數(shù)學(xué)物理方法：第四章 留數(shù)定理_第1頁
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1、第四章 留數(shù)定理4.2 利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分4.1 留數(shù)定理4.1 留數(shù)定理若l所圍區(qū)域解析，則考慮積分若l所圍區(qū)域包圍一個奇點z0 ，展開f(z)，則由(l不包圍)(l包圍)a-1稱為f(z)在 奇點z0的留數(shù)若l所圍區(qū)域包圍n個奇點b1 b2 b3 .， bn , 則稱為留數(shù)定理如何求a-1？若z0為單極點若若z0為f(z)的m階極點m階極點單極點留數(shù)定理求 Resf(0)例：解：求 Resf(1)例：解：的極點，求留數(shù)例：確定函數(shù)解：例：計算回路積分解：被積函數(shù)的奇點為單位圓 z = 1 內(nèi)的奇點為4.2 利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分(1)、無窮積分若f(z) 在實軸上無奇點

2、，在上半平面除有限個孤立奇點bk (k=1,2,n) 外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，當z 無窮時，zf(z)一致趨于零，則o-RRCR則至少高于 兩階證明：o-RRCR例：計算積分解：上半平面奇點為z0 = i例：計算積分解：被積函數(shù)的奇點為上半平面為n階極點z0 = in為整數(shù)(2)、三角函數(shù)有理積分積分若R(cos, sin)為 cos, sin 的有理函數(shù)，且在0，2上連續(xù)，則其中表示f(z)在單位圓內(nèi)所有奇點的留數(shù)和證明：例：計算積分解：令有兩個一階極點(a1)有兩個一階極點為單極點，在圓內(nèi)例：計算積分解：令(a1)有一個奇點z=0,為2n+1階極點(3)、含三角函數(shù)的無窮積分其中F(z)為偶數(shù)，G(x)為奇數(shù)若f(z) 在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇點bk (k=1,2,n) 外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，當z 無窮時，f(z)一致趨于零，且m0則證明：o-RRCRo-RRCR由約定當引理o-RRCR由約定當引理z 無窮時，f(z)在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，一致趨于零，則例：計算積分解：有兩個一

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