曲線積分與曲面積分知識(shí)點(diǎn)

1、總結(jié)總結(jié)第十章曲線積分與曲面積分重點(diǎn)兩類曲面積分及兩類曲面積分的計(jì)算和格林公式、高斯公式的應(yīng)用二、難點(diǎn)對(duì)曲面?zhèn)鹊睦斫?，把?duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分，利用格林公式求非閉曲線上的第二類曲線積分，及利用高斯公式計(jì)算非閉曲面上的第二類曲面積分。1三、容提要曲線（面）積分的定義：（1）第一類曲線積分Jf（x,y）dsAlimEf（,n）AS（存在時(shí)）AS表示第i個(gè)小弧段的長(zhǎng)度，（&E）是AS上的任一點(diǎn)小弧段的最大長(zhǎng)度。i實(shí)際意義：ii當(dāng)f（x,y）表示L的線密度時(shí)，Jf（x,y）ds表示L的質(zhì)量;當(dāng)f（x,y）三1時(shí)，Jds表示L的弧長(zhǎng)，當(dāng)f（x,y）表示位于L上的柱面在點(diǎn)（x,y）處的高時(shí)，Jf（x

2、,y）dsL表示此柱面的面積。（2）（2）第二類曲線積分JPdx+QdyAlimZP&,Q）Ax+Q&,q）Ay（存在時(shí)）L=必0iiii=1實(shí)際意義：iiih*is-設(shè)變力F=P（x,y）i+Q（x,y）j將質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A沿曲線L移動(dòng)到辛點(diǎn)，則作的功為:W=JF-dS=JPdx+Qdy，其中dS=（dx,dy）事實(shí)上，JPdx，JQdy分別是F在沿X軸方向及Y軸方向所作的功。（3）（3）第一類曲面積分JJf（x,y,z）dsAlimE,Q工）AS（存在時(shí)）iiAS表示第i個(gè)小塊曲面的面積，（己用工）為AS上的任一點(diǎn)，入是n塊小曲i面的最大直徑。實(shí)際意義：iiif（x,y，z）表示曲面2上點(diǎn)（x,

3、y,z）處的面密度時(shí)，JJf（x,y,z）ds表示曲面2的質(zhì)量，當(dāng)f（x,y,z）三1時(shí)，JJds表示曲面2的面積。2（4）（4）第二類曲面積分JJPdydz+Qdzdx+RdxdyAlimEp也R工）（AS）+Q&R工）（AS）+R&R工）（AS）2（存在時(shí)）其中（AS），（AS），iyzizx=心0I，iyzi=1iiiizxiiiixy（AS）分別表示將2任意分為n塊小曲面后第I塊ASixyi在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz，dzdx，dxdy分別表示這三種投影元素；（己用工）為AS上的任一點(diǎn)，入是n塊小曲面的最大直徑。iiii實(shí)際意義：設(shè)變力V（x,y,z）=P（x，y

4、，z）i+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k為通過(guò)曲面2的流體（穩(wěn)VdS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy定流動(dòng)且不可壓縮）在，上的點(diǎn)（VdS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy表示在單位時(shí)間短，的一側(cè)流向指定的另一側(cè)的流量。2、曲線（面）積分的性質(zhì)兩類積分均有與重積分類似的性質(zhì)（1）被積函數(shù)中的常數(shù)因子可提到積分號(hào)的外面（2）對(duì)積分弧段（積分曲面）都具有可加性（3）代數(shù)和的積分等與積分的代數(shù)和第二類曲線（面）積分有下面的特性，即第二類曲線（面）積分與曲線（面）方向（側(cè)）有關(guān)JPdx+Qdy=JPdx+QdyLLJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJPdydz+Qdzdx+Rdxd

5、yT3、曲線（面）積分的計(jì)算（1）曲線積分的計(jì)算a、a、依據(jù)積分曲線L的參數(shù)方程，將被積表達(dá)式中的變量用參數(shù)表示b、b、第一（二）類曲線積分化為定積分時(shí)用參數(shù)的最小值（起點(diǎn)處的參數(shù)值）作為積分下限（2）曲面積分的計(jì)算方法1、第一類曲面積分的計(jì)算a將積分曲面投向使投影面積非零的坐標(biāo)面b將的方程先化成為投影面上兩變量的顯函數(shù)，再將此顯函數(shù)代替被積表達(dá)式中的另一變量。C將ds換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素2、第二類曲面積分的計(jì)算a將積分曲面投向指定的坐標(biāo)面b同1c依的指定的側(cè)決定二重積分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1）（1）格林公式JPdx+Qdy=

6、JJ（迎）dxdyLd.xdy其中P、Q在用區(qū)域D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，L是D的正向邊界曲線。若閉區(qū)域D為復(fù)連通閉區(qū)域，P、Q在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則JJ（絲竺）dxdy=JJ（絲竺）dxdy=dxdyZJPdx+QdyD其中L.（=1，2i（2）（2）i=1Lin）均是D的正向邊界曲線。高斯公式3Q.dPdR.U：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=（+）dxdydz3xdy&Q其中P、Q、R在閉區(qū)域Q上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是Q的邊界曲面的外側(cè)（3）斯托克斯公式JJ（3）斯托克斯公式JJdydzdzdxdxdy3333x3y3zPQR（3）=JPdx+Qdy+Rdzr其中P、Q、R在包含曲面在

7、的空間區(qū)域具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是以r為邊界的分片光滑曲面，r的正向與2的側(cè)向符合右手規(guī)則。5、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件設(shè)P、Q在開(kāi)單連同區(qū)域G有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，A、B為G任意兩點(diǎn)，則以下命題等價(jià)：（1）JPdx+Qdy與路徑L無(wú)關(guān)LAB（2）對(duì)于G任意閉曲線L,JPdx+Qdy=0LdQdP（3）當(dāng)=在G處處成立TOC o 1-5 h zc.x0y（4）在G，Pdx+Qdy為某函數(shù)U（x,y）的全微分6、通量與散度、環(huán)流量與旋度設(shè)向量I+-H-rA（x,y,z）=P（x,y，z）i+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k則通量（或流量）=壓ands-2其中n=（cosa,cosB,cos

8、Y）為2上點(diǎn)（x,y,z）處的單位法向量。散度-cQ-cQcPdivA=+CxCy蒞對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與與的形狀無(wú)關(guān)的充要條件是散度為零。旋度rotA=旋度rotA=IcCxP-jCCyQkCCzR環(huán)流量向量場(chǎng)A沿有向閉曲線r的環(huán)流量為JPdx+Qdy+Rdz=JAGdsrr四、四、難點(diǎn)解析本章中對(duì)A在xoy面上的投影（A5）為xy（Ao）,cosy0 xy（a5）=jxy一（A（a5）=jxyxy0,cosy三0其中cosy為有向曲面A5上各點(diǎn)處的法向量與Z軸的夾角余弦。（Ao）為A5在xoyxy上投影區(qū)域的面積。此規(guī)定直接決定了將一個(gè)第二類曲面積分化為二重積分時(shí)正負(fù)號(hào)的選擇，此規(guī)定貌似復(fù)雜，

9、但其最基本的思想?yún)s非常簡(jiǎn)單：即基于用正負(fù)數(shù)來(lái)表示具有相反意義的量。比如，當(dāng)溫度高于零度時(shí)用正數(shù)表示，當(dāng)溫度低于零度使用負(fù)數(shù)表示。從引進(jìn)第二類曲線積分的例子看是為了求穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體流向指定側(cè)的流量。如果我們用正數(shù)來(lái)表示流體流向指定側(cè)的流量，很自然，當(dāng)流體流向指定側(cè)的反向時(shí)用負(fù)數(shù)表示就顯得合情合理了。因此上面的規(guī)定就顯得非常自然合理了。五、五、五、五、典型例題例1、計(jì)算I=Jx2dsx+y2+z2=R2j：圓周x+y+z=0解：由輪換對(duì)成性，得II=Ix2dsJy2dsI=TOC o 1-5 h zIz2ds=11x2+y2+z2ds=Lr2Ids=KR3r3r3r3iryriy3一x3

10、一例2、設(shè)L：x2+y2=a2為成平面區(qū)域D,計(jì)算J-dx+-dyl33解：I-1dx+-號(hào)dy=(格林公式)II(x2+y2)dxdy=41：doIar2rdr=a4L33002例3、求IIz2dxdy，其中2為曲面x2+y2+z2=a2的外側(cè)。Ei解法一、將E分為上半球面E1：z=A加2-x2-y2和下半球面E2：z=-*I1a2-x2-y2II=II+II=IIa2-x2-y2dxdy-IIa2-x2-y2dxdy=0EE1E2x2+y2a2解法二、利用高斯公式用z2dxdy=JJJ(0+0+2z)dxdydz=0(對(duì)稱性)例4、求曲線y=x2,y2=2x及y2=x所圍成的圖形的面積。解

11、：求曲線的交點(diǎn)B(1，1)，C(V2,3；4)法一、定積分法則所求面積為A=I1(y2-?)dy+I?4(v:y-0)dy=1+1=1TOC o 1-5 h z0202663法二、二重積分法設(shè)所給曲線圍成的閉區(qū)域?yàn)镈.則A=IIdo=I11y2dx+j4dyIydx=I1(y2)dy+I34Qy)dy=-0y20y202023法三、曲線積分法設(shè)所給曲線圍成的圖形的邊界曲線為L(zhǎng),則Ixdy=11y2dy+13Ixdy=11y2dy+134%ydy+10_二dyCo01342.LOBBC1221=+()=3333從點(diǎn)A(-R,0)到點(diǎn)B(R,0)的上半圓周x2+y2=從點(diǎn)A(-R,0)到點(diǎn)B(R,

12、0)的上半圓周x2+y2=R2。L解：法一用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)一，3Q.dP_,一、dQ5P一因?yàn)閗=1=在xoy面上恒成立，且丁及丁在xoy面上連續(xù)，所以曲線積分dxdydxoy1ydx+xdy與路徑無(wú)關(guān)。于是Iydx+xdy=Iydx+xdy=IR0dx=0AB法二、用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則Iydx+xdy=0(其中C(0,R)ACBA法三、用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則d(xy)=xy(R,0)=0(-R,0)(-Rd(xy)=xy(R,0)=0(-R,0)(-R,0)(-R,0)法四、用格林公式idQdPdQdP_因?yàn)镴=且個(gè)及丁在閉曲線ACBA上圍成的閉區(qū)域D上連續(xù)。故由格林公式dxdyd

13、xdyJdQdP、77cydx+xdy=-(-)dxdy=0acAdxdyBA于是Jydx+xdy=0-Jydx+xdy=0BA法五、用定積分計(jì)算，則L的參數(shù)方程為x=Rco9.八，L的起點(diǎn)A對(duì)應(yīng)與9=兀，綜點(diǎn)對(duì)應(yīng)于9=0，于是y=Rsi由R2J0cos29d9冗Jydx+xdy=J，Rsin9(一Rsin9)+RcosR2J0cos29d9冗L冗R2sin290=02冗例六、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分JJ(yz)dydz+(zx)dzdx+(xy)dxdy其中2是z2=x2+y2(0z0)2、L為xoy面直線x=a上的一段，則JP(xy)dx=L*I+，lr*I3、設(shè)A=(x2+yz)i+(y2+

14、xz)j+(z2一xy)k，則divA=4、JJ(x+y+2z)dydz+(3y+z)dzdx+(z-3)dxdy=其中士：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所圍成的立體的表面外側(cè)。1、選擇題(4x51、1、設(shè)A=P(x,y)i+Q(x,y)j，(x,y)eD,且P、Q在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z%又L：AB是D任一曲線，則以下4個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是若JPdx+Qdy與路徑無(wú)關(guān)，則在若JPdx+Qdy與路徑無(wú)關(guān)，則在D必有若JAds與路徑無(wú)關(guān)L則在D必有單值函數(shù)u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC若在D則必有JAds與路徑無(wú)關(guān)DA若對(duì)D有一必曲

15、線C，恒有DA若對(duì)D有一必曲線C，恒有JPdx+Qdy=0，2、-13、已知(x+g)dx+ydy為某函數(shù)的全微分(x+y)2則JPdx+Qdy與路徑無(wú)關(guān)L則a等于;B0;C1;D設(shè)曲線積分Jxy2dx+y隼(x)dy與路徑無(wú)關(guān)2;其中(x)具有連續(xù)得到數(shù)，且LJ(1,1)xy2dx+y隼(x)dy叭x)=0，則(0,0)等于A3;B-;C3;D1;8244、設(shè)空間區(qū)域Q由曲面z=a2-x2-y2平面z=0圍成，其中a為正常數(shù)，記Q的表面外側(cè)為S,Q的體積為V，則&x2yz2dydz-xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=D3V;xD3V;x2+y2+z2=Rx+y+z=0A0;BV;C2V;三