《導數(shù)在研究函數(shù)中的應用》 市賽獲獎- 教學課件

【規(guī)范解答3】導數(shù)在研究函數(shù)中的應用【典例】(12分)(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),(1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性.(2)當m≤2時,證明f(x)>0.【審題】分析信息,形成思路信息提取思路分析(1)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性求導→將x=0代入f′(x)=0求得m→得解析式→討論導函數(shù)符號,得單調(diào)性(2)m≤2,證明f(x)>0求f(x)的最小值f(x0),證明最小值f(x0)>0【解題】規(guī)范步驟，水到渠成(1)因為f′(x)=x=0是f(x)的極值點，所以f′(0)=1-=0，解得m=1,所以函數(shù)f(x)=ex-ln(x+1)，其定義域為(-1,+∞)①，…………2分f′(x)=設g(x)=ex(x+1)-1,則g′(x)=ex(x+1)+ex＞0，所以g(x)在(-1,+∞)上是增函數(shù).…………4分又因為g(0)=0，所以當x＞0時，g(x)＞0，即f′(x)＞0，當-1＜x＜0時，g(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)在(-1,0)上是減函數(shù)，在(0,+∞)上是增函數(shù).…………6分(2)當m≤2,x∈(-m,+∞)時,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需證明當m=2時,f(x)>0.②當m=2時,函數(shù)f′(x)=ex-在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.…8分由f′(-1)<0,f′(0)>0,故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實根x0,③且x0∈(-1,0).當x∈(-2,x0)時,f′(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0,從而當x=x0時,f(x)取得最小值.…………10分由f′(x0)=0得

ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0綜上，當m≤2時，f(x)＞0.④…………12分【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū)失分點防范措施①處忽略定義域?qū)е率Х掷脤?shù)研究函數(shù)問題切記定義域優(yōu)先的原則②處未對m進行分析導致解題無法進行而失分當解析式中含有參數(shù)時,要適時的分類討論③處無法判斷出極值點而導致失分熟練掌握求函數(shù)極值的步驟④處未進行總結(jié)導致解題過程不完整而失分對于解答題,最后要進行總結(jié),對結(jié)果進行整合【變題】變式訓練,能力遷移(2013·廣東高考)設函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).(1)當k=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)當k∈時,求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M.【解析】(1)當k=1時,f(x)=(x-1)ex-x2,求導可得f′(x)=xex-2x=x(ex-2),令f′(x)=0可得x=0,x=ln2,則當x<0時,f′(x)>0;當0<x<ln2時,f′(x)<0;當x>ln2時,f′(x)>0;所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),(ln2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,ln2).(2)對f(x)=(x-1)ex-kx2求導可得f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k),因為k∈,所以2k∈(1,2],令f′(x)=0可得x=0,x=ln(2k),顯然0<ln(2k)≤ln2而ln2<1.則當0<x<ln(2k)時,f′(x)<0.當x>ln(2k)時,f′(x)>0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln(2k),+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,ln(2k)).令g(k)=ln(2k)－k,則g′(k)=又當k=1時，g′(k)=0，所以g(k)在上遞增,所以g(k)≤ln2－1=ln2－lne<0,從而ln(2k)<k,所以ln(2k)∈[0,k]，所以當x∈(0,ln(2k))時,f′(x)<0；當x∈(ln(2k),k)時,f′(x)>0；所以M=max{f(0),f(k)}=max{－1,(k－1)ek－k3}，令h(k)=(k－1)ek－k3+1,則h′(k)=k(ek－3k),令φ(k)=ek－3k,則φ′(k)=ek－3<e－3<0，當k∈(k0,1)時,φ(k)<0,所以h(k)在(,k0)上單調(diào)遞增