a3-金融風(fēng)險(xiǎn)的度量-久期、凸性及久期缺口模型

1、2021/9/111金融風(fēng)險(xiǎn)的度量久期、凸性及久期缺口模型2021/9/1121、直觀理解四項(xiàng)投資的現(xiàn)金流（入）如下一、久期的概念與推導(dǎo)t123456ABCD1001001001002001001001001001001001001001001002002005030150702021/9/113問題：如何比較四項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)？2021/9/114 t123456ABCD1001001001002001001001001001001001004010018012020050301507090總量相同分量不同2021/9/115 t123456ABCD10010010010020010010010

2、01001001001004010018012020050301507090時(shí)間跨度相同各期流量不同2021/9/116 t123456ABCD1001001001002001001001001001001001004010018012020050301507090時(shí)間跨度不同各期流量不同2021/9/117思路：設(shè)置一個(gè)指標(biāo)，綜合衡量時(shí)間跨度和流量大小？同時(shí)體現(xiàn)出對風(fēng)險(xiǎn)因子的敏感性程度？久期2021/9/118假定某息票債券的基本信息如下：面值息票率到期日第 期末的現(xiàn)金流貼現(xiàn)率（即市場基準(zhǔn)利率）2、久期的推導(dǎo)：利息支付采取一年一次方式2021/9/119于是有2021/9/1110或者 公允

3、價(jià)值核算的直觀表達(dá)：2021/9/1111問題：市場利率的變化對債券價(jià)格 有怎樣的影響？2021/9/1112在貼現(xiàn)率發(fā)生較小變化的情況下，根據(jù)Taylor展開式，可得2021/9/11132021/9/11142021/9/1115其中稱為久期2021/9/1116考察是一個(gè)以 為權(quán)對時(shí)間 t 的加權(quán)和2021/9/1117或者，可以認(rèn)為久期是項(xiàng)目或資產(chǎn)的平均回收期（基于現(xiàn)金流現(xiàn)值的加權(quán)）2021/9/1118考察表示當(dāng)期現(xiàn)金流的折現(xiàn)值/總現(xiàn)金流折現(xiàn)值2021/9/11193、久期的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋將變形得或者取其離散形式（之所以采用 ，是因?yàn)?的推導(dǎo)采取的是Taylor一階近似，當(dāng)利率的變化比較

4、大時(shí)，取一階近似是不對的）2021/9/1120考察 或者發(fā)現(xiàn)：久期反映了債券價(jià)格對市場利率或貼現(xiàn)率變化的敏感程度2021/9/1121例1：假定某債券的久期為5年，當(dāng)市場利率為8%時(shí)，該債券的市場價(jià)格為120元，如果市場利率升為9%，該債券的市場價(jià)格將發(fā)生怎樣的變化？2021/9/1122考察久期公式當(dāng)市場利率變化由8%升為9%時(shí)，貼現(xiàn)因子（1+y）的變化比率為(9%-8%)/(1+8%) =0.92593%所以該債券的市場價(jià)格將 下降0.92593%5=4.62963%即下降為120(1-0.462963%)=114.44444元2021/9/11234、修正久期定義修正久期：反映收益率曲

5、線 平移一單位引起債券價(jià)格變化的百分比2021/9/1124比較顯然2021/9/1125例2假定某債券的修正久期為5年，當(dāng)市場利率為8%時(shí)，該債券的市場價(jià)格為120元，如果市場利率升為9%，該債券的市場價(jià)格將發(fā)生怎樣的變化？2021/9/1126考察有：市場利率絕對上升量為1%，因此債券的市場價(jià)格將降低1%5=5%因此債券的市場價(jià)格將降為120(1-5%)=144元2021/9/11275、久期的推導(dǎo)：付息方式為半年一次2021/9/11282021/9/11292021/9/11302021/9/11312021/9/11322021/9/11336、久期的推導(dǎo)：利息一年支付a次2021/

6、9/1134二、久期的性質(zhì)息票債券的久期一般小于債券的到期期限2021/9/1135零息債券的久期是其到期期限2021/9/1136息票債券久期的上限是相應(yīng)的永久債券的久期令則有2021/9/11372021/9/1138分析：如果債券價(jià)值被認(rèn)為是可以變化的；假定各期的息票利率同等變動，則顯然，該變化對久期無影響（相當(dāng)于各期的權(quán)未變暗含假定：T、y與i均無關(guān)2021/9/1139如果債券價(jià)值是不變的，在此前提下假定息票利率的變化，則意味著總的時(shí)長發(fā)生變化，于是有以下分析雖然此時(shí)Fi已經(jīng)被消掉，但是，T卻成為i的函數(shù)2021/9/1140令2021/9/1141 2021/9/1142將 以 表

7、示然后對 求導(dǎo)情況比較復(fù)雜，應(yīng)該根據(jù) 和 之間的關(guān)系進(jìn)行討論故課本上的結(jié)論有誤（見P64結(jié)論2）（進(jìn)一步的討論留做課后思考題）2021/9/1143分析：直觀分析2021/9/1144進(jìn)一步的討論：令時(shí)間連續(xù)，且則令 與 無關(guān)2021/9/1145Excel演示略綜合上述 久期只是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性、粗略性標(biāo)識指標(biāo)2021/9/1146練習(xí)請對 、 做出分析2021/9/1147三、久期應(yīng)用的缺陷如果不同期限的貼現(xiàn)率不同，則久期的衡量精度下降如果貼現(xiàn)率（或者說市場基準(zhǔn)利率）變化幅度比較大，則久期的衡量精度下降（為了克服上面的第二種缺陷，引入凸性）2021/9/1148四、久期缺口模型1、利率敏感性（資

8、產(chǎn)、負(fù)債）價(jià)值變化與久期令利率敏感性資產(chǎn)價(jià)值為 ，則有其中 為資產(chǎn)的久期2021/9/1149令利率敏感性負(fù)債價(jià)值為 ，則有其中 為負(fù)債的久期2021/9/11502、（利率敏感性）凈資產(chǎn)增加量為其中 為久期缺口 為（利率敏感性）資產(chǎn)負(fù)債率2021/9/11513、基本結(jié)論由可知：當(dāng) ，即資產(chǎn)平均回收期相對較長時(shí)，利率上升將導(dǎo)致凈資產(chǎn)價(jià)值下降當(dāng) ，即負(fù)債平均回收期相對較長時(shí)，利率上升將導(dǎo)致凈資產(chǎn)價(jià)值上升在利率變化方向不確定的情況下，預(yù)防利率風(fēng)險(xiǎn)的比較好的辦法，就是力求使2021/9/11524、進(jìn)一步探討從久期缺口角度，為了防止利率風(fēng)險(xiǎn)，可行操作包括：調(diào)整利率敏感性資產(chǎn)負(fù)債比調(diào)整利率敏感性資產(chǎn)

9、的久期調(diào)整利率敏感性負(fù)債的久期力爭使2021/9/1153五、凸性1、概念債券價(jià)格變化關(guān)于利率變動的更為精確的表達(dá)形式2021/9/1154對將 即 代入上式有2021/9/1155令 則有2021/9/1156考察稱其凸性是債券價(jià)格對貼現(xiàn)率或利率敏感性的二階估計(jì)2021/9/1157從 發(fā)現(xiàn)凸性度量了債券面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)非線性部分，是對久期估計(jì)的校正當(dāng)貼現(xiàn)率波動比較大時(shí)，這種校正作用更為明顯2021/9/11582、凸性的性質(zhì)：息票債券的凸性總是正的2021/9/1159簡略分析：2021/9/1160進(jìn)一步討論：在前面的推導(dǎo)中，是假定現(xiàn)金流一定的情況下， 與 呈現(xiàn)反向關(guān)系（因此才有了 對 的

10、求導(dǎo)）現(xiàn)在的問題變?yōu)榍?對 的導(dǎo)數(shù)，意味著可以假定現(xiàn)金流是變化的（對應(yīng)地， 也是變化的，同時(shí) 是 的函數(shù)）2021/9/1161C 與i無關(guān)！2021/9/1162如果根據(jù)課本P66的假定：久期一定，收益率一定則由同樣可以得到“C與i無關(guān)”的結(jié)論T一定2021/9/11632021/9/1164假定時(shí)間連續(xù)可微則分部積分法2021/9/1165 不妨令得思路：采取Excel試算法2021/9/1166（課后思考題）2021/9/11673、對凸性的進(jìn)一步推導(dǎo)如果付息方式由一年改為半年，凸性如何推導(dǎo)？如果付息方式由一年一次改為一年a次，凸性如何推導(dǎo)？2021/9/1168利息支付：半年一次2021/9/1169利息支付：半年一次2021/9/1170利息支付：半年一次2