第一章 立體幾何中的向量方法 - 副本

1、第3講立體幾何中的向量方法考情解讀1.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的證明，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，考查空間想象能力，推理論證能力及計(jì)算能力，屬低中檔問題.2.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間角(主要是線面角和二面角)的計(jì)算，是高考的必考內(nèi)容，屬中檔題.3.以已知結(jié)論尋求成立的條件(或是否存在問題)的探索性問題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能力，是近幾年高考命題的新亮點(diǎn)，屬中高檔問題1直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)平面、的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，

2、b3，c3)(以下相同)(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面、的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)線線夾角設(shè)l，m的夾角為(0eq f(,2)，則cos eq f(|ab|,|a|b|)eq f(|a1a2b1b2c1c2|,r(aoal(2,1)boal(2,1)c

3、oal(2,1)r(aoal(2,2)boal(2,2)coal(2,2).(2)線面夾角設(shè)直線l與平面的夾角為(0eq f(,2)，則sin eq f(|a|,|a|)|cosa，|.(3)面面夾角設(shè)半平面、的夾角為(0)，則|cos |eq f(|v|,|v|)|cos，v|.提醒求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析3求空間距離直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)P到平面的距離：deq f(|o(PM,sup6()n|,|n|)(其中n為的法向量，M為內(nèi)任一點(diǎn)).熱點(diǎn)一利用向量證明平行與垂直例1如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE

4、和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)運(yùn)用向量方法證明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2，BAD60，E是PA的中點(diǎn)(1)求證：直線PC平面BDE；(2)求證：BDPC；熱點(diǎn)二利用向量求空間角例2如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，ABEF，AD平面ABEF，且AD1，ABeq f(1,2)EF2eq r(2)，AFBE2，P、Q分別為AE、BD的中點(diǎn)(1)求證：PQ平面BCE；(2)求二面角ADFE的余弦值(2013山東)如圖所示，在三棱錐PABQ中，PB平面ABQ，B

5、ABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH.(1)求證：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值熱點(diǎn)三利用空間向量求解探索性問題例3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC1成60角？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說明理由 如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)(1)求二面角APDB的余弦值；(2)在直線A

6、B上是否存在點(diǎn)M，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為eq f(1,6)，若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由空間向量在處理空間問題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問題“運(yùn)算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關(guān)系，各類角、距離以向量的方式表達(dá)出來，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問題應(yīng)用的核心是充分認(rèn)識形體特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量的運(yùn)算解答問題，達(dá)到幾何問題代數(shù)化的目的，同時(shí)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性提醒三點(diǎn)：(1)直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對值是線面角的正弦值，而不是余弦值(2)求二面角除利用法向量外，還可以按照二面角的平面角

7、的定義和空間任意兩個向量都是共面向量的知識，我們只要是在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作和二面角的棱垂直的向量，并且兩個向量的方向均指向棱或者都從棱指向外，那么這兩個向量所成的角的大小就是二面角的大小如圖所示(3)對于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，且有eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()zeq o(OC,sup6()(x，y，zR)，四點(diǎn)P，A，B，C共面的充要條件是xyz1.空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使eq o(MP,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6()，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序

8、實(shí)數(shù)對x，y，使eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6().真題感悟(2014北京)如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐PABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.(1)求證：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長押題精練如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，ABeq r(2)，AF1.(1)求直線DF與平面ACEF所成角的正弦值；(2)在線段AC上找一點(diǎn)P，使eq o

9、(PF,sup6()與eq o(DA,sup6()所成的角為60，試確定點(diǎn)P的位置(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1已知平面ABC，點(diǎn)M是空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)M滿足條件eq o(OM,sup6()eq f(3,4)eq o(OA,sup6()eq f(1,8)eq o(OB,sup6()eq f(1,8)eq o(OC,sup6()，則直線AM()A與平面ABC平行 B是平面ABC的斜線C是平面ABC的垂線 D在平面ABC內(nèi)2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，P，Q是正方體內(nèi)部或面上的兩個動點(diǎn)，則eq o(AM,sup6()eq o(PQ,sup6()的最大值是()A.

10、eq f(1,2) B1 C.eq f(3,2) D.eq f(5,4)3在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值為()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(10),10) C.eq f(3,5) D.eq f(2,5)4已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于()A.eq f(r(6),4) B.eq f(r(10),4) C.eq f(r(2),2) D.eq f(r(3),2)5在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與

11、平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.eq f(1,2) B.eq f(2,3) C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(2),2)6如圖，三棱錐ABCD的棱長全相等，E為AD的中點(diǎn)，則直線CE與BD所成角的余弦值為()A.eq f(r(3),6) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(33),6) D.eq f(1,2)二、填空題7在一直角坐標(biāo)系中已知A(1,6)，B(3，8)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60的二面角，則折疊后A、B兩點(diǎn)間的距離為_8正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為_9已知正方形ABC

12、D的邊長為4，CG平面ABCD，CG2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為_10已知ABCDA1B1C1D1為正方體，(eq o(A1A,sup6()eq o(A1D1,sup6()eq o(A1B1,sup6()23eq o(A1B1,sup6()2；eq o(A1C,sup6()(eq o(A1B1,sup6()eq o(A1A,sup6()0；向量eq o(AD1,sup6()與向量eq o(A1B,sup6()的夾角是60；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|eq o(AB,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(AD,sup6()|.其中正確命題的序號是_三、解答題11.如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.12(2014課標(biāo)全國)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：