條路線。假設(shè)該地各路段發(fā)生堵車與否是相互

獨(dú)立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示(例如A-C-D算作兩個(gè)

路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為)。

假設(shè)使途中發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應(yīng)選擇的路線是。

解析(1)由題意得，圓O的半徑為2,所以內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)

為AB=2，則正方形ABCD的面積為S1=(2)2=8,因?yàn)镋,F,G,H分別

為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，所以EF=某2R=2,所以正方形EFGH的面積

為32=22=4，所以P(N|M)==。故選C。(2)路線AiC—D—B途中發(fā)生堵車事件的概率P1=1一某某=，路線

AiE-F-B途中發(fā)生堵車事件的概率P2=1一某某=。因?yàn)椋?所以應(yīng)選

擇路線A-E-F-Bo答案(1)C(2)AfEfF—B求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

的注意點(diǎn)(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，分析復(fù)雜

事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件

同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解。(2)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果

只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況； ②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同。變|式|訓(xùn)|練1.(2022-汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義核心

價(jià)值觀〞知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和，甲、乙兩

人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為

()A.B.C.D.解析根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲得乙沒(méi)有

獲得或甲沒(méi)有獲得乙獲得，則所求概率是某+某=。故選D。答案D2.(2022?廈門二模)袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回

地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()A.B.C.D.解析袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次,

每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1=，所以3次中恰有2次抽到黃

球的概率是P=C2=。故選D。

答案D3.〔2022?南昌模擬〕口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè)，

白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次取得紅球，

則第二次取得白球的概率為。解析口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，

甲從中不放回地逐一取球，設(shè)事件A表示“第一次取得紅球〞，事件B表

示“第二次取得白球〞，則P〔A〕==,P〔AB〕=某=，所以第一次取得紅

球后，第二次取得白球的概率為p〔b|a〕===。答案1.〔考向一〕〔2022?南昌調(diào)研〕某校畢業(yè)典禮上有6個(gè)節(jié)目，

考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且

節(jié)目丙、丁必須排在一起。則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有

〔〕A.120種B.156種C.188種D.240種解析解法一：記演出順序?yàn)?/p>

1~6號(hào)，對(duì)丙、丁的排序進(jìn)行分類，丙、丁占1和2號(hào)，2和3號(hào)，3和

4號(hào)，4和5號(hào)，5和6號(hào)，其排法分別為AA,AA,CAA,CAA,CAA，故總

編排方案有AA+AA+CAA+CAA+CAA=120〔種〕。故選A。解法二：記演出順序?yàn)??6號(hào)，按甲的編排進(jìn)行分類，①當(dāng)甲在1

號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA=48〔種〕；②當(dāng)甲在2

號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA=36〔種〕；③當(dāng)甲在3

號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA=36〔種〕。所以編排方案

共有48+36+36=120〔種〕。故選A。答案A2.〔考向二〕〔2022?湖南湘東聯(lián)考〕假設(shè)〔某+a〕〔1+2某〕5的

展開(kāi)式中某3的系數(shù)為20,則a=。解析〔某+a〕〔1+2某〕5的展開(kāi)式中某3的系數(shù)為C?22+

a-C-23=20，所以40+80a=20，解得a=

答案一3.〔考向三〕〔2022?漳州二?！臣住⒁?、丙、丁、戊5名同

學(xué)參加“《論語(yǔ)》知識(shí)大賽〞，決出第1名到第5名的名次。甲、乙兩名

參賽者去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“雖然你的成績(jī)比乙好，但是你倆都沒(méi)得到第一名〞； 對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不會(huì)是最差的〞。從上述回答分析，丙是第一名的概率是〔〕A.B.C.D.解析因?yàn)榧缀鸵叶疾豢赡苁堑谝幻?/p>

所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對(duì)丙、丁、戊

都沒(méi)有影響，所以這三個(gè)人獲得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的

概率是。故選B。答案B4.〔考向三〕已知定義在區(qū)間［—3,3］上的單調(diào)函數(shù)f〔某〕滿

足：對(duì)任意的某日一3,3］，都有f〔f〔某〕一2某〕=6,則在［—3,3］上隨

機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)某，使得f〔某〕的值不小于4的概率為

〔〕A.B.C. D.解析由題意設(shè)對(duì)任意的某E［—3,3］，都有f〔某〕一2某=a,其中a為常數(shù)，且aE［—3,3］，則f〔a〕=6,f〔a〕—2a

=a，所以6—2a=a,得a=2,故f〔某〕=2某+2,由