2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(課標全國Ⅰ)文

1、2014年普通高等招生全國統(tǒng)一考試(課標全國)數(shù)學(文科)第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014課標全國,文1)已知集合M=x|-1x3,N=x|-2x1,則MN=().A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)答案:B解析:由已知得MN=x|-1x0,則().A.sin 0B.cos 0C.sin 20D.cos 20答案:C解析:由tan 0知角是第一或第三象限角,當是第一象限角時,sin 2=2sin cos 0;當是第三象限角時,sin 0,cos 0,故選C.3.(2014課標全國,文3)設(shè)

2、z=11+i+i,則|z|=()A.12B.22C.32答案:B解析:因為z=11+i+i=1-i(1+i)(1-i)+i=1-i24.(2014課標全國,文4)已知雙曲線x2a2-y23=1(a0)的離心率為2A.2B.62C.52D答案:D解析:由已知得a2+3a=2,且a0,解得a=1,5.(2014課標全國,文5)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是().A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案:C解析:由于f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶

3、函數(shù),于是f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-f(x)g(x),因此f(x)g(x)是奇函數(shù),故A錯;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),因此|f(x)|g(x)是偶函數(shù),故B錯;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-f(x)|g(x)|,因此f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C正確;|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,因此|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D錯.6.(2014課標全國,文6)設(shè)D,E,F分別為ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則EB+FC=

4、(A.ADB.12ADC.BCD答案:A解析:由于D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-127.(2014課標全國,文7)在函數(shù)y=cos|2x|,y=|cos x|,y=cos2x+6,y=tan2x-4中A.B.C.D.答案:A解析:由于y=cos|2x|=cos 2x,所以該函數(shù)的周期為22=;由函數(shù)y=|cos x|的圖象易知其周期為;函數(shù)y=cos2x+6的周期為22=;函數(shù)y=tan2x-8.(2014課標全國,文8)如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是().A.三棱錐B.三棱

5、柱C.四棱錐D.四棱柱答案:B解析:由所給三視圖可知該幾何體是一個三棱柱(如圖).9.(2014課標全國,文9)執(zhí)行右面的程序框圖,若輸入的a,b,k分別為1,2,3,則輸出的M=().A.20B.7C.16D.15答案:D解析:第一次執(zhí)行循環(huán)體時,n=1,M=1+12=32,a=2第二次執(zhí)行循環(huán)體時,n=2,M=2+23=83,a=3第三次執(zhí)行循環(huán)體時,n=3,M=32+38=158這時n=4,跳出循環(huán).輸出M的值15810.(2014課標全國,文10)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=54x0,則x0=()A.1B.2C.4D.8答案:A解析:由拋物線

6、方程y2=x知,2p=1,p2=14,即其準線方程為x=-14.因為點A在拋物線上,由拋物線的定義知|AF|=x0+p2=x0+14,于是54x0=x0+14,11.(2014課標全國,文11)設(shè)x,y滿足約束條件x+ya,x-y-1A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案:B解析:當a=0時顯然不滿足題意.當a0時,畫出可行域(如圖(1)所示的陰影部分),又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,因此當直線y=-1ax+1az經(jīng)過可行域中的Aa-12,a+12時,z取最小值,于是a-12當a0,則a的取值范圍是().A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)答案:C解析:

7、當a=0時,f(x)=-3x2+1存在兩個零點,不合題意;當a0時,f(x)=3ax2-6x=3axx-令f(x)=0,得x1=0,x2=2a所以f(x)在x=0處取得極大值f(0)=1,在x=2a處取得極小值f2a=1-要使f(x)有唯一的零點,需f2a0,但這時零點x0一定小于0,不合題意當a0,解得a2舍去),且這時零點x0一定大于0,滿足題意,故a的取值范圍是(-,-第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個試題考生都必須做答.第22題第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2014課標全國,文13)將2本不同的數(shù)學書和

8、1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數(shù)學書相鄰的概率為.答案:2解析:記兩本數(shù)學書分別為a1,a2,語文書為b,則3本書一共有6種不同的排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本數(shù)學書相鄰的排法有4種:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率為4614.(2014課標全國,文14)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為.答案:A解析:由丙的說法“三人去過同一城市”知乙至少去過一個城市,而甲說去過的城市

9、比乙多,且沒去過B城市,因此甲一定去過A城市和C城市.又乙沒去過C城市,所以三人共同去過的城市必為A,故乙去過的城市就是A.15.(2014課標全國,文15)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1,x1,x13,x答案:(-,8解析:當x1時,由f(x)=ex-12,解得x1+ln 2,又x1,所以x的取值范圍是x1;當x1時,由f(x)=x132,解得x8,又x1,所以x的取值范圍是1x8.綜上,x的取值范圍是x8,即(-,816.(2014課標全國,文16)如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角MAN=60,C點的仰角CAB=45以及MAC=75;從C點測得MC

10、A=60.已知山高BC=100 m,則山高MN= m.答案:150解析:在RtABC中,由于CAB=45,BC=100 m,所以AC=1002 m.在MAC中,AMC=180-75-60=45,由正弦定理可得ACsinAMC=MAsinMCA,于是MA=10023222=1003(m).在RtMNA中,MAN=60,于是MN=MAsin三、解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2014課標全國,文17)已知an是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求an的通項公式;(2)求數(shù)列an2n的前分析:在第(1)問中,通過解出方程的根并結(jié)

11、合an是遞增數(shù)列可確定出a2與a4的值,然后設(shè)出an的公差,通過解方程得出a1與d的值,從而求得an的通項公式;在第(2)問中,由第(1)問的結(jié)果寫出an2n的通項公式,考慮到該數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應的項相乘得到.因此應采用乘公比錯位相減法求其前解:(1)方程x2-5x+6=0的兩根為2,3,由題意得a2=2,a4=3.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a4-a2=2d,故d=12,從而a1=3所以an的通項公式為an=12n+1(2)設(shè)an2n的前n項和為Sn,由(1)知Sn=322+12Sn=323兩式相減,得12Sn=3所以Sn=2-n+418.(本小題滿分12分)(2014課標全

12、國,文18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標值分組75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)頻數(shù)62638228(1)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?分析:在第(1)問中,按照畫頻率分布直方圖的步驟,先求出各組的頻率,再結(jié)合組距求出各個小矩形的高即可作出各個小矩形,從而作出頻率分布直方

13、圖;在第(2)問中,可結(jié)合提示與(1)中的頻率分布直方圖,根據(jù)平均數(shù)與方差的計算公式代入相關(guān)數(shù)據(jù)進行求解;第(3)問主要考查用樣本估計總體,可通過樣本數(shù)據(jù)中“質(zhì)量指標值不低于95”的頻率是否大于0.8來作出判斷.解:(1)(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.質(zhì)量指標值的樣本方差為s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.2

14、2+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.19.(本小題滿分12分)(2014課標全國,文19)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO平面BB1C1C.(1)證明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.分析:在第(1)問中,要證B1CAB,應證明B1C與AB所在的某個平面垂直.結(jié)合已知條件知應考慮平面ABO.這是因為由BB1C1C為菱形可知B1CBC1.又AO平面BB1C1C,必有AOB1C,即得

15、證;在第(2)問中,三棱柱的高即為兩底面ABC與A1B1C1之間的距離,可轉(zhuǎn)化為點B1到平面ABC的距離求解,又考慮到O為B1C的中點,因此可先求點O到平面ABC的距離,這時只需根據(jù)面面垂直的性質(zhì)作出點O到平面ABC的垂線,結(jié)合已知即可求出點O到平面ABC的距離,從而可得三棱柱的高.解:(1)連接BC1,則O為B1C與BC1的交點.因為側(cè)面BB1C1C為菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)作ODBC,垂足為D,連接AD.作OHAD,垂足為H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以O(shè)HBC.又OHAD

16、,所以O(shè)H平面ABC.因為CBB1=60,所以CBB1為等邊三角形,又BC=1,可得OD=34由于ACAB1,所以O(shè)A=12B1C=1由OHAD=ODOA,且AD=OD2+OA2又O為B1C的中點,所以點B1到平面ABC的距離為217故三棱柱ABC-A1B1C1的高為21720.(本小題滿分12分)(2014課標全國,文20)已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程;(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及POM的面積.分析:在第(1)問中,由于圓心C及點P的坐標已知,因此可利用圓的幾何性質(zhì)得

17、到CMMP,然后通過斜率關(guān)系或向量的數(shù)量積建立點M的坐標所滿足的等式,從而得到點M的軌跡方程;在第(2)問中,結(jié)合(1)的結(jié)論可知點M的軌跡是一個圓,其圓心與原點連線應與l垂直,由此求出直線l斜率從而得到其方程,同時可求得POM的面積.解:(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由題設(shè)知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于點P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3

18、)為圓心,2為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ONPM.因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-13,故l的方程為y=-13x+又|OM|=|OP|=22,O到l的距離為4105,|PM|=所以POM的面積為16521.(本小題滿分12分)(2014課標全國,文21)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+1-a2x2-bx(a1),曲線y=f(x)在點(1,f(1)(1)求b;(2)若存在x01,使得f(x0)aa-1,求分析:在第(1)問中,根據(jù)導數(shù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為f(1)=0,即可求出b的值;在第(2)問中,將條件“存在x01,使得f(x0)aa-

19、1”轉(zhuǎn)化為“在1,+)上,f(x)min0,f(x)在(1,+所以,存在x01,使得f(x0)aa-1的充要條件為f(1)aa-1,即1-a2-1aa-若12a1,故當x1,a1-a時,f(x)0;當xa1-a,+時,f(x所以,存在x01,使得f(x0)1,則f(1)=1-a2-1綜上,a的取值范圍是(-2-1,2-1)(1,+).請考生從第22,23,24題中任選一題做答,并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對應的題號右側(cè)方框涂黑,按所涂題號進行評分;多涂、多答,按所涂的首題進行評分;不涂,按本選考題的首題進行評分.22.(本小題滿分10分)(2014課標全國,文22)選修41:幾何證明選講如圖

20、,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,AB的延長線與DC的延長線交于點E,且CB=CE.(1)證明:D=E;(2)設(shè)AD不是O的直徑,AD的中點為M,且MB=MC,證明:ADE為等邊三角形.分析:在第(1)問中,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知CBE=D,又CB=CE,所以CBE=E,從而可證D=E;在第(2)問中,由條件MB=MC,再結(jié)合圓的性質(zhì)知OB=OC,可確定MO是弦BC的垂直平分線,考慮到M是AD的中點,必有MO也是AD的垂直平分線,從而可證得ADBC,然后再結(jié)合第(1)問可推得ADE的三個內(nèi)角相等,推得ADE為等邊三角形.(1)證明:由題設(shè)知A,B,C,D四點共圓,所以D=CBE.由已知得CBE=E,故D=E.(2)解:設(shè)BC的中點為N,連接MN,則由MB=MC,知MNBC,故O在直線MN上.又AD不是O的直徑,M為AD的中點,故OMAD,即MNAD.所以ADBC,故A=CBE.又CBE=E,故A=E.由(1)知,D=E,所以ADE為等邊三角形.23.(本小題滿分10分)(2014課標全國,文23)選修44:坐標系與