方差分析講義

1、單因子方差分析雙因子方差分析 (等重復(fù)和無重復(fù))或（有交互和無交互）1例1設(shè)有兩臺機器,用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板.取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結(jié)果如下表所示.表9.1鋁合金板的厚度機器機器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.261在每一個水平下進(jìn)行獨立試驗,結(jié)果是一個隨機變量.問題分析檢驗假設(shè)2其拒絕域的形式為3例2 不同的教學(xué)方法對考試平均分的影響是否顯著？試驗指標(biāo):考試平均分因素:教學(xué)方法水平:不同的三種方法是因素的三個不同的水平4例3一火箭用四種燃料,三種推進(jìn)器作射程試驗.每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭兩次

2、,得射程如下（以海里計）.問不同燃料、不同推進(jìn)器對射程的影響是否顯著？交互作用是否顯著？表9.3火箭的射程推進(jìn)器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.45表9.3火箭的射程推進(jìn)器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.

3、741.4試驗指標(biāo):射程因素:推進(jìn)器和燃料水平:推進(jìn)器有3個,燃料有4個.雙因素試驗試驗?zāi)康?考試平均分教學(xué)方法123地區(qū)北京天津上海重慶1061021351181038271521001066685例4試分析不同地區(qū)不同教學(xué)方法對考試平均分的影響是否顯著。7方差分析根據(jù)試驗的結(jié)果進(jìn)行分析,鑒別各個有關(guān)因素對試驗結(jié)果的影響程度.試驗指標(biāo)試驗中要考察的指標(biāo).因素影響試驗指標(biāo)的條件.因素可控因素不可控因素水平因素所處的狀態(tài).單因素試驗在一項試驗中只有一個因素改變.多因素試驗在一項試驗中有多個因素在改變.8在每一個水平下進(jìn)行獨立試驗,結(jié)果是一個隨機變量.例1問題分析將數(shù)據(jù)看成是來自三個總體的樣本值.

4、檢驗假設(shè)9檢驗假設(shè)進(jìn)一步假設(shè)各總體均為正態(tài)變量,且各總體的方差相等,但參數(shù)均未知.問題檢驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等.解決方法方差分析法,一種統(tǒng)計方法.10誤差平方和（隨機誤差）效應(yīng)平方和（隨機誤差、系統(tǒng)誤差）11 總變異組內(nèi)變異組間變異 其中：組內(nèi)變異由個體差異或者說由誤差引起的;組間變異由各因素所引起；拒絕域為12單因素試驗方差分析表方差來源因素A誤差總和平方和自由度均方F比13下面檢驗假設(shè)14拒絕域形如拒絕域為15數(shù)學(xué)模型表 9.4觀察結(jié)果水平樣本總和樣本均值總體均值16假設(shè)17單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型需要解決的問題(1)檢驗假設(shè)18數(shù)據(jù)的總平均總偏差平方和（總變差）二、平方和

5、的分解得到方差分析表19誤差平方和（隨機誤差）效應(yīng)平方和（隨機誤差、系統(tǒng)誤差）20 總變異組間變異組內(nèi)變異 其中：組間變異由各因素所引起；組內(nèi)變異由個體差異或者說由誤差引起的。21下面檢驗假設(shè)22拒絕域形如拒絕域為23單因素試驗方差分析表方差來源因素A誤差總和平方和自由度均方F比24例4設(shè)有三臺機器,用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板.取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結(jié)果如下表所示.表9.1鋁合金板的厚度機器機器機器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.26225解方差分析表方差來源因

6、素A誤差總和平方和自由度均方F比0.0010533332.920.000526670.000016212140.0001920.00124533各機器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異.26單因素方差分析表spss：27方差相等檢驗可以檢驗不同因素對觀察變量產(chǎn)生了顯著影響。28判斷哪個組和其他組有顯著的均值差別，方法是兩兩作比。不同組的方差不同時選擇.2930認(rèn)為三個組總體方差相等。方差齊性的檢驗.至少一個組和其他組有顯著差別.31兩兩作比.32二、雙因素等重復(fù)試驗的方差分析表9.3火箭的射程推進(jìn)器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.

7、556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.433r=4,s=3,t=234誤差平方和因素 A 的效應(yīng)平方和因素 B 的效應(yīng)平方和因素A,B的交互效應(yīng)平方和35要解決的問題：檢驗假設(shè)36確定拒絕域37表雙因素試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用誤差總和38雙因素等重復(fù)試驗方差分析表spss：394041424344三、雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析45檢驗兩個因素的交互效應(yīng),對兩個因素的每一組合至少要做兩次試驗.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用對試驗的指標(biāo)影響很小,則可以不考慮交互

8、作用.對兩個因素的每一組合只做一次試驗,也可以對各因素的效應(yīng)進(jìn)行分析雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析.46方差來源平方 和自由度均方F比因素A因素B誤 差總 和47雙因素?zé)o重復(fù)試驗方差分析表spss：48495051525354555657二、雙因素等重復(fù)試驗的方差分析（理論）表9.8因素A因素B58模型假設(shè)59記號總平均60要解決的問題：檢驗假設(shè)61分解平方和得到方差分析表62誤差平方和因素 A 的效應(yīng)平方和因素 B 的效應(yīng)平方和因素A,B的交互效應(yīng)平方和63確定拒絕域64表9.9雙因素試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用誤差總和65三、雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析檢驗兩

9、個因素的交互效應(yīng),對兩個因素的每一組合至少要做兩次試驗.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用對試驗的指標(biāo)影響很小,則可以不考慮交互作用.對兩個因素的每一組合只做一次試驗,也可以對各因素的效應(yīng)進(jìn)行分析雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析.66表9.14因素B因素A假設(shè)67檢驗假設(shè)68雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析表方差來源平方 和自由度均方F比因素A因素B誤 差總 和69例2 下面給出了在某5個不同地點、不同時間空氣中的顆粒狀物(以mg/m3計)的含量的數(shù)據(jù):因素B(地點)因素A(時間)1975年10月1976年 1 月1976年 5 月1996年 8 月28912345127525130822720076

10、8268636769595681966764565954585170423733137629027870設(shè)本題符合模型中的條件,試在顯著性水平為0.05下檢驗:在不同時間下顆粒狀物含量的均值有無顯著差異,在不同地點下顆粒狀物含量的均值有無顯著差異.結(jié)論:時間和地點對顆粒物的含量均有顯著影響.71在MATLAB中的求解函數(shù):anova1格式:p=anova1(x)說明:對樣本X中的多列數(shù)據(jù)進(jìn)行單因素方差分析,比較各列的均值,返回“零假設(shè)”成立的概率值,如果概率值接近于零,則零假設(shè)值得懷疑,表明各列的均值事實上是不同的.源程序:x=0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.

11、257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262;p=anova1(x)72程序運行結(jié)果p=1.3431e-00573無偏估計五、未知參數(shù)的估計74例5解75例6下表列出了隨機選取的、用于計算器的四種類型的電路的響應(yīng)時間（以毫秒計）.表9.2電路的響應(yīng)時間類型類型類型19 1522201820 4021332716 17151826類型182219設(shè)四種類型電路的響應(yīng)時間的總體均為正態(tài),且各總體的方差相同,但參數(shù)均未知,各樣本相互獨立.76在MATLAB中求解x=19,22,20,18,15,20,40,21,33,27,16

12、,17,15,18,26,18, 22,19;y=1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4;p=anova1(x,y)結(jié)果7778例一火箭使用四種燃料,三種推進(jìn)器作射程試驗.每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭兩次,得射程如下（以海里計）.不同燃料、不同推進(jìn)器下的射程是否有顯著差異？表9.3火箭的射程推進(jìn)器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4二、雙因素等重復(fù)試驗的方差

13、分析79例一火箭使用四種燃料,三種推進(jìn)器作射程試驗.每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭兩次,得射程如下（以海里計）.不同燃料、不同推進(jìn)器下的射程是否有顯著差異？表9.3火箭的射程推進(jìn)器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.480在MATLAB中求解函數(shù):anova2格式:p=anova2(x,reps)說明:執(zhí)行平衡的雙因素試驗的方差分析來比較x中兩個或多個列或行的均值.不同列的數(shù)據(jù)代表某一因素的差

14、異,不同行的數(shù)據(jù)代表另一因素的差異.如果每行列對有多于一個的觀察值,則變量reps指出每一單元觀察點的數(shù)目,每一單元包含reps行.81源程序:a=58.2,56.2,65.3;52.6,41.2,60.8; 49.1,54.1,51.6;42.8,50.5,48.4; 60.1,70.9,39.2;58.3,73.2,40.7; 75.8,58.2,48.7;71.5,51.0,41.4;p=anova2(a,2)運行結(jié)果: p=0.0035 0.0260 0.000182對結(jié)果的解釋p=0.0035 0.0260 0.0001各試驗均值相等的概率均為小概率,故可拒絕相等假設(shè),認(rèn)為不同燃料或不同推進(jìn)器下的射程有顯著差異,即燃料和推進(jìn)器這兩個因素對射程的影響都是顯著的.并且交互作用效應(yīng)是高度顯著的,因此在實際工作中應(yīng)該選擇最優(yōu)的搭配方式,例如A4與B1,射程為75.8,71.5或者A3與B2,射程為73.2,70.9.8384例2在某種金屬材料的生產(chǎn)過