高中 高二 數(shù)學 等比數(shù)列的概念 教學設計

1、中科附高 中科附高 劉小秀4.3.1 等比數(shù)列的概念中科附高 劉小秀一、內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容：等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式、等比中項，等比數(shù)列與函數(shù)的關系，學習等比數(shù)列的必要性2.內(nèi)容解析：研究等比數(shù)列的必要性：數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承上啟下的作用。一方面數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面學習數(shù)列也為大學內(nèi)容學習數(shù)列的極限做好鋪墊。等比數(shù)列是兩類特殊數(shù)列中的一種，對于等比數(shù)列的研究源于現(xiàn)實生產(chǎn)，生活的需要。探索它的取值規(guī)律，建立它的通項公式和前n項和公式，并應用它們解決實際問題。例如：生物學上的細胞分裂個數(shù)問題、生物體死亡后碳1

2、4的衰退問題、日常生活中的銀行存款、貸款問題等。通過數(shù)學抽象將實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識，并運用等比數(shù)列的相關知識進行數(shù)學運算、邏輯推理等，最終達到解決實際問題的目的，從中感受數(shù)學模型的現(xiàn)實意義與應用。（2）等比數(shù)列的概念：等比數(shù)列的概念是等比數(shù)列在教學中的第一節(jié)。通過類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算學的角度出發(fā)引出我們要研究的內(nèi)容。通過分析教材中給出的生物、語文、生活、歷史等方面的問題，提取出6組數(shù)列，讓學生從“運算”上發(fā)現(xiàn)取值規(guī)律，之后類比等差數(shù)列的定義得出等比數(shù)列的定義。通過對定義的鞏固練習得出等比數(shù)列的注意事項。類比等差數(shù)列通項公式的推導方法、等差中項的定義讓學生獨立推導出等比數(shù)

3、列的通項和等比中項。本節(jié)課的難點分析等比數(shù)列的通項公式與函數(shù)的關系。為了突出重點突破難點，我將等比數(shù)列的通項公式變形為（），不妨設，由此總結(jié)得到等比數(shù)列的第n項就是指數(shù)函數(shù)當時的函數(shù)值，即。從等比數(shù)列角度，等比數(shù)列每一項就是指數(shù)函數(shù)取相應正整數(shù)時的函數(shù)值，即等比數(shù)列的通項公式就是指數(shù)函數(shù)時的離散函數(shù)。反之，已知指數(shù)函數(shù)，構成一個等比數(shù)列，其首項為,公比為，最終闡明等比數(shù)列通項公式與指數(shù)函數(shù)之間的關系，進一步為等比數(shù)列的判斷指明了方向。3.教學重點：探索并掌握等比數(shù)列的通項公式，能運用通項公式解決實際問題.二、目標與目標解析目標：（1）通過實例，理解并抽象出等比數(shù)列和等比中項的概念.（2）探索并

4、歸納出等比數(shù)列的通項公式，在此過程中發(fā)展學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).能運用通項公式解決簡單的問題.（3）通過等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列與函數(shù)的關系，要求學生會判斷和證明一個數(shù)列是等比數(shù)列目標解析：達成上述目標的標志分別是：給出一個數(shù)列會判斷并能證明它是不是等比數(shù)列；給出兩個數(shù)能準確判斷是否存在等比中項。能夠正確利用等比數(shù)列的通項公式將實際問題轉(zhuǎn)化為解方程問題，發(fā)展學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)，并體會數(shù)學在實際生活中的價值。三、教學問題診斷解析問題診斷本節(jié)課對等比數(shù)列公比條件的限定是本節(jié)課的一個易錯點，“非零”的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是本節(jié)的第二個易錯點。為了讓學生發(fā)現(xiàn)并解決這兩個問題，

5、我以實際問題入手讓學生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。等比數(shù)列通項公式的推導是本節(jié)的一個難點，我采用類比方法解決此問題。等差數(shù)列通項公式的推導采用了兩種方法分別是：不完全歸納法和疊加法，通過類比等差數(shù)列讓學生總結(jié)出等比數(shù)列通項公式的推導方法。其中不完全歸納法的間接代換學生可以完成；根據(jù)疊加法的原理教師積極的引導學生的思考方向進而總結(jié)得到疊乘法的過程，最終完成等比數(shù)列通項公式的推導。通過學生直接參與知識的產(chǎn)生過程，讓學生體會到收獲知識的喜悅。等比數(shù)列與函數(shù)的關系是本節(jié)課的另一個難點。解決方案：我將等比數(shù)列的通項公式變形為（），不妨設，由此總結(jié)得到等比數(shù)列的第n項就是指數(shù)函數(shù)當時的函數(shù)值，即。從等比數(shù)列角度，等比

6、數(shù)列每一項就是指數(shù)函數(shù)取相應正整數(shù)時的函數(shù)值，即等比數(shù)列的通項公式就是指數(shù)函數(shù)時的離散函數(shù)。教學難點等比數(shù)列與函數(shù)之間的關系。四、教學支持條件分析如何講解等比數(shù)列與函數(shù)之間的關系是本節(jié)課的重點，為了突出這一重點，需要師生借助信息技術手段，通過指數(shù)函數(shù)的圖象讓學生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的各項實際上就是指數(shù)函數(shù)取相應正整數(shù)時的函數(shù)值五、教學過程設計引導語 上節(jié)課我們學習了等差數(shù)列，它的特點是“從第2項起每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù)”，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的呢？帶著這個問題，我們來看下面問題中的數(shù)列:1.情境引入2.合作探究探究 等比數(shù)列的定義

7、？追問 1 如果一個數(shù)列是等比數(shù)列，它至少有幾項？追問 2 結(jié)合等差數(shù)列的定義式，將等比數(shù)列的文字定義轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言。師生活動：通過類比等差數(shù)列歸納探究等比數(shù)列的通項公式。 師生活動：學生總結(jié)等比數(shù)列的定義式，教師點評注意事項。設計意圖讓學生經(jīng)歷概念的自主建構過程，并讓學生體會知識的完備性與純粹性。鞏固練習例 判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，若是，則公比是多少，若不是，請說明理由.1）1，3，9，27，； 是 是 1，0，1，0，； 不是 2，2，2，2，； 是 4，-8，16，-32，64，-128； 是 不一定注意事項（1）等比數(shù)列中各項均不能為0（2）非零的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

8、問題 6 請同學們回憶等差數(shù)列的通項公式推導方法有哪些呢？師生活動：方法有兩種，分別是不完全歸納法和疊加法，類比等差數(shù)列的通項公式的推導方法，等比數(shù)列的通項公式也有兩中推導方法。教師和學生共同完成等比數(shù)列的兩種推導方法：設等比數(shù)列，首項為，公比為不完全歸納法： 疊乘法 ，共有（n-1）個等式將這（n-1）個等式左右兩邊相乘得到設計意圖 類比等差數(shù)列通項公式的推導方法，感受數(shù)學知識生產(chǎn)的過程，激發(fā)學生進一步學習的動力。問題7 回憶等差中項的定義？追問1 類比等差中項的定義，能否總結(jié)出等比中項的定義？如果三個數(shù)組成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項.追問2 如何求等比數(shù)列的通項公式?師生活動 設計意圖通

9、過問題 7 通過類比等差數(shù)列的相關知識，進一步解析等比數(shù)列。學以致用下列兩個數(shù)是否有等比中項？（1）1，9（2）-1，-4（3）-1，1師生活動 按照等比中項的定義，（1）有，答案是；（2）有，答案是 （3）沒有設計意圖熟悉等比數(shù)列的等比中項。知識深化等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系師生活動 當時的函數(shù)值，即反之，任意指數(shù)函數(shù)，則設計意圖 闡明等比數(shù)列通項公式與指數(shù)函數(shù)之間的關系，進一步為等比數(shù)列的判斷指明了方向，也讓學生更深層次的了解了數(shù)列實際上就是離散型函數(shù)的本質(zhì)。當堂檢測 若等比數(shù)列的第4項和第6項分別是48和12，求的第5項.師生活動：解法一：通項公式法解得追問 還有沒有其它的解題辦法？師生活動解法二 等比中項法設計意圖 熟練本節(jié)課知識，通過解決實際問題，打開學生的思維， 體現(xiàn)知識的靈活性。2 已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項表示設計意圖 本題的關鍵是利用等比數(shù)列的通項公式將等比數(shù)列的第項與任意一項聯(lián)系起來，從而得出等比數(shù)列任意兩項之間的關系。共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132，