高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例-平面向量的基本定理

1、38 平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是說(shuō)明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個(gè)不共線向量量化的依據(jù)這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過(guò)把一個(gè)向量在其他兩個(gè)向量上的分解，說(shuō)明了該定理的本質(zhì)教學(xué)時(shí)無(wú)須嚴(yán)格證明該定理，只要讓學(xué)生弄清定理的條件和結(jié)論，會(huì)用該定理就可以了向量的加法法、減法法、實(shí)數(shù)數(shù)與向量量的積的的混合運(yùn)運(yùn)算稱為為向量的的線性運(yùn)運(yùn)算，也也叫“向向量的初初等運(yùn)算算”由由平面向向量的基基本定理理，知任任一平面面內(nèi)的直直線型圖圖形都可可表示為為某些向向量的線線性組合合，這樣樣在證明明幾何命命題時(shí)，可可先把

2、已已知和結(jié)結(jié)論表示示成向量量形式，再再通過(guò)向向量的運(yùn)運(yùn)算，有有時(shí)能很很容易證證明幾何何命題因此，向向量是數(shù)數(shù)學(xué)中證證明幾何何命題的的有效工工具之一一為降降低難度度，目前前要求用用向量表表示幾何何關(guān)系，而而不要求求用向量量證明幾幾何命題題平面向量的的基本定定理的理理解是學(xué)學(xué)習(xí)的難難點(diǎn)，而而應(yīng)用基基本向量量表示平平面內(nèi)的的某一向向量是學(xué)學(xué)習(xí)的重重點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1. 了解解平面向向量基本本定理的的條件和和結(jié)論，會(huì)會(huì)用它來(lái)來(lái)表示平平面圖形形中任一一向量，為為向量坐坐標(biāo)化打打下基礎(chǔ)礎(chǔ)2. 通過(guò)過(guò)對(duì)平面面向量基基本定理理的歸納納、抽象象和概括括，體驗(yàn)驗(yàn)數(shù)學(xué)定定理的產(chǎn)產(chǎn)生、形形成過(guò)程程，提升升學(xué)生的的抽象和和概

3、括能能力3. 通過(guò)過(guò)對(duì)平面面向量基基本定理理的運(yùn)用用，增強(qiáng)強(qiáng)向量的的應(yīng)用意意識(shí)，進(jìn)進(jìn)一步體體會(huì)向量量是處理理幾何問(wèn)問(wèn)題的強(qiáng)強(qiáng)有力的的工具之之一任務(wù)分析這節(jié)課是在在學(xué)生熟熟悉向量量加、減減、數(shù)乘乘線性運(yùn)運(yùn)算的基基礎(chǔ)上展展開(kāi)的，為為了使學(xué)學(xué)生理解解和掌握握好平面面向量的的基本定定理，教教學(xué)時(shí)，常常應(yīng)用構(gòu)構(gòu)造式的的作圖方方法，同同時(shí)采用用師生共共同操作作，增強(qiáng)強(qiáng)直觀認(rèn)認(rèn)識(shí)，歸歸納和總總結(jié)出任任意向量量與基本本向量的的線性組組合關(guān)系系，并且且通過(guò)適適當(dāng)?shù)木毦毩?xí)，使使學(xué)生進(jìn)進(jìn)一步認(rèn)認(rèn)識(shí)和理理解這一一基本定定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情情景1. 在AABCDD中，（11）已知知，試試用，來(lái)表示示，；（2）已知知，

4、試試用，表示向向量，.2. 給定定平面內(nèi)內(nèi)任意兩兩個(gè)不共共線向量量e1，e2，試作作出向量量3e112ee2，e12ee23. 平面面內(nèi)的任任一向量量是否都都可以用用形如1e12e2的向量量表示？二、建立模模型1. 學(xué)生生回答（1）由向向量加法法，知；由向向量減法法，知，0（2）設(shè)AAC，BBD交于于點(diǎn)O，由由向量加加法，知知2. 師生生總結(jié)以，為為基本向向量，可可以表示示兩對(duì)角角線的相相應(yīng)向量量，還可可表示一一邊對(duì)應(yīng)應(yīng)的向量量，估計(jì)計(jì)任一向向量都可可以寫成成的線性性表達(dá)任意改成另另兩個(gè)不不共線向向量，作基本本向量，也也可表示示其他向向量3. 教師師啟發(fā)通過(guò)了e112ee2，e12ee2的作法

5、法，讓學(xué)學(xué)生感悟悟通過(guò)改改變11，2的值，可可以作出出許多向向量1e12e2在此此基礎(chǔ)上上，可自自然形成成一個(gè)更更理性的的認(rèn)識(shí)平平面向量量的基本本定理4. 教師師明晰如圖，設(shè)ee1，e2是平面面內(nèi)兩個(gè)個(gè)不共線線的向量量，是是這一平平面內(nèi)的的任一向向量在平面內(nèi)任任取一點(diǎn)點(diǎn)O，作作e1，e2，；過(guò)點(diǎn)CC作平行行于直線線OB的的直線，與與直線OOA交于于M；過(guò)過(guò)點(diǎn)C作作平行于于直線OOA的直直線，與與直線OOB交于于N這這時(shí)有且且只有實(shí)實(shí)數(shù)11，2，使1e1，2e2由于于，所以以1e12e2，也就就是說(shuō)任任一向量量都可可表示成成1e12e2的形式式，從而而有平面向量的的基本定定理如如果e11，e2是

6、一平平面內(nèi)的的兩個(gè)不不平行向向量，那那么該平平面內(nèi)的的任一向向量，存存在唯一一的一對(duì)對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使11e12e2我們把不共共線向量量e1，e2叫作表表示這一一平面內(nèi)內(nèi)所有向向量的一一組基底底，有序序?qū)崝?shù)對(duì)對(duì)（11，2）叫在基底底e1，e2下的坐坐標(biāo)三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題1. 已知知向量ee1，e2（如圖圖38-3），求求作向量量2.5e113ee2注：可按加加法或減減法運(yùn)算算進(jìn)行2. 如圖圖38-4，不共線線，tt（tR），用用，表示解：練習(xí)1. 已知知：不共共線向量量e1，e2，求作作向量e12ee22. 已知知：不共共線向量量e1，e2，并且且e13ee21e12e2，求實(shí)實(shí)數(shù)11，23.

7、已知知：基底底a，bb，求求實(shí)數(shù)，滿滿足向量量等式：3xaa（110yy）b（4yy7）aa2xxb4. 在ABCC中，點(diǎn)GG是ABCC的重心心，試用用，表示5. 已知知：ABBCDEEF為正正六邊形形，試用用a，bb表示向向量6. 已知知：M是是平行四四邊形AABCDD的中心心，求證證：對(duì)于于平面上上任一點(diǎn)點(diǎn)O，都都有.四、拓展延延伸點(diǎn)評(píng)這篇案例由由向量加加、減、數(shù)數(shù)乘運(yùn)算算過(guò)渡到到平面向向量的基基本定理理，引入入比較自自然，合合理，使使學(xué)生由由感性認(rèn)認(rèn)識(shí)上升升為理性性認(rèn)識(shí)這這種既重重結(jié)果又又重過(guò)程程的教學(xué)學(xué)理念符符合新課課程標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的精神神同時(shí)時(shí)，有關(guān)關(guān)向量基基本定理理的應(yīng)用用的例、習(xí)習(xí)題的設(shè)設(shè)計(jì)也較較有梯