運用兩點間的距離公式求最值

運用兩點間的距離公式求最值兩點間的距離公式是平面解析幾何中最基本的公式．依據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)設(shè)點的坐標，利用兩點間的距離公式，數(shù)與形相聯(lián)合，能夠使一些代數(shù)問題獲取直觀、形象、簡捷、合理的解答．現(xiàn)就兩點間的距離公式在求最值中的應(yīng)用舉例說明．一、求函數(shù)的最值例１求函數(shù)的最小值．解析：本題含有兩個根式，切不能夠把兩個無理式的最小值的和作為函數(shù)y的最小值，因為這兩個根式各自的最小值是在不同樣的x處獲取的．假如從代數(shù)的角度考慮，其解答將會比較繁瑣，認真察看式子的構(gòu)造，改變式子的表示形式：，易聯(lián)想到兩點間的距離公式，進而將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變成幾何問題來解決．解：如圖1，在平面直角坐標系內(nèi)，設(shè)點Ｍ（2，3），，．則即y≥5（其中等號在Ｍ，Ｐ，Ｎ三點共線時成立），∴．評注：本題若用純代數(shù)知識求解，則比較麻煩，但聯(lián)想到利用兩點間的距離公式，就會茅塞頓開．例2求函數(shù)的最小值．解析：式子中出現(xiàn)了四個根式、兩個變量，且根式中皆為平方和的形式，聯(lián)想兩點間的距離公式，則可簡化解答過程．解：如圖2，表示在平面直角坐標系中的動點到定點，，，的距離之和．而中，，當(dāng)且僅當(dāng)點P在線段AD上時等號成立；中，，當(dāng)且僅當(dāng)點P在線段BC上時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點Ｐ為與的交點時，f（x，y）獲取最小值，此時點P的坐標為．二、求距離的平方和的最值例3已知點，，點知足y=2x，求獲取最小值時點P的坐標．解析：利用兩點間距離公式將表示為的形式，再消元得一個對于x（或y）的二次函數(shù)，最后求值．解：由已知點知足，聯(lián)合兩點間的距離公式，得，當(dāng)時，獲取最小值3，此時點P的坐標為（1，2）．評注：對于幾何中的平方和的最值問題，常是先由兩點間的距離公式成立二元函數(shù)，此后經(jīng)過消元轉(zhuǎn)變成對于x（或y）的函數(shù)f（x）（或f（y）），再求解．一般地，對于根式內(nèi)能化成兩個完好平方式之和的問題，均可借助于兩點間的距離公式，利用數(shù)形聯(lián)合的思想來解決，這也是這類題型解法的創(chuàng)新之處．以上僅介紹了兩點間的距離公式在求最值中的應(yīng)用，而兩點間的距離公式的應(yīng)用是十分寬泛的，隨著學(xué)習(xí)的深入，它在其他方面的應(yīng)用將會漸漸展現(xiàn)求函數(shù)的最值1．已知P(－2,－2),Q(0,1),R(2,m)，若|PR|+|RQ|最小，則m的值為A）B）0（C）－1（D）－2．已知A(8,6),B(2,－2)，在直線3x－y+2=0上有點P，可使|PA|+|PB|最小，則點P坐標為（A）(2,0)（B）(－4,－10)（C）(－10,－4)（D）(0,2)3．已知點

A(1,3),B(5,

－2)，在

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